【例3】如图，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，点$O$是线段$AC$的中点.

(1)求$AC$的长；(2)求$OB$的长.

解：
(1) 由线段和的定义可知
$AC = AB + BC$
$\because AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$
$\therefore AC = 5 + 3 = 8\ \mathrm{cm}$
(2) $\because$ 点$O$是线段$AC$的中点
$\therefore OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{cm}$
$\therefore OB = OC - BC = 4 - 3 = 1\ \mathrm{cm}$
答：(1) $AC$的长为$8\ \mathrm{cm}$；(2) $OB$的长为$1\ \mathrm{cm}$。

【分析】
(1) 观察图形可知线段AC由AB和BC两段顺次拼接而成，要求AC的长度，根据线段和的定义，直接将AB、BC的长度相加即可求解。
(2) 要求OB的长度，首先已知O是AC中点，可先利用线段中点的性质求出OC的长度，再观察图形可得OB的长度等于OC减去BC的长度，代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据线段和的定义：
$AC = AB + BC$
$\because AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$
$\therefore AC = 5 + 3 = 8\ \mathrm{cm}$
(2) $\because$ 点O是线段AC的中点
$\therefore OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{cm}$
根据线段差的关系可得：
$\therefore OB = OC - BC = 4 - 3 = 1\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1) $AC$的长为$8\ \mathrm{cm}$；(2) $OB$的长为$1\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段的和差运算、线段中点的定义
【点评】
本题是线段运算的基础题，解题关键是结合图形理清各线段的数量关系，熟练运用线段中点的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

【变式3】(2026文山期末)如图，M是AB的中点，N是BC的中点，AM=2.5 cm，BC=4 cm，则MN的长是( )。

A.6.5 cm
B.7 cm
C.9 cm
D.4.5 cm

D

【分析】
解题时先回忆线段中点的性质：线段中点将线段分为长度相等的两段。首先根据M是AB的中点，求出MB的长度；再根据N是BC的中点，求出BN的长度；观察线段图可知MN由MB和BN两段组成，将两段长度相加即可得到MN的长度。
【解析】
解：
∵M是AB的中点，AM=2.5 cm
∴MB = AM = 2.5 cm
∵N是BC的中点，BC=4 cm
∴BN = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×4 = 2 cm
由图可知MN = MB + BN
代入数值计算得：MN = 2.5 + 2 = 4.5 cm
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题的关键是结合图形明确所求线段的组成部分，再利用线段中点的性质求出对应线段的长度即可求解。
【难度系数】
0.8

1.如图，线段$AB=10\ \mathrm{cm}$，点$C$为线段$AB$上一点，$BC=3\ \mathrm{cm}$，点$D$，$E$分别为$AC$和$AB$的中点，则线段$DE$的长为（）。


A.$\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$
B.$1\ \mathrm{cm}$
C.$\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$
D.$2\ \mathrm{cm}$

C

【分析】
解题思路：首先明确线段各点的位置关系，已知AB和BC的长度，可先求出AC的长度；再根据线段中点的定义，中点会将对应线段分成相等的两段，分别求出AE（AB的一半）和AD（AC的一半）的长度；最后根据线段的差的关系，DE的长度等于AE减去AD即可得到结果。也可以通过代数式简化推导：$DE=AE-AD=\frac{1}{2}AB-\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(AB-AC)=\frac{1}{2}BC$，直接代入BC的数值计算更便捷。
【解析】
解：已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，点C在线段AB上，因此：
$AC=AB-BC=10-3=7\ \mathrm{cm}$
∵点E是AB的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$
∵点D是AC的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×7=\frac{7}{2}\ \mathrm{cm}$
结合线段位置可得：
$DE=AE-AD=5-\frac{7}{2}=\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差运算，线段中点的定义
【点评】
本题属于线段运算的基础题，核心考查线段中点的性质和线段和差关系的应用，理清各线段的位置关系是解题的关键，掌握简化推导的方法可以提升解题效率。
【难度系数】
0.75

2.如图,点B,C在线段AD上,$AC=BD$,$BC=3AB$.如果$CD=\frac{1}{5}$,那么AD是().


A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{5}{4}$
D.$1$

D

【分析】
解题时先结合线段图梳理各段的数量关系：已知AC=BD，两者都包含公共线段BC，根据等式性质减去公共部分可推出AB=CD，先求出AB的长度；再根据BC和AB的倍数关系算出BC的长度；最后AD是AB、BC、CD三段的和，将三段长度相加就能得到AD的长度。
【解析】
解：
∵ 点B、C在线段AD上
∴ $AC=AB+BC$，$BD=BC+CD$
又
∵ $AC=BD$
∴ $AB+BC=BC+CD$，两边同时减去BC可得：$AB=CD$
已知$CD=\frac{1}{5}$，因此$AB=\frac{1}{5}$
∵ $BC=3AB$
∴ $BC=3×\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$
∴ $AD=AB+BC+CD=\frac{1}{5}+\frac{3}{5}+\frac{1}{5}=1$
【答案】
D
【知识点】
线段和差运算，等量代换，等式性质
【点评】
本题是线段运算的基础题型，解题的关键是从相等线段中推导出AB=CD这一隐藏等量关系，再结合已知的倍数关系求出各段长度，解题时结合线段图可以更直观地理清各线段的和差关系。
【难度系数】
0.8

3.如图，C是线段AB的中点，D是线段AB延长线上一点，且$CD=2AB$.(1)用尺规作图将图形补充完整(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)当$BC=2$时，求线段AD的长.

解：
(1) 延长AB至点D，使CD=2AB，补全图形，保留作图痕迹即可，点从左到右顺序为A、C、B、D。
(2) ∵ C是线段AB的中点，
∴ AC = BC，AB = 2BC。
∵ BC = 2，
∴ AB = 4，AC = 2。
∵ CD = 2AB，
∴ CD = 2×4 = 8。
∴ AD = AC + CD = 2 + 8 = 10。
答：线段AD的长为10。

【分析】
(1) 作图思路：先将线段AB向右延长，再用尺规量取AB的长度，以点C为端点，在AB的延长线上截取长度等于2倍AB的线段，端点即为D，保证点的顺序从左到右为A、C、B、D即可，注意保留作图痕迹。
(2) 计算思路：要求AD的长，观察可得AD可拆分为AC与CD的和，因此需要先求出AC和CD的长度。已知C是AB中点，BC=2，先利用线段中点的性质求出AC和AB的长度，再根据CD=2AB求出CD的长度，最后将AC和CD相加即可得到AD的长度。
【解析】
(1) 延长AB，以点C为圆心，AB长为半径在AB延长线上画弧，交延长线于一点，再以该点为圆心，AB长为半径画弧，交AB延长线于点D，即可得到CD=2AB，保留作图痕迹，点顺序为A、C、B、D。
(2) 解：
∵ C是线段AB的中点，
∴ AC = BC，AB = 2BC，
∵ BC = 2，
∴ AB = 2×2 = 4，AC = 2，
又
∵ CD = 2AB，
∴ CD = 2×4 = 8，
∴ AD = AC + CD = 2 + 8 = 10。
【答案】
(1) 补全图形（保留作图痕迹，点从左到右顺序为A、C、B、D）；
(2) 10
【知识点】
尺规作图作线段；线段中点的性质；线段的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，既考查了尺规作图的基础操作能力，也考查了线段中点性质及和差运算的应用，解题的核心是梳理清楚各线段之间的数量关系，代入已知条件逐步计算即可。
【难度系数】
0.8

1.已知线段$a,b,c(a＞c)$,如图.用直尺和圆规画一条线段,使其等于$a+2b-c$.

解：
作法：
1. 画射线AF；
2. 在射线AF上顺次截取AB = a，BC = b，CD = b；
3. 在线段AD上，从点D向点A方向截取DE = c；
则线段AE就是所求作的等于$a+2b-c$的线段。

【分析】
要作出长度为$a+2b-c$的线段，核心是运用线段和、差的作图方法：作线段和时，在同一条射线上顺次首尾相接截取各线段，总长度就是各线段长度之和；作线段差时，在较长线段上从端点往内部截取等于较短线段的长度，剩余部分就是两线段的差。本题先构造长度为$a+2b$的线段，再在该线段上减去长度$c$即可：首先画射线作为作图的基础载体，方便顺次截取线段；接着顺次截出$a$、$b$、$b$得到总长为$a+2b$的线段；最后因为$a＞c$，可直接在总长为$a+2b$的线段上，从末端往起点方向截去长度$c$，剩余线段就是所求线段。
【解析】
按照尺规作图规范步骤操作：
1. 用直尺画一条射线$AF$；
2. 用圆规量取线段$a$的长度，在射线$AF$上以$A$为端点截取$AB=a$；再用圆规量取线段$b$的长度，以$B$为端点沿射线方向截取$BC=b$；再次量取线段$b$的长度，以$C$为端点沿射线方向截取$CD=b$，此时线段$AD$的长度为$a+2b$；
3. 用圆规量取线段$c$的长度，以$D$为端点，往$A$的方向在线段$AD$上截取$DE=c$；
最终得到的线段$AE$就是所求作的线段，作图时需保留所有作图痕迹。
【答案】
作法：
1. 画射线$AF$；
2. 在射线$AF$上顺次截取$AB = a$，$BC = b$，$CD = b$；
3. 在线段$AD$上，从点$D$向点$A$方向截取$DE = c$；
则线段$AE$就是所求作的等于$a+2b-c$的线段。
【知识点】
1. 尺规作线段
2. 线段的和差运算
【点评】
本题是线段和差作图的常规题型，解题关键是掌握“顺次截取作线段和、反向截取作线段差”的作图逻辑，作图时需注意保留作图痕迹，作差时要明确截取方向，避免出错。
【难度系数】
0.8