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8.下列说法:①延长直线AB到点C;②延长射线OD到点E;③延长线段FG到点M;④画出长度为3的直线;⑤画出长度为3的射线;⑥画出长度为3的线段;⑦射线长度是直线长度的一半.其中正确的是
.
.
答案
解：
①直线本身可向两端无限延伸，不能延长，故①错误；
②射线仅向一端无限延伸，只能反向延长，不能延长射线OD到点E，故②错误；
③线段有两个端点，可以延长线段FG到点M，故③正确；
④直线不可度量，没有确定长度，不能画出长度为3的直线，故④错误；
⑤射线不可度量，没有确定长度，不能画出长度为3的射线，故⑤错误；
⑥线段可以度量，有确定长度，可以画出长度为3的线段，故⑥正确；
⑦直线和射线都不可度量，不存在长度的大小关系，故⑦错误。
综上，正确的是③⑥。
①直线本身可向两端无限延伸，不能延长，故①错误；
②射线仅向一端无限延伸，只能反向延长，不能延长射线OD到点E，故②错误；
③线段有两个端点，可以延长线段FG到点M，故③正确；
④直线不可度量，没有确定长度，不能画出长度为3的直线，故④错误；
⑤射线不可度量，没有确定长度，不能画出长度为3的射线，故⑤错误；
⑥线段可以度量，有确定长度，可以画出长度为3的线段，故⑥正确；
⑦直线和射线都不可度量，不存在长度的大小关系，故⑦错误。
综上，正确的是③⑥。
解析
【分析】
这道题考查直线、射线、线段的基本性质，解题时首先要明确三者的核心特征：直线可向两端无限延伸、不可度量；射线仅可向一端无限延伸、不可度量，仅能反向延长；线段有两个端点、可度量、可延长。接下来逐一分析7个说法是否符合三者的性质，即可得出正确结论。
【解析】
①直线本身可向两端无限延伸，不能延长，故①错误；
②射线仅向一端无限延伸，只能反向延长，不能延长射线OD到点E，故②错误；
③线段有两个端点，可以延长线段FG到点M，故③正确；
④直线不可度量，没有确定长度，不能画出长度为3的直线，故④错误；
⑤射线不可度量，没有确定长度，不能画出长度为3的射线，故⑤错误；
⑥线段可以度量，有确定长度，可以画出长度为3的线段，故⑥正确；
⑦直线和射线都不可度量，不存在长度的大小关系，故⑦错误。
综上，正确的是③⑥。
【答案】
③⑥
【知识点】
直线的性质；射线的性质；线段的性质
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心考查直线、射线、线段三者特征的区别，尤其要注意“能否延长”“能否度量”这两个易混点，熟练掌握三者的定义和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
这道题考查直线、射线、线段的基本性质，解题时首先要明确三者的核心特征：直线可向两端无限延伸、不可度量；射线仅可向一端无限延伸、不可度量，仅能反向延长；线段有两个端点、可度量、可延长。接下来逐一分析7个说法是否符合三者的性质，即可得出正确结论。
【解析】
①直线本身可向两端无限延伸，不能延长，故①错误；
②射线仅向一端无限延伸，只能反向延长，不能延长射线OD到点E，故②错误；
③线段有两个端点，可以延长线段FG到点M，故③正确；
④直线不可度量，没有确定长度，不能画出长度为3的直线，故④错误；
⑤射线不可度量，没有确定长度，不能画出长度为3的射线，故⑤错误；
⑥线段可以度量，有确定长度，可以画出长度为3的线段，故⑥正确；
⑦直线和射线都不可度量，不存在长度的大小关系，故⑦错误。
综上，正确的是③⑥。
【答案】
③⑥
【知识点】
直线的性质；射线的性质；线段的性质
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心考查直线、射线、线段三者特征的区别，尤其要注意“能否延长”“能否度量”这两个易混点，熟练掌握三者的定义和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
9.如图,已知三点A,B,C.
(1)连接AC;
(2)画直线BC;
(3)画射线AB.
(1)连接AC;
(2)画直线BC;
(3)画射线AB.
答案
解：
(1) 用直尺连接点A和点C，得到线段AC；
(2) 经过点B、C画出向两方无限延伸的直线，即为所求直线BC；
(3) 以点A为端点，经过点B，向点B所在的一侧无限延伸，画出射线AB。
按上述步骤操作即可得到符合要求的图形。
(1) 用直尺连接点A和点C，得到线段AC；
(2) 经过点B、C画出向两方无限延伸的直线，即为所求直线BC；
(3) 以点A为端点，经过点B，向点B所在的一侧无限延伸，画出射线AB。
按上述步骤操作即可得到符合要求的图形。
解析
【分析】
解决本题首先要明确线段、直线、射线的核心区别：线段有2个端点，不向任何方向延伸；直线没有端点，可向两方无限延伸；射线有1个端点，仅向无端点的一侧无限延伸。对应三个要求梳理作图逻辑：①连接AC即画以A、C为端点的线段，直接连接两点即可，两端不超出端点；②画直线BC需要同时经过B、C两点，作图时两端要超出B、C两点表示无限延伸；③画射线AB要注意端点为A，仅向B所在的一侧延伸，仅B侧超出端点，A侧不延伸。按照三类线的特征依次规范作图即可。
【解析】
(1) 用直尺对齐点A和点C，沿着直尺边缘连接两点，得到线段AC；
(2) 让直尺边缘经过点B、点C，沿着边缘画出向两方无限延伸的线（两端超出B、C点），即为所求直线BC；
(3) 以点A为端点，将直尺对齐A、B两点，从A出发向点B的方向画出向该侧无限延伸的线（仅超出B点，A侧不延伸），即为射线AB。
按上述步骤操作即可得到符合要求的图形。
【答案】
按上述步骤画出的包含线段AC、直线BC、射线AB的图形即为所求。
【知识点】
线段的画法 直线的画法 射线的画法
【点评】
本题是基础几何作图题，主要考查对直线、射线、线段概念的区分和规范作图能力，作图时需注意三者的端点数量和延伸方向的差异，避免出现射线端点画反、直线未两端延伸等错误。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确线段、直线、射线的核心区别：线段有2个端点，不向任何方向延伸；直线没有端点，可向两方无限延伸；射线有1个端点，仅向无端点的一侧无限延伸。对应三个要求梳理作图逻辑：①连接AC即画以A、C为端点的线段，直接连接两点即可，两端不超出端点；②画直线BC需要同时经过B、C两点，作图时两端要超出B、C两点表示无限延伸；③画射线AB要注意端点为A，仅向B所在的一侧延伸，仅B侧超出端点，A侧不延伸。按照三类线的特征依次规范作图即可。
【解析】
(1) 用直尺对齐点A和点C，沿着直尺边缘连接两点，得到线段AC；
(2) 让直尺边缘经过点B、点C，沿着边缘画出向两方无限延伸的线（两端超出B、C点），即为所求直线BC；
(3) 以点A为端点，将直尺对齐A、B两点，从A出发向点B的方向画出向该侧无限延伸的线（仅超出B点，A侧不延伸），即为射线AB。
按上述步骤操作即可得到符合要求的图形。
【答案】
按上述步骤画出的包含线段AC、直线BC、射线AB的图形即为所求。
【知识点】
线段的画法 直线的画法 射线的画法
【点评】
本题是基础几何作图题，主要考查对直线、射线、线段概念的区分和规范作图能力，作图时需注意三者的端点数量和延伸方向的差异，避免出现射线端点画反、直线未两端延伸等错误。
【难度系数】
0.9
10.我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点……20条直线两两相交最多能有().
A.170个交点
B.190个交点
C.210个交点
D.360个交点
A.170个交点
B.190个交点
C.210个交点
D.360个交点
答案
B
解析
【分析】
我们可以先从已知的少量直线相交的交点数入手找规律。观察给出的例子：2条直线最多1个交点，3条最多3个，4条最多6个，5条最多10个。要让交点数最多，新增的直线就要和之前所有直线都相交，因此n条直线两两相交的最多交点数，就是从1开始连续加到(n-1)的和，我们先推导通用计算公式，再代入n=20计算即可得到结果。
【解析】
观察已知条件的规律：
2条直线相交最多交点数：$1=\frac{2×1}{2}$
3条直线两两相交最多交点数：$3=\frac{3×2}{2}$
4条直线两两相交最多交点数：$6=\frac{4×3}{2}$
5条直线两两相交最多交点数：$10=\frac{5×4}{2}$
由此可归纳出：n条直线两两相交最多的交点数为 $\frac{n(n-1)}{2}$（n≥2，n为正整数）
当n=20时，最多交点数 = $\frac{20×(20-1)}{2} = \frac{20×19}{2}=190$（个）
【答案】B
【知识点】直线相交交点计数；规律探究
【点评】本题属于规律探究类题目，解题核心是通过已知的特例归纳出n条直线两两相交最多交点数的通用公式，再代入数值求解，掌握从特殊到一般的归纳方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】0.7
我们可以先从已知的少量直线相交的交点数入手找规律。观察给出的例子：2条直线最多1个交点，3条最多3个，4条最多6个，5条最多10个。要让交点数最多，新增的直线就要和之前所有直线都相交，因此n条直线两两相交的最多交点数，就是从1开始连续加到(n-1)的和，我们先推导通用计算公式，再代入n=20计算即可得到结果。
【解析】
观察已知条件的规律：
2条直线相交最多交点数：$1=\frac{2×1}{2}$
3条直线两两相交最多交点数：$3=\frac{3×2}{2}$
4条直线两两相交最多交点数：$6=\frac{4×3}{2}$
5条直线两两相交最多交点数：$10=\frac{5×4}{2}$
由此可归纳出：n条直线两两相交最多的交点数为 $\frac{n(n-1)}{2}$（n≥2，n为正整数）
当n=20时，最多交点数 = $\frac{20×(20-1)}{2} = \frac{20×19}{2}=190$（个）
【答案】B
【知识点】直线相交交点计数；规律探究
【点评】本题属于规律探究类题目，解题核心是通过已知的特例归纳出n条直线两两相交最多交点数的通用公式，再代入数值求解，掌握从特殊到一般的归纳方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】0.7
11.(易错题)往返于甲、乙两地的列车，中途需要停靠4个车站，如果每两个站的路程都不相同，那么这两地之间有种不同的票价，要准备种不同的车票。
答案
15；30
解析
【分析】
首先先确定总车站数量：中途停靠4个站加上起点甲、终点乙，一共是6个车站。思考问题时分两步：①票价的确定只和两站之间的路程有关，和乘车方向无关，本质就是求6个车站之间能形成多少条不同的线段，线段数就是不同票价的数量；②车票有出发站和到达站的区别，往返两个站对应的是两种不同车票，因此车票数量是票价数量的2倍。
【解析】
第一步：计算总站点数
总站点数 = 中途站点数 + 甲乙两个端点站 = $4+2=6$个
第二步：计算不同票价的数量
两个站点确定1种票价，不考虑顺序，等价于计算6个点的线段总数，线段计数公式为$\frac{n(n-1)}{2}$（$n$为点的数量），代入$n=6$得：
$\frac{6×(6-1)}{2}=\frac{6×5}{2}=15$种
第三步：计算不同车票的数量
车票有往返方向差异，每两个站点之间对应2种不同车票，因此：
车票总数 = 票价数 $× 2=15×2=30$种
【答案】
15；30
【知识点】
线段计数；有序与无序区分
【点评】
本题易错点是混淆票价和车票的逻辑差异，票价仅和两站间的路程有关，无需考虑顺序，车票有明确的出发、到达方向要求，需要考虑顺序，解题时要注意区分二者的要求，避免漏算方向导致出错。
【难度系数】
0.7
首先先确定总车站数量：中途停靠4个站加上起点甲、终点乙，一共是6个车站。思考问题时分两步：①票价的确定只和两站之间的路程有关，和乘车方向无关，本质就是求6个车站之间能形成多少条不同的线段，线段数就是不同票价的数量；②车票有出发站和到达站的区别，往返两个站对应的是两种不同车票，因此车票数量是票价数量的2倍。
【解析】
第一步：计算总站点数
总站点数 = 中途站点数 + 甲乙两个端点站 = $4+2=6$个
第二步：计算不同票价的数量
两个站点确定1种票价，不考虑顺序，等价于计算6个点的线段总数，线段计数公式为$\frac{n(n-1)}{2}$（$n$为点的数量），代入$n=6$得：
$\frac{6×(6-1)}{2}=\frac{6×5}{2}=15$种
第三步：计算不同车票的数量
车票有往返方向差异，每两个站点之间对应2种不同车票，因此：
车票总数 = 票价数 $× 2=15×2=30$种
【答案】
15；30
【知识点】
线段计数；有序与无序区分
【点评】
本题易错点是混淆票价和车票的逻辑差异，票价仅和两站间的路程有关，无需考虑顺序，车票有明确的出发、到达方向要求，需要考虑顺序，解题时要注意区分二者的要求，避免漏算方向导致出错。
【难度系数】
0.7
12.如图,已知A,B,C,D四个点.
(1)画线段AB,射线AD,直线AC;
(2)连接BD,BD与直线AC交于点E;
(3)连接BC,并延长线段BC与射线AD交于点F;
(4)连接CD,并延长线段CD与线段AB的反向延长线交于点G.
(1)画线段AB,射线AD,直线AC;
(2)连接BD,BD与直线AC交于点E;
(3)连接BC,并延长线段BC与射线AD交于点F;
(4)连接CD,并延长线段CD与线段AB的反向延长线交于点G.
答案
解：
按要求依次完成作图：
(1) 连接点A、B，得到线段AB；以点A为端点，经过点D向D侧无限延伸，画出射线AD；过点A、C作向两方无限延伸的直线AC；
(2) 连接点B、D，将BD与直线AC的交点标记为点E；
(3) 连接点B、C，沿点C的方向延长线段BC，将该延长线与射线AD的交点标记为点F；
(4) 连接点C、D，沿点D的方向延长线段CD，作线段AB的反向延长线（从点A出发沿背离点B的方向延伸），将二者的交点标记为点G。
最终得到的图形即为符合所有要求的作图结果。
按要求依次完成作图：
(1) 连接点A、B，得到线段AB；以点A为端点，经过点D向D侧无限延伸，画出射线AD；过点A、C作向两方无限延伸的直线AC；
(2) 连接点B、D，将BD与直线AC的交点标记为点E；
(3) 连接点B、C，沿点C的方向延长线段BC，将该延长线与射线AD的交点标记为点F；
(4) 连接点C、D，沿点D的方向延长线段CD，作线段AB的反向延长线（从点A出发沿背离点B的方向延伸），将二者的交点标记为点G。
最终得到的图形即为符合所有要求的作图结果。
解析
【分析】
解决本题首先要明确线段、射线、直线的核心差异：线段有2个端点，无法延伸；射线只有1个端点，仅向端点外的一侧无限延伸；直线没有端点，向两侧都可无限延伸。解题时按照题目给出的4个要求分步操作即可：先根据三类线的特征完成基础线的绘制，再依次完成线段连接、延长线绘制，最后准确标记各交点即可，作图时要特别注意各类线的延伸方向、线段延长的方向不要出错。
【解析】
按要求依次完成作图：
(1) 连接点A、B，两端不延伸得到线段AB；以点A为端点，经过点D向D侧无限延伸，画出射线AD；过点A、C作向两方无限延伸的直线AC；
(2) 连接点B、D得到线段BD，将BD与直线AC的交点标记为点E；
(3) 连接点B、C得到线段BC，沿点C的方向延长线段BC，将该延长线与射线AD的交点标记为点F；
(4) 连接点C、D得到线段CD，沿点D的方向延长线段CD，作线段AB的反向延长线（从点A出发沿背离点B的方向延伸），将二者的交点标记为点G。
【答案】
按上述步骤作出的符合所有要求的图形即为所求。
【知识点】
直线射线线段的特征；几何基本作图；延长线的概念
【点评】
本题是基础的几何作图题，核心考查对直线、射线、线段三类线特征的区分能力，以及作图的规范性，作答时只要注意延伸方向、交点标记准确即可得分。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确线段、射线、直线的核心差异：线段有2个端点，无法延伸；射线只有1个端点，仅向端点外的一侧无限延伸；直线没有端点，向两侧都可无限延伸。解题时按照题目给出的4个要求分步操作即可：先根据三类线的特征完成基础线的绘制，再依次完成线段连接、延长线绘制，最后准确标记各交点即可，作图时要特别注意各类线的延伸方向、线段延长的方向不要出错。
【解析】
按要求依次完成作图：
(1) 连接点A、B，两端不延伸得到线段AB；以点A为端点，经过点D向D侧无限延伸，画出射线AD；过点A、C作向两方无限延伸的直线AC；
(2) 连接点B、D得到线段BD，将BD与直线AC的交点标记为点E；
(3) 连接点B、C得到线段BC，沿点C的方向延长线段BC，将该延长线与射线AD的交点标记为点F；
(4) 连接点C、D得到线段CD，沿点D的方向延长线段CD，作线段AB的反向延长线（从点A出发沿背离点B的方向延伸），将二者的交点标记为点G。
【答案】
按上述步骤作出的符合所有要求的图形即为所求。
【知识点】
直线射线线段的特征；几何基本作图；延长线的概念
【点评】
本题是基础的几何作图题，核心考查对直线、射线、线段三类线特征的区分能力，以及作图的规范性，作答时只要注意延伸方向、交点标记准确即可得分。
【难度系数】
0.8
13.(推理能力、模型观念)如图.
(1)试验观察:
如果每过两点可以画一条直线,那么:
图(1)最多可以画条直线；
图(2)最多可以画条直线；
图(3)最多可以画条直线.
(2)探索归纳:
如果平面上有$n(n≥3)$个点,且任意3个点均不在同一条直线上,那么最多可以画条直线.(用含$n$的代数式表示)
(3)解决问题:
某班45名同学在毕业后的一次聚会中,若每两人握1次手问好,则共握次手.
(1)试验观察:
如果每过两点可以画一条直线,那么:
图(1)最多可以画条直线；
图(2)最多可以画条直线；
图(3)最多可以画条直线.
(2)探索归纳:
如果平面上有$n(n≥3)$个点,且任意3个点均不在同一条直线上,那么最多可以画条直线.(用含$n$的代数式表示)
(3)解决问题:
某班45名同学在毕业后的一次聚会中,若每两人握1次手问好,则共握次手.
答案
解：
(1) 图(1)最多可以画$\boldsymbol{3}$条直线；
图(2)最多可以画$\boldsymbol{6}$条直线；
图(3)最多可以画$\boldsymbol{10}$条直线。
(2) 最多可以画$\boldsymbol{\frac{n(n-1)}{2}}$条直线。
(3) 把$n=45$代入$\frac{n(n-1)}{2}$，得$\frac{45×(45-1)}{2}=990$，即共握$\boldsymbol{990}$次手。
(1) 图(1)最多可以画$\boldsymbol{3}$条直线；
图(2)最多可以画$\boldsymbol{6}$条直线；
图(3)最多可以画$\boldsymbol{10}$条直线。
(2) 最多可以画$\boldsymbol{\frac{n(n-1)}{2}}$条直线。
(3) 把$n=45$代入$\frac{n(n-1)}{2}$，得$\frac{45×(45-1)}{2}=990$，即共握$\boldsymbol{990}$次手。
解析
【分析】
解题时先从特殊情况入手：(1)观察三个图的点数分别为3、4、5，根据“两点确定一条直线”，且无三点共线时直线数量最多，计数时注意避免重复计算；(2)对前三个结果的规律进行归纳，推导n个点时的通用公式：每个点可与其余n-1个点连线，每条直线会被重复计算2次，因此要除以2得到总直线数；(3)握手问题和两点连线是同类型模型，每两人握手1次对应两点连1条直线，将人数代入上述公式计算即可。
【解析】
(1) 图(1)有3个点，最多画直线：$2+1=3$（条）；
图(2)有4个点，最多画直线：$3+2+1=6$（条）；
图(3)有5个点，最多画直线：$4+3+2+1=10$（条）。
(2) 平面上有$n(n≥3)$个点，任意3点不共线时，每个点可与剩余$(n-1)$个点各画1条直线，共得到$n(n-1)$条连线，此时每条直线被两个端点各计算了1次，因此实际最多可画直线数量为$\frac{n(n-1)}{2}$条。
(3) 45名同学握手问题可对应45个点的连线问题，将$n=45$代入公式：
$\frac{45×(45-1)}{2}=\frac{45×44}{2}=990$（次）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{10}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{n(n-1)}{2}}$；
(3) $\boldsymbol{990}$
【知识点】
两点确定一条直线，规律归纳探究，代数式求值
【点评】
本题考查从特殊到一般的规律推理能力，将几何直线计数与实际握手问题结合，只要掌握两点确定直线的性质，学会避免重复计数的思路，就能顺利推导通用公式并解决实际问题。
【难度系数】
0.7
解题时先从特殊情况入手：(1)观察三个图的点数分别为3、4、5，根据“两点确定一条直线”，且无三点共线时直线数量最多，计数时注意避免重复计算；(2)对前三个结果的规律进行归纳，推导n个点时的通用公式：每个点可与其余n-1个点连线，每条直线会被重复计算2次，因此要除以2得到总直线数；(3)握手问题和两点连线是同类型模型，每两人握手1次对应两点连1条直线，将人数代入上述公式计算即可。
【解析】
(1) 图(1)有3个点，最多画直线：$2+1=3$（条）；
图(2)有4个点，最多画直线：$3+2+1=6$（条）；
图(3)有5个点，最多画直线：$4+3+2+1=10$（条）。
(2) 平面上有$n(n≥3)$个点，任意3点不共线时，每个点可与剩余$(n-1)$个点各画1条直线，共得到$n(n-1)$条连线，此时每条直线被两个端点各计算了1次，因此实际最多可画直线数量为$\frac{n(n-1)}{2}$条。
(3) 45名同学握手问题可对应45个点的连线问题，将$n=45$代入公式：
$\frac{45×(45-1)}{2}=\frac{45×44}{2}=990$（次）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{10}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{n(n-1)}{2}}$；
(3) $\boldsymbol{990}$
【知识点】
两点确定一条直线，规律归纳探究，代数式求值
【点评】
本题考查从特殊到一般的规律推理能力，将几何直线计数与实际握手问题结合，只要掌握两点确定直线的性质，学会避免重复计数的思路，就能顺利推导通用公式并解决实际问题。
【难度系数】
0.7
