1. 如图,有三个均匀实心圆柱体甲、乙、丙,静止放在水平地面上,其中$h_甲 = h_乙 ＜ h_丙$,$S_甲 ＜ S_乙 ＜ S_丙$。已知三者对地面的压强相等,下列判断正确的是 ()

A.$\rho_甲 ＜ \rho_乙 ＜ \rho_丙$
B.$\rho_甲 = \rho_乙 ＜ \rho_丙$
C.$m_甲 ＜ m_乙 = m_丙$
D.$m_甲 ＜ m_乙 ＜ m_丙$

1. D 解析:AB. 因甲、乙、丙都是均匀实心圆柱体,故它们对水平面的压强 $p=\frac{F}{S}=\frac{G}{S}=\frac{mg}{S}=\frac{\rho Vg}{S}=\frac{\rho Shg}{S}=\rho hg$。比较甲、乙两物体 $\rho_甲 g h_甲=\rho_乙 g h_乙$,由题意可知 $h_甲=h_乙$,则有 $\rho_甲=\rho_乙$;再比较甲、丙两物体 $\rho_甲 g h_甲=\rho_丙 g h_丙$,因为 $h_甲＜h_丙$,故可得 $\rho_甲＞\rho_丙$,综上可得 $\rho_甲=\rho_乙＞\rho_丙$,故 AB 错误;CD. 甲、乙、丙三者对地面的压强相等,$S_甲＜S_乙＜S_丙$,根据公式 $F=pS$ 可得三者对地面的压力 $F_甲＜F_乙＜F_丙$,因甲、乙、丙在水平面上,它们对地面的压力大小等于它们各自的重力,故有 $G_甲＜G_乙＜G_丙$,由 $G=mg$ 可得 $m_甲＜m_乙＜m_丙$,故 C 错误,D 正确。故选 D。

2. ★★★ 如图所示，A、B两个实心正方体平放在同一水平沙面上时，陷下的深度恰好相等，已知正方体A的棱长为5 cm，质量为1 kg。由图可估算正方体B的密度最接近（）

A.$0.8× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$
B.$0.2× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$
C.$4.0× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$
D.$6.0× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$

2. C 解析:正方体A的棱长为5 cm,质量为1 kg,则正方体A的密度为 $\rho_A=\frac{m_A}{V_A}=\frac{m_A}{l_A^3}=\frac{1\ \mathrm{kg}}{(5\ \mathrm{cm})^3}=\frac{1\ \mathrm{kg}}{(0.05\ \mathrm{m})^3}=8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。A、B均为均匀实心柱体,由图可知B的边长约为A边长的2倍,而陷下深度恰好相等说明二者对沙面的压强相等。根据均匀柱体的压强公式 $p=\rho gh$,因 $p_A=p_B$,$h_B=2h_A$,则 $\rho_B=\frac{1}{2}\rho_A=4×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。故 C 符合题意。

3. 高度相等的两个圆柱体A、B放在水平地面上，$V_A:V_B=2:1$，它们对地面的压强分别为$p_A$和$p_B$，且$p_A:p_B=3:2$；如图所示，把A叠放在B上后，它们对地面的压强为$p_B'$，则$p_A:p_B'$为（）

A.$3:1$
B.$1:2$
C.$1:4$
D.$3:8$

3. D 解析:因为两个圆柱体的高度相同,所以由体积公式$V=Sh$可知,物体的底面积之比 $S_A:S_B=\frac{V_A}{h}:\frac{V_B}{h}=2:1$。因为两个圆柱体均放在水平地面上,所以其对地面压强 $p=\frac{F}{S}=\frac{G}{S}=\frac{mg}{S}=\frac{\rho Vg}{S}=\frac{\rho Shg}{S}=\rho gh$,由两圆柱体对地面的压强之比,可得两圆柱体的密度之比,即 $\frac{p_A}{p_B}=\frac{\rho_A gh}{\rho_B gh}=\frac{\rho_A}{\rho_B}=\frac{3}{2}$,由密度公式变形可得,两物体的质量之比为 $m_A:m_B=\rho_A V_A:\rho_B V_B=\frac{\rho_A}{\rho_B}×\frac{V_A}{V_B}=\frac{3}{2}×\frac{2}{1}=3:1$,则两个圆柱体的重力之比为 $G_A:G_B=m_A g:m_B g=3:1$。因为物体均放在水平桌面上,所以他们对桌面的压力等于物体的重力,由压强公式可得,圆柱体A对地面的压强和把A叠放在B上后对地面的压强之比为 $p_A:p_B'=\frac{G_A}{S_A}:\frac{G_A+G_B}{S_B}=\frac{G_A}{G_A+G_B}×\frac{S_B}{S_A}=\frac{3}{3+1}×\frac{1}{2}=3:8$,故选 D。

4. 如图所示，实心正方体物体A、B叠放在水平桌面上，A重5 N，B重15 N。已知A对B的压强与此时B对桌面的压强相等，A对B的压力、B对桌面的压力分别为$F_A$和$F_B$，A和B的密度分别是$\rho_A$和$\rho_B$，下列说法中
（）
①$F_A:F_B=1:3$ ②$F_A:F_B=1:4$ ③$\rho_A:\rho_B=4:3$ ④$\rho_A:\rho_B=8:3$

A.只有①③正确
B.只有①④正确
C.只有②③正确
D.只有②④正确

4. D 解析:A对B的压力 $F_A=5\ \mathrm{N}$,B对桌面的压力 $F_B=5\ \mathrm{N}+15\ \mathrm{N}=20\ \mathrm{N}$,则 $\frac{F_A}{F_B}=\frac{5\ \mathrm{N}}{20\ \mathrm{N}}=\frac{1}{4}$,A对B的压强与此时B对桌面的压强相等,即 $p_A=p_B$,设A、B的棱长分别为a、b,根据公式 $p=\frac{F}{S}$ 可得 $\frac{F_A}{a^2}=\frac{F_B}{b^2}$,则 $\frac{a}{b}=\sqrt{\frac{F_A}{F_B}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$;A 和 B 的体积之比为 $\frac{V_A}{V_B}=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$,A 和 B 的密度之比为 $\frac{\rho_A}{\rho_B}=\frac{\frac{m_A}{V_A}}{\frac{m_B}{V_B}}=\frac{\frac{G_A}{V_A g}}{\frac{G_B}{V_B g}}=\frac{G_A V_B}{G_B V_A}=\frac{5\ \mathrm{N}×8}{15\ \mathrm{N}×1}=\frac{8}{3}$。所以只有②④正确,故 D 符合题意。