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15.材料:据我国古代《周髀算经》记载,早在西周初年,数学家商高就提出了“勾广三,股修四,径隅五”的理论,这是勾股定理的最早文字记录,这一发现比古希腊毕达哥拉斯定理的记载早了约500年,是中国古代数学对世界文明的重要贡献.公元前1800年的古巴比伦泥板文书中,也记录了多组完整的勾股数.定义:满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数$a,b,c$称为勾股数,记作$(a,b,c)$.
(1)观察$a$为奇数的勾股数:$(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),···$,根据规律,请写出第4组勾股数:________;
(2)若$a$为奇数($a≥3$),试用含$a$的代数式表示$b$和$c$,并证明它们构成勾股数;
(3)观察$a$为偶数的勾股数:$(4,3,5),(6,8,10),(8,15,17),(10,24,26),···$,发现$b$与$c$的奇偶性相同,猜想:当$a$为偶数时,$b$与$c$的奇偶性相同,请判断该猜想是否正确.若正确,请证明;若不正确,请举例说明.
(1)观察$a$为奇数的勾股数:$(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),···$,根据规律,请写出第4组勾股数:________;
(2)若$a$为奇数($a≥3$),试用含$a$的代数式表示$b$和$c$,并证明它们构成勾股数;
(3)观察$a$为偶数的勾股数:$(4,3,5),(6,8,10),(8,15,17),(10,24,26),···$,发现$b$与$c$的奇偶性相同,猜想:当$a$为偶数时,$b$与$c$的奇偶性相同,请判断该猜想是否正确.若正确,请证明;若不正确,请举例说明.
答案
解：
(1) $\boldsymbol{(9,40,41)}$；
(2) 可得$b=\dfrac{a^2-1}{2}$，$c=\dfrac{a^2+1}{2}$，证明如下：
$\because a$为奇数且$a\ge3$，
$\therefore a^2$为奇数，$a^2-1$和$a^2+1$均为偶数，
$\therefore b,c$均为正整数。
计算：
$a^2 + b^2 = a^2 + (\dfrac{a^2-1}{2})^2$
$=a^2 + \dfrac{a^4 - 2a^2 + 1}{4}$
$=\dfrac{4a^2 + a^4 - 2a^2 + 1}{4}$
$=\dfrac{a^4 + 2a^2 + 1}{4}$
$=(\dfrac{a^2+1}{2})^2 = c^2$
$\therefore a,b,c$满足$a^2+b^2=c^2$，即它们构成勾股数。
(3) 该猜想正确，证明如下：
$\because a,b,c$是勾股数，
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$，整理得$c^2 - b^2 = a^2$，
因式分解得$(c-b)(c+b)=a^2$。
$\because a$为偶数，$\therefore a^2$为偶数，
$\therefore (c-b)$与$(c+b)$的乘积为偶数。
又$\because (c-b)+(c+b)=2c$，结果为偶数，
$\therefore c-b$与$c+b$只能同为偶数（若两数同为奇数，乘积为奇数，与$a^2$为偶数矛盾），
即$\begin{cases}c-b\mathrm{是偶数} \\ c+b\mathrm{是偶数}\end{cases}$，两式相减得$2b$是偶数，
因此$b$和$c$的奇偶性相同。
(1) $\boldsymbol{(9,40,41)}$；
(2) 可得$b=\dfrac{a^2-1}{2}$，$c=\dfrac{a^2+1}{2}$，证明如下：
$\because a$为奇数且$a\ge3$，
$\therefore a^2$为奇数，$a^2-1$和$a^2+1$均为偶数，
$\therefore b,c$均为正整数。
计算：
$a^2 + b^2 = a^2 + (\dfrac{a^2-1}{2})^2$
$=a^2 + \dfrac{a^4 - 2a^2 + 1}{4}$
$=\dfrac{4a^2 + a^4 - 2a^2 + 1}{4}$
$=\dfrac{a^4 + 2a^2 + 1}{4}$
$=(\dfrac{a^2+1}{2})^2 = c^2$
$\therefore a,b,c$满足$a^2+b^2=c^2$，即它们构成勾股数。
(3) 该猜想正确，证明如下：
$\because a,b,c$是勾股数，
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$，整理得$c^2 - b^2 = a^2$，
因式分解得$(c-b)(c+b)=a^2$。
$\because a$为偶数，$\therefore a^2$为偶数，
$\therefore (c-b)$与$(c+b)$的乘积为偶数。
又$\because (c-b)+(c+b)=2c$，结果为偶数，
$\therefore c-b$与$c+b$只能同为偶数（若两数同为奇数，乘积为奇数，与$a^2$为偶数矛盾），
即$\begin{cases}c-b\mathrm{是偶数} \\ c+b\mathrm{是偶数}\end{cases}$，两式相减得$2b$是偶数，
因此$b$和$c$的奇偶性相同。
解析
【分析】
(1) 先观察已知的a为奇数的勾股数，a依次为3,5,7，均为连续奇数，故第4组的a为9；再观察每组中b和c的关系：c=b+1，且满足a²=b+c，联立两个关系即可求出b、c的值，得到第4组勾股数。
(2) 结合(1)中发现的c=b+1、a²=b+c的规律，联立两个等式，用含a的代数式即可表示出b和c；首先证明a为奇数时b、c均为正整数，再通过代数运算验证a²+b²=c²，即可证明三者构成勾股数。
(3) 先从勾股定理的等式出发，变形得到c²-b²=a²，因式分解后结合a为偶数的条件，分析(c-b)与(c+b)的奇偶性，再根据两数和、差的奇偶性规律，即可判断b和c的奇偶性是否相同。
【解析】
(1) 由规律可知第4组勾股数的a=9，且c=b+1，$9^2=b+c$，代入得81=2b+1，解得b=40，c=41，故第4组勾股数为(9,40,41)。
(2) 由规律可得$b=\dfrac{a^2-1}{2}$，$c=\dfrac{a^2+1}{2}$，证明如下：
$\because a$为奇数且$a\ge3$，
$\therefore a^2$为奇数，$a^2-1$和$a^2+1$均为偶数，
$\therefore b,c$均为正整数。
计算：
$a^2 + b^2 = a^2 + (\dfrac{a^2-1}{2})^2$
$=a^2 + \dfrac{a^4 - 2a^2 + 1}{4}$
$=\dfrac{4a^2 + a^4 - 2a^2 + 1}{4}$
$=\dfrac{a^4 + 2a^2 + 1}{4}$
$=(\dfrac{a^2+1}{2})^2 = c^2$
$\therefore a,b,c$满足$a^2+b^2=c^2$，即它们构成勾股数。
(3) 该猜想正确，证明如下：
$\because a,b,c$是勾股数，
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$，整理得$c^2 - b^2 = a^2$，
因式分解得$(c-b)(c+b)=a^2$。
$\because a$为偶数，$\therefore a^2$为偶数，
$\therefore (c-b)$与$(c+b)$的乘积为偶数。
又$\because (c-b)+(c+b)=2c$，结果为偶数，
$\therefore c-b$与$c+b$只能同为偶数（若两数同为奇数，乘积为奇数，与$a^2$为偶数矛盾），
即$\begin{cases}c-b\mathrm{是偶数} \\ c+b\mathrm{是偶数}\end{cases}$，
根据两数差与和均为偶数时，两数奇偶性相同，可得$b$和$c$的奇偶性相同。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(9,40,41)}$；
(2) $b=\boldsymbol{\dfrac{a^2-1}{2}}$，$c=\boldsymbol{\dfrac{a^2+1}{2}}$，证明见解析；
(3) 猜想正确，证明见解析。
【知识点】
勾股数的定义，因式分解的应用，奇偶性的判断
【点评】
本题结合数学文化考查勾股数的规律探究与证明，需要学生掌握从特殊到一般的归纳探究方法，能熟练运用代数变形、因式分解等工具验证结论，同时对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 先观察已知的a为奇数的勾股数，a依次为3,5,7，均为连续奇数，故第4组的a为9；再观察每组中b和c的关系：c=b+1，且满足a²=b+c，联立两个关系即可求出b、c的值，得到第4组勾股数。
(2) 结合(1)中发现的c=b+1、a²=b+c的规律，联立两个等式，用含a的代数式即可表示出b和c；首先证明a为奇数时b、c均为正整数，再通过代数运算验证a²+b²=c²，即可证明三者构成勾股数。
(3) 先从勾股定理的等式出发，变形得到c²-b²=a²，因式分解后结合a为偶数的条件，分析(c-b)与(c+b)的奇偶性，再根据两数和、差的奇偶性规律，即可判断b和c的奇偶性是否相同。
【解析】
(1) 由规律可知第4组勾股数的a=9，且c=b+1，$9^2=b+c$，代入得81=2b+1，解得b=40，c=41，故第4组勾股数为(9,40,41)。
(2) 由规律可得$b=\dfrac{a^2-1}{2}$，$c=\dfrac{a^2+1}{2}$，证明如下：
$\because a$为奇数且$a\ge3$，
$\therefore a^2$为奇数，$a^2-1$和$a^2+1$均为偶数，
$\therefore b,c$均为正整数。
计算：
$a^2 + b^2 = a^2 + (\dfrac{a^2-1}{2})^2$
$=a^2 + \dfrac{a^4 - 2a^2 + 1}{4}$
$=\dfrac{4a^2 + a^4 - 2a^2 + 1}{4}$
$=\dfrac{a^4 + 2a^2 + 1}{4}$
$=(\dfrac{a^2+1}{2})^2 = c^2$
$\therefore a,b,c$满足$a^2+b^2=c^2$，即它们构成勾股数。
(3) 该猜想正确，证明如下：
$\because a,b,c$是勾股数，
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$，整理得$c^2 - b^2 = a^2$，
因式分解得$(c-b)(c+b)=a^2$。
$\because a$为偶数，$\therefore a^2$为偶数，
$\therefore (c-b)$与$(c+b)$的乘积为偶数。
又$\because (c-b)+(c+b)=2c$，结果为偶数，
$\therefore c-b$与$c+b$只能同为偶数（若两数同为奇数，乘积为奇数，与$a^2$为偶数矛盾），
即$\begin{cases}c-b\mathrm{是偶数} \\ c+b\mathrm{是偶数}\end{cases}$，
根据两数差与和均为偶数时，两数奇偶性相同，可得$b$和$c$的奇偶性相同。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(9,40,41)}$；
(2) $b=\boldsymbol{\dfrac{a^2-1}{2}}$，$c=\boldsymbol{\dfrac{a^2+1}{2}}$，证明见解析；
(3) 猜想正确，证明见解析。
【知识点】
勾股数的定义，因式分解的应用，奇偶性的判断
【点评】
本题结合数学文化考查勾股数的规律探究与证明，需要学生掌握从特殊到一般的归纳探究方法，能熟练运用代数变形、因式分解等工具验证结论，同时对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
