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8.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:①$∠ A+∠ B+∠ C=90°+90°+∠ C＞180°$,这与三角形内角和为$180°$相矛盾,所以$∠ A=∠ B=90°$不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设三角形的三个内角$(∠ A,∠ B,∠ C)$中有两个直角,不妨设$∠ A=∠ B=90°$.正确顺序的序号为 ()
A.③②①
B.①③②
C.②③①
D.③①②
A.③②①
B.①③②
C.②③①
D.③①②
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确反证法的基本逻辑步骤：第一步是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是假设原命题的反面成立；第二步是归谬，从反设的结论出发，结合已知的定理、公理等进行推导，得出矛盾；第三步是下结论，由推出的矛盾判定反设不成立，从而得到原命题正确。对照题目给出的三个步骤，对应反证法的三步即可排出正确顺序。
【解析】
反证法的完整证明步骤如下：
1. 反设：假设原命题结论不成立，本题即假设三角形的三个内角中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，对应步骤③；
2. 归谬：从假设出发推导，计算得∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°的定理矛盾，说明∠A=∠B=90°的假设不成立，对应步骤①；
3. 结论：由假设不成立，推出原命题成立，即一个三角形中不能有两个直角，对应步骤②。
因此正确顺序为③①②，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；三角形内角和定理
【点评】
本题考查反证法的证明流程，属于基础题型，解题的核心是熟练掌握反证法“反设-归谬-结论”的三步逻辑，清晰掌握这一流程即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确反证法的基本逻辑步骤：第一步是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是假设原命题的反面成立；第二步是归谬，从反设的结论出发，结合已知的定理、公理等进行推导，得出矛盾；第三步是下结论，由推出的矛盾判定反设不成立，从而得到原命题正确。对照题目给出的三个步骤，对应反证法的三步即可排出正确顺序。
【解析】
反证法的完整证明步骤如下：
1. 反设：假设原命题结论不成立，本题即假设三角形的三个内角中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，对应步骤③；
2. 归谬：从假设出发推导，计算得∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°的定理矛盾，说明∠A=∠B=90°的假设不成立，对应步骤①；
3. 结论：由假设不成立，推出原命题成立，即一个三角形中不能有两个直角，对应步骤②。
因此正确顺序为③①②，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；三角形内角和定理
【点评】
本题考查反证法的证明流程，属于基础题型，解题的核心是熟练掌握反证法“反设-归谬-结论”的三步逻辑，清晰掌握这一流程即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
9.设$x,y,z$均为整数，若$x^2 + y^2 = z^2$，则下列结论正确的是 （）
A.$x,y,z$不可能都是奇数
B.$x,y$不可能都是偶数
C.$x,y$必一奇一偶
D.$z$不可能是偶数
A.$x,y,z$不可能都是奇数
B.$x,y$不可能都是偶数
C.$x,y$必一奇一偶
D.$z$不可能是偶数
答案
A
解析
【分析】
本题可结合整数奇偶性的运算规律，通过逻辑推导或举反例的方法判断各选项正误。首先明确基础结论：奇数的平方为奇数，偶数的平方为偶数；奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。先推导选项A是否成立，再通过举反例排除错误选项即可得到答案。
【解析】
首先回顾奇偶性运算规律：
① 奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数；
② 奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。
逐一分析选项：
A选项：假设x,y,z均为奇数，则x²、y²、z²均为奇数，左边$x^2+y^2$=奇数+奇数=偶数，右边$z^2$=奇数，偶数≠奇数，假设不成立，故x,y,z不可能都是奇数，A正确。
B选项：举反例，取$x=6,y=8,z=10$，满足$6^2+8^2=10^2$，此时x,y均为偶数，故B错误。
C选项：上述例子中x=6,y=8均为偶数，并非一奇一偶，故C错误。
D选项：上述例子中z=10是偶数，故D错误。
【答案】
A
【知识点】
1. 奇偶数运算性质
2. 勾股数的特征
【点评】
本题考查奇偶性规律在勾股数判断中的应用，解题时既可以通过反证法推导正确结论，也可以通过举反例快速排除错误选项，注重对基础运算规律的灵活运用。
【难度系数】
0.7
本题可结合整数奇偶性的运算规律，通过逻辑推导或举反例的方法判断各选项正误。首先明确基础结论：奇数的平方为奇数，偶数的平方为偶数；奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。先推导选项A是否成立，再通过举反例排除错误选项即可得到答案。
【解析】
首先回顾奇偶性运算规律：
① 奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数；
② 奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。
逐一分析选项：
A选项：假设x,y,z均为奇数，则x²、y²、z²均为奇数，左边$x^2+y^2$=奇数+奇数=偶数，右边$z^2$=奇数，偶数≠奇数，假设不成立，故x,y,z不可能都是奇数，A正确。
B选项：举反例，取$x=6,y=8,z=10$，满足$6^2+8^2=10^2$，此时x,y均为偶数，故B错误。
C选项：上述例子中x=6,y=8均为偶数，并非一奇一偶，故C错误。
D选项：上述例子中z=10是偶数，故D错误。
【答案】
A
【知识点】
1. 奇偶数运算性质
2. 勾股数的特征
【点评】
本题考查奇偶性规律在勾股数判断中的应用，解题时既可以通过反证法推导正确结论，也可以通过举反例快速排除错误选项，注重对基础运算规律的灵活运用。
【难度系数】
0.7
10.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于$45°$”，第一步应假设。
答案
在直角三角形中，两个锐角都大于$45°$。
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确反证法的第一步是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是假设结论的反面成立。我们先拆解原命题的结论：原结论为“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，其中“至少有一个”的否定是“全部都不满足原条件”，“不大于45°”即≤45°，它的否定是“大于45°”，将二者组合就能得到需要假设的内容。
【解析】
反证法的第一步要求假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题的结论是“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，它的反面是“在直角三角形中，不存在不大于45°的锐角”，也就是“在直角三角形中，两个锐角都大于45°”。
因此第一步应假设该反面内容成立。
【答案】
在直角三角形中，两个锐角都大于$45°$。
【知识点】
1.反证法
2.命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题关键是准确掌握常见逻辑量词的否定规则，属于基础概念类考题，理解反设的逻辑就能快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先要明确反证法的第一步是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是假设结论的反面成立。我们先拆解原命题的结论：原结论为“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，其中“至少有一个”的否定是“全部都不满足原条件”，“不大于45°”即≤45°，它的否定是“大于45°”，将二者组合就能得到需要假设的内容。
【解析】
反证法的第一步要求假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题的结论是“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，它的反面是“在直角三角形中，不存在不大于45°的锐角”，也就是“在直角三角形中，两个锐角都大于45°”。
因此第一步应假设该反面内容成立。
【答案】
在直角三角形中，两个锐角都大于$45°$。
【知识点】
1.反证法
2.命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题关键是准确掌握常见逻辑量词的否定规则，属于基础概念类考题，理解反设的逻辑就能快速作答。
【难度系数】
0.8
11.如图，在$△ ABC$中，若$AB＞AC$，$AD$是$∠ BAC$的平分线，$AE$是边$BC$上的中线，则点$D$与点$E$不重合。若用反证法证明，则第一步应假设。
答案
点D与点E重合
解析
【分析】
用反证法证明命题的第一步是对原命题的结论进行否定，因此首先要明确本题待证明的结论是“点D与点E不重合”，只需写出该结论的反面，就能完成反证法的第一步假设。反证法的核心逻辑是先假设结论不成立，再通过推理推出矛盾，从而证明原结论正确，所以第一步的关键是准确找到结论的反面。
【解析】
反证法证明命题时，首先要假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题需要证明的结论为“点D与点E不重合”，它的反面是“点D与点E重合”，因此反证法的第一步应假设点D与点E重合。
【答案】
点D与点E重合
【知识点】
反证法；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题考查反证法的基本步骤，属于基础题型，解题的关键是明确反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，注意要准确判断原命题的结论，不要错误否定命题的条件。
【难度系数】
0.9
用反证法证明命题的第一步是对原命题的结论进行否定，因此首先要明确本题待证明的结论是“点D与点E不重合”，只需写出该结论的反面，就能完成反证法的第一步假设。反证法的核心逻辑是先假设结论不成立，再通过推理推出矛盾，从而证明原结论正确，所以第一步的关键是准确找到结论的反面。
【解析】
反证法证明命题时，首先要假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题需要证明的结论为“点D与点E不重合”，它的反面是“点D与点E重合”，因此反证法的第一步应假设点D与点E重合。
【答案】
点D与点E重合
【知识点】
反证法；三角形的角平分线；三角形的中线
【点评】
本题考查反证法的基本步骤，属于基础题型，解题的关键是明确反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，注意要准确判断原命题的结论，不要错误否定命题的条件。
【难度系数】
0.9
12.用反证法证明以下命题.
已知:如图,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角,EF分别交AB,CD于点M,N,AB//CD.
求证:∠1=∠2.
证明:假设,过点M作直线GH,使得∠EMH=∠2.
根据,可得.
又因为AB//CD,与矛盾.
故假设不成立,所以∠1=∠2.
13.用反证法证明:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.
14.用反证法证明:在三角形中,大角对大边.
已知:如图,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角,EF分别交AB,CD于点M,N,AB//CD.
求证:∠1=∠2.
证明:假设,过点M作直线GH,使得∠EMH=∠2.
根据,可得.
又因为AB//CD,与矛盾.
故假设不成立,所以∠1=∠2.
13.用反证法证明:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.
14.用反证法证明:在三角形中,大角对大边.
答案
12.
证明:假设$\boldsymbol{∠ 1 ≠ ∠ 2}$,过点 $M$ 作直线 $GH$,使得$∠ EMH=∠ 2$.
根据同位角相等，两直线平行,可得$\boldsymbol{GH // CD}$.
又因为 $AB// CD$,与经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行的基本事实矛盾.
故假设不成立,所以$∠ 1=∠ 2$.
---
13.
证明：
已知：在同一平面内，直线$a ⊥ c$，直线$b ⊥ c$。
求证：$a // b$。
假设$a$与$b$不平行，则直线$a$、$b$相交，设交点为点$P$。
$\because a ⊥ c$，$b ⊥ c$，
$\therefore$ 过点$P$存在两条不同的直线$a$、$b$都垂直于直线$c$。
这与基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾。
$\therefore$ 假设不成立，故$a // b$，即在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
---
14.
证明：
已知：在$△ ABC$中，$∠ ACB ＞ ∠ ABC$。
求证：$AB ＞ AC$。
假设$AB$不大于$AC$，即$AB=AC$或$AB＜AC$。
① 若$AB=AC$，根据等边对等角可得$∠ ACB = ∠ ABC$，与已知$∠ ACB ＞ ∠ ABC$矛盾；
② 若$AB＜AC$，根据大边对大角可得$∠ ACB ＜ ∠ ABC$，也与已知$∠ ACB ＞ ∠ ABC$矛盾。
$\therefore$ 假设$AB ≤ AC$不成立，故$AB ＞ AC$，即在三角形中，大角对大边。
证明:假设$\boldsymbol{∠ 1 ≠ ∠ 2}$,过点 $M$ 作直线 $GH$,使得$∠ EMH=∠ 2$.
根据同位角相等，两直线平行,可得$\boldsymbol{GH // CD}$.
又因为 $AB// CD$,与经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行的基本事实矛盾.
故假设不成立,所以$∠ 1=∠ 2$.
---
13.
证明：
已知：在同一平面内，直线$a ⊥ c$，直线$b ⊥ c$。
求证：$a // b$。
假设$a$与$b$不平行，则直线$a$、$b$相交，设交点为点$P$。
$\because a ⊥ c$，$b ⊥ c$，
$\therefore$ 过点$P$存在两条不同的直线$a$、$b$都垂直于直线$c$。
这与基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾。
$\therefore$ 假设不成立，故$a // b$，即在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
---
14.
证明：
已知：在$△ ABC$中，$∠ ACB ＞ ∠ ABC$。
求证：$AB ＞ AC$。
假设$AB$不大于$AC$，即$AB=AC$或$AB＜AC$。
① 若$AB=AC$，根据等边对等角可得$∠ ACB = ∠ ABC$，与已知$∠ ACB ＞ ∠ ABC$矛盾；
② 若$AB＜AC$，根据大边对大角可得$∠ ACB ＜ ∠ ABC$，也与已知$∠ ACB ＞ ∠ ABC$矛盾。
$\therefore$ 假设$AB ≤ AC$不成立，故$AB ＞ AC$，即在三角形中，大角对大边。
解析
【分析】
反证法的核心步骤为三步：①反设：假设命题的结论不成立，写出结论的所有反面情况；②归谬：从反设出发，结合已知条件、公理、定理进行正确推理，得出矛盾；③结论：矛盾说明反设不成立，原命题得证。
第12题：要证∠1=∠2，首先反设∠1≠∠2，构造出等于∠2的同位角后，可利用平行线判定定理得到新的平行线，与平行公理产生矛盾即可得证。
第13题：先明确已知和求证，反设两条垂直于同一直线的直线相交，可推出过交点有两条直线垂直于同一直线，与垂直的公理矛盾，即可得证。
第14题：要证大角对大边，反设大角对的边不大于另一边，分边相等、边更小两种情况讨论，分别推出与已知角的大小关系矛盾，即可得证。
【解析】
第12题
证明：假设$\boldsymbol{∠ 1 ≠ ∠ 2}$，过点 $M$ 作直线 $GH$，使得$∠ EMH=∠ 2$。
根据同位角相等，两直线平行，可得$\boldsymbol{GH // CD}$。
又因为 $AB// CD$，与经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行的基本事实矛盾。
故假设不成立，所以$∠1=∠2$。
第13题
证明：
已知：在同一平面内，直线$a ⊥ c$，直线$b ⊥ c$。
求证：$a // b$。
假设$a$与$b$不平行，则直线$a$、$b$相交，设交点为点$P$。
$\because a ⊥ c$，$b ⊥ c$，
$\therefore$ 过点$P$存在两条不同的直线$a$、$b$都垂直于直线$c$。
这与基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾。
$\therefore$ 假设不成立，故$a // b$，即在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
第14题
证明：
已知：在$△ ABC$中，$∠ ACB ＞ ∠ ABC$。
求证：$AB ＞ AC$。
假设$AB$不大于$AC$，即$AB=AC$或$AB＜AC$。
① 若$AB=AC$，根据等边对等角可得$∠ ACB = ∠ ABC$，与已知$∠ ACB ＞ ∠ ABC$矛盾；
② 若$AB＜AC$，根据大边对大角可得$∠ ACB ＜ ∠ ABC$，也与已知$∠ ACB ＞ ∠ ABC$矛盾。
$\therefore$ 假设$AB ≤ AC$不成立，故$AB ＞ AC$，即在三角形中，大角对大边。
【答案】
12. 依次填：$\boldsymbol{∠ 1 ≠ ∠ 2}$；同位角相等，两直线平行；$\boldsymbol{GH // CD}$；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
13. 证明如上，原命题成立，即在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
14. 证明如上，原命题成立，即在三角形中，大角对大边。
【知识点】
反证法；平行线的判定与性质；三角形边角关系
【点评】
这组题目是反证法的基础应用，解题关键是正确作出反设，若结论的反面包含多种情况，需要对所有反面情况逐一推导矛盾，不能遗漏，才能完整证明原命题成立。
【难度系数】
0.7
反证法的核心步骤为三步：①反设：假设命题的结论不成立，写出结论的所有反面情况；②归谬：从反设出发，结合已知条件、公理、定理进行正确推理，得出矛盾；③结论：矛盾说明反设不成立，原命题得证。
第12题：要证∠1=∠2，首先反设∠1≠∠2，构造出等于∠2的同位角后，可利用平行线判定定理得到新的平行线，与平行公理产生矛盾即可得证。
第13题：先明确已知和求证，反设两条垂直于同一直线的直线相交，可推出过交点有两条直线垂直于同一直线，与垂直的公理矛盾，即可得证。
第14题：要证大角对大边，反设大角对的边不大于另一边，分边相等、边更小两种情况讨论，分别推出与已知角的大小关系矛盾，即可得证。
【解析】
第12题
证明：假设$\boldsymbol{∠ 1 ≠ ∠ 2}$，过点 $M$ 作直线 $GH$，使得$∠ EMH=∠ 2$。
根据同位角相等，两直线平行，可得$\boldsymbol{GH // CD}$。
又因为 $AB// CD$，与经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行的基本事实矛盾。
故假设不成立，所以$∠1=∠2$。
第13题
证明：
已知：在同一平面内，直线$a ⊥ c$，直线$b ⊥ c$。
求证：$a // b$。
假设$a$与$b$不平行，则直线$a$、$b$相交，设交点为点$P$。
$\because a ⊥ c$，$b ⊥ c$，
$\therefore$ 过点$P$存在两条不同的直线$a$、$b$都垂直于直线$c$。
这与基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾。
$\therefore$ 假设不成立，故$a // b$，即在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
第14题
证明：
已知：在$△ ABC$中，$∠ ACB ＞ ∠ ABC$。
求证：$AB ＞ AC$。
假设$AB$不大于$AC$，即$AB=AC$或$AB＜AC$。
① 若$AB=AC$，根据等边对等角可得$∠ ACB = ∠ ABC$，与已知$∠ ACB ＞ ∠ ABC$矛盾；
② 若$AB＜AC$，根据大边对大角可得$∠ ACB ＜ ∠ ABC$，也与已知$∠ ACB ＞ ∠ ABC$矛盾。
$\therefore$ 假设$AB ≤ AC$不成立，故$AB ＞ AC$，即在三角形中，大角对大边。
【答案】
12. 依次填：$\boldsymbol{∠ 1 ≠ ∠ 2}$；同位角相等，两直线平行；$\boldsymbol{GH // CD}$；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
13. 证明如上，原命题成立，即在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
14. 证明如上，原命题成立，即在三角形中，大角对大边。
【知识点】
反证法；平行线的判定与性质；三角形边角关系
【点评】
这组题目是反证法的基础应用，解题关键是正确作出反设，若结论的反面包含多种情况，需要对所有反面情况逐一推导矛盾，不能遗漏，才能完整证明原命题成立。
【难度系数】
0.7
