课前预习
1. 尺规作图
数学上，常限定用和作图叫作尺规作图.
2. 线段的比较
比较两条线段的长短，可用分别测量出它们的来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较.
3. 线段的基本事实
两点的所有连线中，最短.简单说成：.
4. 两点间的距离
连接两点的的，叫作这两点间的距离.
5. 线段的中点
把一条线段分成相等的两条线段的点叫作线段的.

解：
1. 无刻度的直尺；圆规
2. 刻度尺；长度
3. 线段；两点之间，线段最短
4. 线段；长度
5. 中点

【分析】
本题均为几何基础概念类题目，考查课本中与线段、尺规作图相关的基础定义、基本事实，解题时只需结合预习内容，回忆对应概念的规范表述填写即可，注意表述要准确严谨，不能随意简化或替换。
【解析】
1. 根据尺规作图的定义，数学上限定只用无刻度的直尺和圆规作图的方式叫作尺规作图，因此依次填写对应内容；
2. 比较线段长短有度量法和叠合法两种，其中度量法就是用刻度尺分别测量两条线段的长度再比较大小，因此依次填写对应内容；
3. 线段的基本事实为：两点的所有连线中，线段最短，简称为两点之间，线段最短，因此依次填写对应内容；
4. 两点间距离的定义为：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，注意距离是长度，不是线段本身，因此依次填写对应内容；
5. 根据线段中点的定义，把一条线段分成相等的两条线段的点叫作线段的中点，因此填写对应内容。
【答案】
1. 无刻度的直尺；圆规
2. 刻度尺；长度
3. 线段；两点之间，线段最短
4. 线段；长度
5. 中点
【知识点】
尺规作图定义；线段的基本事实；线段相关概念
【点评】
本题属于基础识记类习题，均为核心基础知识点，是后续学习线段运算、几何作图的必备基础，熟练掌握课本原文表述即可轻松作答。
【难度系数】
0.9

【例1】已知线段a,b(如图),画出线段AB,使AB=2b−a.

解：
作法如下：
(1) 画射线AP；
(2) 在射线AP上，从点A开始顺次截取AC = b，CD = b，可得线段AD = 2b；
(3) 在线段AD上，从点D向点A的方向截取DB = a，则线段AB即为所求作的线段，满足AB = 2b - a。

【分析】
我们需要构造长度为2b−a的线段，核心是运用线段和差的作图方法：首先要得到2倍长的b，即两条线段b的和，再从得到的2b长的线段中减去长度为a的线段，剩余部分就是所求线段。首先选取射线作为作图载体，方便顺次截取线段；接着先顺次截两段b得到长度为2b的线段，再从该线段的端点往回截去长度为a的线段，即可得到目标线段。
【解析】
作图遵循“先作和、再作差”的思路：
1. 首先画射线AP，作为后续截取线段的基准；
2. 作线段和：在射线AP上从A点开始，先截取AC=b，接着继续沿AP方向截取CD=b，此时线段AD的长度为AC+CD=2b；
3. 作线段差：在线段AD上，从D点往A点的方向截取DB=a，此时剩下的线段AB的长度就是AD−DB=2b−a，即为所求线段。
【答案】
作法如下：
(1) 画射线AP；
(2) 在射线AP上，从点A开始顺次截取AC = b，CD = b，可得线段AD = 2b；
(3) 在线段AD上，从点D向点A的方向截取DB = a，则线段AB即为所求作的线段，满足AB = 2b - a。
【知识点】
线段的和差运算，尺规作线段
【点评】
本题属于线段和差作图的基础题型，重点考查对线段和、差作图规则的掌握，作线段和时沿射线方向顺次截取，作线段差时从长线段的端点反向截取，作图时注意截取方向和端点位置即可正确完成。
【难度系数】
0.8

【变式1】如图，用圆规比较两条线段AB和CD的长短，结果正确的是（）。


A.$AB=CD$
B.$AB＞CD$
C.$AB＜CD$
D.无法确定

B

【分析】
本题考查用叠合法比较线段的长短，解题思路如下：首先回忆叠合法比较线段长度的规则：将两条线段的其中一个端点重合，让两条线段处于同一条直线上，观察另一个端点的位置，哪个线段的另一个端点更靠外，对应的线段就更长。观察题图可知，已经将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合，两条线段在同一条水平线上，只需判断点B和点D的位置关系即可得出两条线段的长短关系。
【解析】
使用叠合法比较线段AB和CD的长短：
1. 把线段AB的端点A与线段CD的端点C重合，使两条线段落在同一条直线上；
2. 观察两个线段的另一端点，可发现点B位于点D的右侧，说明AB的长度大于CD的长度，即$AB＞CD$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
线段长短比较、叠合法
【点评】
本题是线段比较的基础题型，重点考查叠合法的实际应用，掌握叠合法的操作和判断规则就能快速解题。
【难度系数】
0.9

【例2】如图，直线MN表示一条河流，在河流两旁的两点A，B表示两块稻田，要从河流某一位置P开渠引水灌溉稻田，那么在河流哪个位置开渠可使水到两块地的距离之和最小？作图找到点P的位置。

解：
根据“两点之间，线段最短”的基本事实，连接A、B两点，线段AB与直线MN的交点即为所求的点P。
点P就是河流上能使得到两块稻田的距离之和最小的开渠位置。

【分析】
我们需要在直线MN上找到一点P，使得P到A、B两点的距离之和最小。首先回忆已学的线段相关结论：两点之间，线段最短。观察发现A、B分别在直线MN的两侧，若连接A、B两点，线段AB与直线MN的交点处，P到A、B的距离之和刚好等于AB的长度，是最短的；若选择MN上其他任意点，该点到A、B的距离之和都会大于AB的长度，因此这个交点就是所求的P点。
【解析】
1. 用直尺连接A、B两点，画出线段AB；
2. 标记线段AB与直线MN的交点为P。
依据“两点之间，线段最短”的基本事实，此时PA+PB=AB，为最小的距离和，因此点P就是符合要求的开渠位置。
【答案】
连接A、B两点，线段AB与直线MN的交点即为所求的点P。
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径作图
【点评】
本题是最短路径的基础题型，重点考查对“两点之间线段最短”这一基本事实的应用，解题时需先明确两点与直线的位置关系，两点分处直线两侧时直接连线找交点即可得到答案，是后续复杂最短路径问题的学习基础。
【难度系数】
0.9

【变式2】如图，某同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（）。

A.两点之间，直线最短
B.两点确定一条直线
C.两点之间，线段最短
D.经过一点有无数条直线

C

【分析】
解题时首先对比原树叶和剪后剩下树叶的周长差异：剪开位置的两个端点，原周长中两点间是树叶边缘的曲线，剪后剩余部分的周长中这两点间是剪开的线段。要判断周长变小的原因，需要用到线段的相关性质，再逐一分析选项排除错误选项即可得出答案，注意首先要排除本身表述错误的选项，再结合题意筛选匹配的知识点。
【解析】
设剪开的直线与原树叶边缘的两个交点为A、B：
1. 原树叶的周长包含A、B两点间沿树叶边缘的曲线的长度；
2. 剪掉一部分后，剩下树叶的周长包含A、B两点间的线段AB的长度；
3. 根据两点之间，线段最短的性质，线段AB的长度小于A、B两点间原曲线的长度，因此剩下树叶的周长比原树叶的周长小。
逐一分析选项：
A选项“两点之间，直线最短”本身表述错误，直线无限延伸，没有长度，不存在“最短”的说法，排除；
B选项“两点确定一条直线”是直线的性质，描述的是直线的确定方式，和长度比较无关，排除；
C选项“两点之间，线段最短”符合上述分析，当选；
D选项“经过一点有无数条直线”和本题的周长变化现象无关，排除。
【答案】
C
【知识点】
两点之间线段最短；周长的概念
【点评】
本题结合生活中剪树叶的场景，考查线段基本性质的实际应用，需要学生能够将生活现象对应到几何知识点，找准变化的部分即可快速解题。
【难度系数】
0.9