8.如图,在平面直角坐标系中,已知A(1,6),B(5,6),C(7,4).
(1)经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为;
(2)这个圆的半径为;
(3)直接判断点D(5,−3)与⊙M的位置关系:点D在⊙M(填“内”“外”或“上”).

(1) $\boldsymbol{(3,2)}$
(2) $\boldsymbol{2\sqrt{5}}$
(3) $\boldsymbol{外}$

【分析】
根据圆的性质，圆心到圆上各点距离相等，因此过A、B、C三点的圆的圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点。第一步先找AB的垂直平分线：A、B纵坐标相同，AB是水平线段，其垂直平分线为过AB中点的竖直线，可直接写出直线方程；第二步求BC的垂直平分线，先计算BC的中点坐标，再根据BC的斜率求出垂直平分线的斜率，进而得到BC垂直平分线的解析式；第三步联立两条垂直平分线的方程，解出的交点就是圆心M。第二问求半径，用两点间距离公式计算圆心到A（或B、C）的距离即可。第三问判断点D的位置，计算D到M的距离，与半径比较：距离大于半径则点在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内。
【解析】
(1) 求圆心M的坐标：
已知$A(1,6)$，$B(5,6)$，AB为水平线段，AB中点坐标为$(\frac{1+5}{2},6)=(3,6)$，因此AB的垂直平分线为直线$x=3$。
再求BC的垂直平分线：$B(5,6)$，$C(7,4)$，BC的中点坐标为$(\frac{5+7}{2},\frac{6+4}{2})=(6,5)$；BC所在直线的斜率$k_{BC}=\frac{4-6}{7-5}=-1$，因此BC垂直平分线的斜率为$1$（互相垂直的两条直线斜率乘积为$-1$），可得BC垂直平分线的解析式为$y-5=x-6$，即$y=x-1$。
联立$\begin{cases}x=3\\y=x-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}$，即圆心$M$的坐标为$(3,2)$。
(2) 求圆的半径：
半径为圆心到圆上点的距离，取A点计算：
$r=MA=\sqrt{(3-1)^2+(2-6)^2}=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
(3) 判断点$D(5,-3)$与$\odot M$的位置关系：
计算$M$到$D$的距离：$MD=\sqrt{(5-3)^2+(-3-2)^2}=\sqrt{2^2+(-5)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$。
因为$\sqrt{29}＞2\sqrt{5}=\sqrt{20}$，即$MD＞r$，因此点D在$\odot M$外。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,2)}$
(2) $\boldsymbol{2\sqrt{5}}$
(3) $\boldsymbol{外}$
【知识点】
1. 弦的垂直平分线性质
2. 两点间距离计算
3. 点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是圆的基础性质的典型应用，解题核心是利用“弦的垂直平分线经过圆心”确定圆心位置，再通过距离计算完成半径求解和点与圆位置关系的判断，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

9.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=5$,$AC=4$,$CD⊥ AB$于点$D$,$O$为$AB$的中点,以$C$为圆心,$r$为半径作$\odot C$.
(1)若$r=3$,试分别判断点$A$,$D$,$B$与$\odot C$的位置关系,并说明理由;
(2)①$r$为何值时,点$O$在$\odot C$上? ②$r$为何值时,点$D$在$\odot C$上?

解：
在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
(1) 点A在⊙C外，点B在⊙C上，点D在⊙C内，理由如下：
∵ $AC=4$，$r=3$，$4＞3$，即$AC＞r$，
∴ 点A在⊙C外；
∵ $BC=3$，$r=3$，即$BC=r$，
∴ 点B在⊙C上；
∵ $CD⊥AB$，由三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
代入数值解得：$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}=2.4$，
∵ $2.4＜3$，即$CD＜r$，
∴ 点D在⊙C内。
(2) ① ∵ O为AB的中点，∠ACB=90°，
由直角三角形斜边中线性质得：$OC=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}=2.5$，
∴ 当$r=\frac{5}{2}$（或2.5）时，点O在⊙C上。
② 由(1)得$CD=\frac{12}{5}=2.4$，
∴ 当$r=\frac{12}{5}$（或2.4）时，点D在⊙C上。

【分析】
判断点与圆的位置关系的核心是比较点到圆心的距离$d$与圆半径$r$的大小：若$d＞r$，点在圆外；若$d=r$，点在圆上；若$d＜r$，点在圆内。解题时先利用勾股定理求出$BC$的长度，再用等面积法求出$CD$的长度，利用直角三角形斜边中线的性质求出$OC$的长度，最后将各点到圆心$C$的距离和对应$r$比较即可得出结论。
【解析】
在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=5$，$AC=4$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
(1) 点$A$在$\odot C$外，点$B$在$\odot C$上，点$D$在$\odot C$内，理由如下：
$\because AC=4$，$r=3$，$4＞3$，即$AC＞r$，
$\therefore$ 点$A$在$\odot C$外；
$\because BC=3$，$r=3$，即$BC=r$，
$\therefore$ 点$B$在$\odot C$上；
$\because CD⊥ AB$，由三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
代入数值解得：$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}=2.4$，
$\because 2.4＜3$，即$CD＜r$，
$\therefore$ 点$D$在$\odot C$内。
(2) ① $\because O$为$AB$的中点，$∠ ACB=90°$，
由直角三角形斜边中线性质得：$OC=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}=2.5$，
$\therefore$ 当$r=\frac{5}{2}$（或2.5）时，点$O$在$\odot C$上。
② 由(1)得$CD=\frac{12}{5}=2.4$，
$\therefore$ 当$r=\frac{12}{5}$（或2.4）时，点$D$在$\odot C$上。
【答案】
(1) 点$A$在$\odot C$外，点$B$在$\odot C$上，点$D$在$\odot C$内；
(2) ① $r=\frac{5}{2}$（或2.5）；② $r=\frac{12}{5}$（或2.4）
【知识点】
点与圆的位置关系判定；勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题围绕点与圆的位置关系展开，结合直角三角形的相关性质计算所需线段长度，解题关键是牢记点与圆位置关系的判定规则，准确计算各点到圆心的距离，整体考查较为基础。
【难度系数】
0.8

10.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是高.
(1)求作$△ ABC$的外接圆;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)若$AB=4\sqrt{5}$,$BC=8$,求$△ ABC$外接圆的半径.

解：
(1) 分别作AB、BC的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，所得⊙O即为△ABC的外接圆，保留作图痕迹。
(2)
∵ AB=AC，AD是高，BC=8，
∴ BD = $\frac{1}{2}$BC = 4，AD垂直平分BC，
∴ △ABC的外心在直线AD上。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{(4\sqrt{5})^2 - 4^2} = \sqrt{80 - 16} = 8$。
设△ABC外接圆的半径为r，则OA=OB=r，OD=AD - r = 8 - r。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
$OB^2 = OD^2 + BD^2$
即 $r^2 = (8 - r)^2 + 4^2$
解得 $r=5$。
∴ △ABC外接圆的半径为5。

【分析】
(1) 作三角形外接圆的核心是确定圆心与半径：三角形外接圆的圆心是外心，即三角形三边垂直平分线的交点，交点到任意顶点的距离就是外接圆半径，因此只需作出任意两边的垂直平分线找到交点，即可画出外接圆。本题中△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的高，本身就是BC的垂直平分线，可简化作图步骤。
(2) 先利用等腰三角形三线合一的性质求出BD的长度，再计算AD的长度，结合外心在BC的垂直平分线（即AD所在直线）上的特点，设外接圆半径为r，将Rt△OBD的三边用含r的式子表示，最后用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 分别作AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，⊙O即为△ABC的外接圆，作图保留痕迹即可。
(2) 解：
∵ AB=AC，AD是BC边上的高，BC=8，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，$BD = \frac{1}{2}BC = 4$，且AD垂直平分BC，
∴ △ABC的外心在直线AD上。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{(4\sqrt{5})^2 - 4^2} = \sqrt{80 - 16} = 8$。
设△ABC外接圆的半径为r，则$OA=OB=r$，$OD=AD - OA = 8 - r$。
在Rt△OBD中，由勾股定理得$OB^2 = OD^2 + BD^2$，
代入得：$r^2 = (8 - r)^2 + 4^2$，
展开计算得$r^2 = 64 - 16r + r^2 + 16$，
化简得$16r = 80$，解得$r=5$。
【答案】
(1) 尺规作图见解析；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
1. 三角形外接圆作图
2. 等腰三角形性质
3. 勾股定理
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，既考查了三角形外接圆的相关概念，又考查了等腰三角形性质、勾股定理的应用，计算部分渗透了方程思想，属于基础的几何综合题，熟练掌握外心的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7

11.将一副斜边相等的直角三角板按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形（$∠ DAC=45°,∠ BAC=30°$）.$A,B,C,D$四点在同一个圆上吗？如果在,请写出证明过程;如果不在,请说明理由.

证明：$A,B,C,D$四点在同一个圆上。
取$AC$的中点$O$，连接$OB$，$OD$。
$\because △ ABC$是直角三角形，$∠ ABC=90°$，$O$是$AC$的中点，
$\therefore OB = OA = OC = \frac{1}{2}AC$。
$\because △ ADC$是直角三角形，$∠ ADC=90°$，$O$是$AC$的中点，
$\therefore OD = OA = OC = \frac{1}{2}AC$。
$\therefore OA=OB=OC=OD$。
$\therefore A,B,C,D$四点在以点$O$为圆心，$OA$的长为半径的同一个圆上。

【分析】
要判断A、B、C、D四点是否共圆，可依据圆的定义，只要证明这四个点到同一个定点的距离相等即可。观察图形可知△ABC和△ADC都是直角三角形，且二者有公共斜边AC，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，我们可取AC的中点O，分别证明OB、OD都等于AC的一半，进而得到OA=OB=OC=OD，即可判定四点共圆。
【解析】
解：A,B,C,D四点在同一个圆上，证明如下：
取AC的中点O，连接OB，OD。
∵ △ABC是直角三角形，∠ABC=90°，O是AC的中点，
∴ OB = OA = OC = $\frac{1}{2}$AC。
∵ △ADC是直角三角形，∠ADC=90°，O是AC的中点，
∴ OD = OA = OC = $\frac{1}{2}$AC。
∴ OA=OB=OC=OD。
∴ A,B,C,D四点在以点O为圆心，OA的长为半径的同一个圆上。
【答案】
$A,B,C,D$四点在同一个圆上。证明：取$AC$的中点$O$，连接$OB$，$OD$。$\because △ ABC$是直角三角形，$∠ ABC=90°$，$O$是$AC$的中点，$\therefore OB = OA = OC = \frac{1}{2}AC$。$\because △ ADC$是直角三角形，$∠ ADC=90°$，$O$是$AC$的中点，$\therefore OD = OA = OC = \frac{1}{2}AC$。$\therefore OA=OB=OC=OD$。$\therefore A,B,C,D$四点在以点$O$为圆心，$OA$的长为半径的同一个圆上。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；四点共圆判定；圆的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是利用两个直角三角形共斜边的特征，取斜边中点作为共圆的圆心，结合直角三角形的性质证明四个点到圆心的距离相等，熟练掌握相关性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.7