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12.【给出定义】
我们称能完全覆盖某平面图形的圆(即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上)为该平面图形的覆盖圆.其中,能完全覆盖平面图形的最小的圆(即直径最小)称为该平面图形的最小覆盖圆.
【观察发现】
如图,小莹发现任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖,从而,得到“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论.
【问题解决】
(1)结合图1至图3,你同意小莹的观点吗?若不同意,请写出你的发现;
(2)在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,则该矩形的最小覆盖圆的直径为;
(3)如图4,在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(-4,0),点C是y轴正半轴上的一个点,且∠BCA=45°,则△ABC的最小覆盖圆的半径为.
我们称能完全覆盖某平面图形的圆(即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上)为该平面图形的覆盖圆.其中,能完全覆盖平面图形的最小的圆(即直径最小)称为该平面图形的最小覆盖圆.
【观察发现】
如图,小莹发现任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖,从而,得到“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论.
【问题解决】
(1)结合图1至图3,你同意小莹的观点吗?若不同意,请写出你的发现;
(2)在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,则该矩形的最小覆盖圆的直径为;
(3)如图4,在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(-4,0),点C是y轴正半轴上的一个点,且∠BCA=45°,则△ABC的最小覆盖圆的半径为.
答案
解：(1) 不同意。
发现：锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆；直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆（即它的外接圆）；钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，该圆的直径小于其外接圆的直径。
(2) 矩形的最小覆盖圆的直径等于矩形对角线的长度，
由勾股定理得：对角线长为$\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = 3\sqrt{5}$，
故答案为$\boldsymbol{3\sqrt{5}}$。
(3) 由$A(2,0)$，$B(-4,0)$，得$AB=6$。
设$△ ABC$的外接圆圆心为$M$，根据圆周角定理，$∠ BCA=45°$，则弦$AB$所对的圆心角$∠ AMB=90°$。
$\because MA=MB$，$\therefore △ AMB$为等腰直角三角形，
由勾股定理得$MA^2 + MB^2 = AB^2$，代入$MA=MB$，得$2MA^2=36$，解得$MA=3\sqrt{2}$。
由题意可知$△ ABC$为锐角三角形，其最小覆盖圆即为它的外接圆，故半径为$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$。
发现：锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆；直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆（即它的外接圆）；钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，该圆的直径小于其外接圆的直径。
(2) 矩形的最小覆盖圆的直径等于矩形对角线的长度，
由勾股定理得：对角线长为$\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = 3\sqrt{5}$，
故答案为$\boldsymbol{3\sqrt{5}}$。
(3) 由$A(2,0)$，$B(-4,0)$，得$AB=6$。
设$△ ABC$的外接圆圆心为$M$，根据圆周角定理，$∠ BCA=45°$，则弦$AB$所对的圆心角$∠ AMB=90°$。
$\because MA=MB$，$\therefore △ AMB$为等腰直角三角形，
由勾股定理得$MA^2 + MB^2 = AB^2$，代入$MA=MB$，得$2MA^2=36$，解得$MA=3\sqrt{2}$。
由题意可知$△ ABC$为锐角三角形，其最小覆盖圆即为它的外接圆，故半径为$\boldsymbol{3\sqrt{2}}$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：需分类讨论锐角、直角、钝角三类三角形的覆盖特征，小莹的结论仅适用于部分三角形，对比外接圆和以最长边为直径的圆的覆盖效果即可得出正确结论。
2. 第(2)问：矩形的最小覆盖圆需刚好覆盖四个顶点，此时圆的直径等于矩形对角线长度，直接用勾股定理计算对角线即可。
3. 第(3)问：先由A、B坐标求出AB长度，再根据圆周角定理，由∠BCA=45°推导AB所对的圆心角为90°，结合等腰直角三角形的性质求出外接圆半径，因△ABC为锐角三角形，其外接圆就是最小覆盖圆。
【解析】
(1) 不同意小莹的观点。
发现：锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆；直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆（即它的外接圆）；钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，该圆的直径小于其外接圆的直径。
(2) 矩形的最小覆盖圆的直径等于矩形对角线的长度，由勾股定理计算得：
对角线长$=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，即最小覆盖圆的直径为$3\sqrt{5}$。
(3) 由点A(2,0)、B(-4,0)，得$AB=2-(-4)=6$。
设△ABC的外接圆圆心为M，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠BCA=45°，则弦AB所对的圆心角$∠ AMB=2×45°=90°$。
∵MA=MB（均为外接圆半径），
∴△AMB是等腰直角三角形。
由勾股定理得$MA^2+MB^2=AB^2$，代入MA=MB、AB=6，得$2MA^2=36$，解得$MA=3\sqrt{2}$。
由题意可知△ABC为锐角三角形，其最小覆盖圆就是它的外接圆，故半径为$3\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 不同意，发现：锐角三角形和直角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，直径小于其外接圆直径；
(2) $\boldsymbol{3\sqrt{5}}$；
(3) $\boldsymbol{3\sqrt{2}}$。
【知识点】
三角形外接圆、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题以新定义为载体，考查了不同三角形的外接圆特征、特殊四边形的性质及圆周角定理的应用，解题需要用到分类讨论思想，同时要求能熟练结合几何性质进行相关计算。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：需分类讨论锐角、直角、钝角三类三角形的覆盖特征，小莹的结论仅适用于部分三角形，对比外接圆和以最长边为直径的圆的覆盖效果即可得出正确结论。
2. 第(2)问：矩形的最小覆盖圆需刚好覆盖四个顶点，此时圆的直径等于矩形对角线长度，直接用勾股定理计算对角线即可。
3. 第(3)问：先由A、B坐标求出AB长度，再根据圆周角定理，由∠BCA=45°推导AB所对的圆心角为90°，结合等腰直角三角形的性质求出外接圆半径，因△ABC为锐角三角形，其外接圆就是最小覆盖圆。
【解析】
(1) 不同意小莹的观点。
发现：锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆；直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆（即它的外接圆）；钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，该圆的直径小于其外接圆的直径。
(2) 矩形的最小覆盖圆的直径等于矩形对角线的长度，由勾股定理计算得：
对角线长$=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，即最小覆盖圆的直径为$3\sqrt{5}$。
(3) 由点A(2,0)、B(-4,0)，得$AB=2-(-4)=6$。
设△ABC的外接圆圆心为M，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠BCA=45°，则弦AB所对的圆心角$∠ AMB=2×45°=90°$。
∵MA=MB（均为外接圆半径），
∴△AMB是等腰直角三角形。
由勾股定理得$MA^2+MB^2=AB^2$，代入MA=MB、AB=6，得$2MA^2=36$，解得$MA=3\sqrt{2}$。
由题意可知△ABC为锐角三角形，其最小覆盖圆就是它的外接圆，故半径为$3\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 不同意，发现：锐角三角形和直角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，直径小于其外接圆直径；
(2) $\boldsymbol{3\sqrt{5}}$；
(3) $\boldsymbol{3\sqrt{2}}$。
【知识点】
三角形外接圆、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题以新定义为载体，考查了不同三角形的外接圆特征、特殊四边形的性质及圆周角定理的应用，解题需要用到分类讨论思想，同时要求能熟练结合几何性质进行相关计算。
【难度系数】
0.6
