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1. 用反证法证明“在$△ ABC$中，$AB=AC$，求证：$∠ C＜90°$”时，第一步应假设（）
A.$∠ C＞90°$
B.$∠ C＜90°$
C.$∠ C≥90°$
D.$∠ C≤90°$
A.$∠ C＞90°$
B.$∠ C＜90°$
C.$∠ C≥90°$
D.$∠ C≤90°$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆反证法的基本步骤，反证法的第一步是反设，即假设待证明的结论不成立，也就是结论的反面成立。本题要证明的结论是$∠ C＜90°$，需要先明确该结论的反面：“$∠ C＜90°$”的否定不仅包含$∠ C＞90°$的情况，还包含$∠ C=90°$的情况，因此结论的反面是$∠ C≥90°$，据此就能选出正确选项。
【解析】
反证法证明命题的第一步为：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题待证结论是“$∠ C＜90°$”，其反面为“$∠ C≥90°$”，因此第一步应假设$∠ C≥90°$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题属于反证法的基础考查题，解题关键是准确掌握反设的规则，要注意对不等号进行否定时，不要遗漏等号的情况，避免错选A选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反证法的基本步骤，反证法的第一步是反设，即假设待证明的结论不成立，也就是结论的反面成立。本题要证明的结论是$∠ C＜90°$，需要先明确该结论的反面：“$∠ C＜90°$”的否定不仅包含$∠ C＞90°$的情况，还包含$∠ C=90°$的情况，因此结论的反面是$∠ C≥90°$，据此就能选出正确选项。
【解析】
反证法证明命题的第一步为：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题待证结论是“$∠ C＜90°$”，其反面为“$∠ C≥90°$”，因此第一步应假设$∠ C≥90°$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题属于反证法的基础考查题，解题关键是准确掌握反设的规则，要注意对不等号进行否定时，不要遗漏等号的情况，避免错选A选项。
【难度系数】
0.8
2.用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于$60°$”时，首先应假设这个三角形中（）
A.每一个内角都小于$60°$
B.每一个内角都大于$60°$
C.有一个内角大于$60°$
D.有一个内角小于$60°$
A.每一个内角都小于$60°$
B.每一个内角都大于$60°$
C.有一个内角大于$60°$
D.有一个内角小于$60°$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即找出原结论的反面。首先确定原命题的结论是“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，我们需要对这个结论进行否定：“至少有一个”的反面是“一个都没有（即所有都不）”，“大于或等于60°”的反面是“小于60°”，组合起来就能得到正确的假设内容。
【解析】
反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题的结论为“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，对其否定：
“至少有一个”的否定是“每一个都不”，“大于或等于60°”的否定是“小于60°”，因此应假设这个三角形中每一个内角都小于60°，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，解题核心是准确掌握常见量词的否定形式，属于基础类考题，熟悉反证法的基本逻辑即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即找出原结论的反面。首先确定原命题的结论是“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，我们需要对这个结论进行否定：“至少有一个”的反面是“一个都没有（即所有都不）”，“大于或等于60°”的反面是“小于60°”，组合起来就能得到正确的假设内容。
【解析】
反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题的结论为“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，对其否定：
“至少有一个”的否定是“每一个都不”，“大于或等于60°”的否定是“小于60°”，因此应假设这个三角形中每一个内角都小于60°，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，解题核心是准确掌握常见量词的否定形式，属于基础类考题，熟悉反证法的基本逻辑即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ APB ≠ ∠ APC$,求证:$PB ≠ PC$.当用反证法证明时,第一步应假设 ()
A.$AB ≠ AC$
B.$PB = PC$
C.$∠ APB = ∠ APC$
D.$∠ B ≠ ∠ C$
A.$AB ≠ AC$
B.$PB = PC$
C.$∠ APB = ∠ APC$
D.$∠ B ≠ ∠ C$
答案
B
解析
【分析】
反证法证明命题的核心思路是先假设待证结论不成立，即待证结论的反面成立，再通过推导矛盾完成证明。本题要证明的结论是$PB ≠ PC$，只需找到该结论的反面内容，就是反证法第一步需要假设的内容。
【解析】
反证法的第一步为“反设”，即假设所求证的结论不成立，也就是结论的对立面成立。
本题的求证结论为$PB ≠ PC$，它的对立面是$PB=PC$，因此第一步应假设$PB=PC$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；反设方法
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是准确找到待证结论的否定形式，牢记不等号的否定为等号即可快速作答。
【难度系数】
0.9
反证法证明命题的核心思路是先假设待证结论不成立，即待证结论的反面成立，再通过推导矛盾完成证明。本题要证明的结论是$PB ≠ PC$，只需找到该结论的反面内容，就是反证法第一步需要假设的内容。
【解析】
反证法的第一步为“反设”，即假设所求证的结论不成立，也就是结论的对立面成立。
本题的求证结论为$PB ≠ PC$，它的对立面是$PB=PC$，因此第一步应假设$PB=PC$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；反设方法
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是准确找到待证结论的否定形式，牢记不等号的否定为等号即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4.在用反证法证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,所以假设不成立,从而间接证明命题的结论一定成立.若用反证法证明“若$a^2=b^2,a＞0,b＞0$,则$a=b$”,则应假设（）
A.$a=b$
B.$a≠b$
C.$a＞b$
D.$a＜b$
A.$a=b$
B.$a≠b$
C.$a＞b$
D.$a＜b$
答案
B
解析
【分析】
首先回忆反证法的核心步骤，反证法第一步需要假设待证命题的结论不成立，也就是假设结论的全部反面情况成立。解本题时先明确要证明的结论是“a=b”，结论的反面包含a＞b和a＜b两种情况，假设时要覆盖所有结论不成立的情况，不能只选取其中一种，因此要对结论做全面否定。
【解析】
解：根据反证法的规则，第一步需假设待证命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题要证明的结论为“a=b”，其完整的反面情况是“a≠b”（包含a＞b和a＜b两类情况），因此应假设a≠b。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反证法、命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，属于基础概念题，解题关键是准确找出待证结论的全部反面情况，避免遗漏部分情况导致假设错误。
【难度系数】
0.9
首先回忆反证法的核心步骤，反证法第一步需要假设待证命题的结论不成立，也就是假设结论的全部反面情况成立。解本题时先明确要证明的结论是“a=b”，结论的反面包含a＞b和a＜b两种情况，假设时要覆盖所有结论不成立的情况，不能只选取其中一种，因此要对结论做全面否定。
【解析】
解：根据反证法的规则，第一步需假设待证命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题要证明的结论为“a=b”，其完整的反面情况是“a≠b”（包含a＞b和a＜b两类情况），因此应假设a≠b。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反证法、命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，属于基础概念题，解题关键是准确找出待证结论的全部反面情况，避免遗漏部分情况导致假设错误。
【难度系数】
0.9
5.对于命题“如果$a＜1$，那么$a^2＜1$”，下列选项中能作为证明它是假命题的反例的是（）
A.$a=-2$
B.$a=2$
C.$a=0$
D.$a=-\dfrac{1}{2}$
A.$a=-2$
B.$a=2$
C.$a=0$
D.$a=-\dfrac{1}{2}$
答案
A
解析
【分析】要判断一个命题是假命题，只需找到符合要求的反例即可：反例需要同时满足两个条件，一是符合原命题的题设（$a＜1$），二是不满足原命题的结论（$a^2≥1$）。我们只需逐一验证每个选项是否同时满足这两个要求，就能选出正确答案。
【解析】首先明确原命题的题设为“$a＜1$”，结论为“$a^2＜1$”，反例需满足：$a＜1$且$a^2≥1$。
逐一分析选项：
A. 当$a=-2$时，$-2＜1$，满足题设；$a^2=(-2)^2=4＞1$，不满足结论，可作为证明该命题为假命题的反例。
B. 当$a=2$时，$2＞1$，不满足题设，不能作为反例。
C. 当$a=0$时，$0＜1$满足题设；$0^2=0＜1$，也满足结论，不能作为反例。
D. 当$a=-\dfrac{1}{2}$时，$-\dfrac{1}{2}＜1$满足题设；$(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}＜1$，也满足结论，不能作为反例。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】A
【知识点】反例的概念；假命题的判定；有理数乘方运算
【点评】本题是基础概念考查题，解题核心是牢记反例的两个判定标准：符合命题条件、不符合命题结论，二者缺一不可，掌握该要点即可快速选出正确答案。
【难度系数】0.8
【解析】首先明确原命题的题设为“$a＜1$”，结论为“$a^2＜1$”，反例需满足：$a＜1$且$a^2≥1$。
逐一分析选项：
A. 当$a=-2$时，$-2＜1$，满足题设；$a^2=(-2)^2=4＞1$，不满足结论，可作为证明该命题为假命题的反例。
B. 当$a=2$时，$2＞1$，不满足题设，不能作为反例。
C. 当$a=0$时，$0＜1$满足题设；$0^2=0＜1$，也满足结论，不能作为反例。
D. 当$a=-\dfrac{1}{2}$时，$-\dfrac{1}{2}＜1$满足题设；$(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}＜1$，也满足结论，不能作为反例。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】A
【知识点】反例的概念；假命题的判定；有理数乘方运算
【点评】本题是基础概念考查题，解题核心是牢记反例的两个判定标准：符合命题条件、不符合命题结论，二者缺一不可，掌握该要点即可快速选出正确答案。
【难度系数】0.8
6.已知命题A:“任何等腰三角形的底边的长度都比腰的长度长”，下列各组三边长度可以作为证明命题A是假命题的反例的是 （）
A.3,4,5
B.8,6,6
C.6,6,12
D.6,8,8
A.3,4,5
B.8,6,6
C.6,6,12
D.6,8,8
答案
D
解析
【分析】
要证明命题A是假命题，需要找到符合要求的反例：反例首先要满足命题的前提，即属于等腰三角形，其次要违背命题的结论，即底边长度不大于腰的长度，同时还要保证三边能构成合法的三角形（满足三角形任意两边之和大于第三边的要求）。解题时我们逐个排查选项，先排除非等腰三角形、无法构成三角形的选项，再验证剩余选项是否符合底边≤腰长的要求即可。
【解析】
反例需同时满足三个条件：①是等腰三角形；②三边可构成有效三角形；③底边长度≤腰长。我们逐个分析选项：
1. 选项A：三边长为3,4,5，三边均不相等，不是等腰三角形，不符合命题的前提，排除；
2. 选项B：三边长为8,6,6，属于等腰三角形，腰长为6，底边长为8，此时底边8＞腰长6，符合命题A的结论，不能作为反例，排除；
3. 选项C：三边长为6,6,12，由于6+6=12，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，排除；
4. 选项D：三边长为6,8,8，属于等腰三角形，腰长为8，底边长为6，此时底边6＜腰长8，违背了命题A的结论，可作为反例。
综上本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反例的定义；等腰三角形的判定；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查反例的应用，解题时要牢记反例的核心要求：既要符合原命题的题设，又要不符合原命题的结论，同时不要忽略三角形三边的合法性判断，属于基础概念综合应用题。
【难度系数】
0.7
要证明命题A是假命题，需要找到符合要求的反例：反例首先要满足命题的前提，即属于等腰三角形，其次要违背命题的结论，即底边长度不大于腰的长度，同时还要保证三边能构成合法的三角形（满足三角形任意两边之和大于第三边的要求）。解题时我们逐个排查选项，先排除非等腰三角形、无法构成三角形的选项，再验证剩余选项是否符合底边≤腰长的要求即可。
【解析】
反例需同时满足三个条件：①是等腰三角形；②三边可构成有效三角形；③底边长度≤腰长。我们逐个分析选项：
1. 选项A：三边长为3,4,5，三边均不相等，不是等腰三角形，不符合命题的前提，排除；
2. 选项B：三边长为8,6,6，属于等腰三角形，腰长为6，底边长为8，此时底边8＞腰长6，符合命题A的结论，不能作为反例，排除；
3. 选项C：三边长为6,6,12，由于6+6=12，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，排除；
4. 选项D：三边长为6,8,8，属于等腰三角形，腰长为8，底边长为6，此时底边6＜腰长8，违背了命题A的结论，可作为反例。
综上本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反例的定义；等腰三角形的判定；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查反例的应用，解题时要牢记反例的核心要求：既要符合原命题的题设，又要不符合原命题的结论，同时不要忽略三角形三边的合法性判断，属于基础概念综合应用题。
【难度系数】
0.7
7.已知命题“三角形三边中垂线的交点一定不在三角形的外部”，小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
答案
D
解析
【分析】
要证明该命题是假命题，需找到反例：即属于三角形，但三边中垂线的交点在三角形外部的图形。首先明确三角形三边中垂线的交点是三角形的外心（外接圆圆心），不同类型三角形的外心位置有明确规律，我们只需逐一分析各选项对应三角形的外心位置，即可找到符合要求的反例。
【解析】
三角形三边中垂线的交点是三角形外接圆的圆心，简称外心，不同类型三角形的外心位置如下：
1. 锐角三角形的外心在三角形内部，不符合反例要求；
2. 直角三角形的外心在斜边的中点处，位于三角形的边上，不符合反例要求；
3. 钝角三角形的外心在三角形的外部，满足反例“三边中垂线交点在外部”的要求；
4. 等腰三角形可能为锐角、直角或钝角三角形，无法确定外心一定在外部，不符合要求。
综上，符合要求的反例是钝角三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质；反例的判定；三角形的分类
【点评】
本题考查外心位置与三角形类型的对应关系，核心是熟记各类三角形的外心位置规律，同时明确反例需要满足“符合命题的条件，但不满足命题的结论”的要求，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要证明该命题是假命题，需找到反例：即属于三角形，但三边中垂线的交点在三角形外部的图形。首先明确三角形三边中垂线的交点是三角形的外心（外接圆圆心），不同类型三角形的外心位置有明确规律，我们只需逐一分析各选项对应三角形的外心位置，即可找到符合要求的反例。
【解析】
三角形三边中垂线的交点是三角形外接圆的圆心，简称外心，不同类型三角形的外心位置如下：
1. 锐角三角形的外心在三角形内部，不符合反例要求；
2. 直角三角形的外心在斜边的中点处，位于三角形的边上，不符合反例要求；
3. 钝角三角形的外心在三角形的外部，满足反例“三边中垂线交点在外部”的要求；
4. 等腰三角形可能为锐角、直角或钝角三角形，无法确定外心一定在外部，不符合要求。
综上，符合要求的反例是钝角三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质；反例的判定；三角形的分类
【点评】
本题考查外心位置与三角形类型的对应关系，核心是熟记各类三角形的外心位置规律，同时明确反例需要满足“符合命题的条件，但不满足命题的结论”的要求，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
