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1.如图，已知O为直线AB上一点，∠BOC=90°,OD平分∠BOC,∠COF=∠FOE=$\frac{1}{3}$∠AOC,求∠EOD的度数.
答案
解：
∵ O为直线AB上一点，
∴ ∠AOB = 180°，
∵ ∠BOC = 90°，
∴ ∠AOC = 180° - ∠BOC = 90°，
∵ OD平分∠BOC，
∴ ∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，
∵ ∠COF = ∠FOE = $\frac{1}{3}$∠AOC，
∴ ∠COF = ∠FOE = $\frac{1}{3}$×90° = 30°，
∴ ∠EOC = ∠COF + ∠FOE = 30° + 30° = 60°，
∴ ∠EOD = ∠EOC + ∠COD = 60° + 45° = 105°。
答：∠EOD的度数为105°。
∵ O为直线AB上一点，
∴ ∠AOB = 180°，
∵ ∠BOC = 90°，
∴ ∠AOC = 180° - ∠BOC = 90°，
∵ OD平分∠BOC，
∴ ∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，
∵ ∠COF = ∠FOE = $\frac{1}{3}$∠AOC，
∴ ∠COF = ∠FOE = $\frac{1}{3}$×90° = 30°，
∴ ∠EOC = ∠COF + ∠FOE = 30° + 30° = 60°，
∴ ∠EOD = ∠EOC + ∠COD = 60° + 45° = 105°。
答：∠EOD的度数为105°。
解析
【分析】
解题时先从已知条件“O为直线AB上一点”入手，结合平角为180°的性质，先求出∠AOC的度数；再利用角平分线的定义算出∠COD的度数；接下来根据题目给出的∠COF、∠FOE和∠AOC的数量关系，求出∠COF、∠FOE的度数，相加得到∠EOC的度数；最后所求的∠EOD是∠EOC与∠COD的和，将两个角度相加即可得到结果。
【解析】
∵ O为直线AB上一点，
∴ ∠AOB = 180°，
∵ ∠BOC = 90°，
∴ ∠AOC = 180° - ∠BOC = 90°，
∵ OD平分∠BOC，
∴ ∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，
∵ ∠COF = ∠FOE = $\frac{1}{3}$∠AOC，
∴ ∠COF = ∠FOE = $\frac{1}{3}$×90° = 30°，
∴ ∠EOC = ∠COF + ∠FOE = 30° + 30° = 60°，
∴ ∠EOD = ∠EOC + ∠COD = 60° + 45° = 105°。
【答案】
105°
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角的和差运算
【点评】
本题属于角的计算基础题型，解题核心是梳理清楚图中各角的位置关系和数量关系，熟练掌握平角、角平分线的相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件“O为直线AB上一点”入手，结合平角为180°的性质，先求出∠AOC的度数；再利用角平分线的定义算出∠COD的度数；接下来根据题目给出的∠COF、∠FOE和∠AOC的数量关系，求出∠COF、∠FOE的度数，相加得到∠EOC的度数；最后所求的∠EOD是∠EOC与∠COD的和，将两个角度相加即可得到结果。
【解析】
∵ O为直线AB上一点，
∴ ∠AOB = 180°，
∵ ∠BOC = 90°，
∴ ∠AOC = 180° - ∠BOC = 90°，
∵ OD平分∠BOC，
∴ ∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，
∵ ∠COF = ∠FOE = $\frac{1}{3}$∠AOC，
∴ ∠COF = ∠FOE = $\frac{1}{3}$×90° = 30°，
∴ ∠EOC = ∠COF + ∠FOE = 30° + 30° = 60°，
∴ ∠EOD = ∠EOC + ∠COD = 60° + 45° = 105°。
【答案】
105°
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角的和差运算
【点评】
本题属于角的计算基础题型，解题核心是梳理清楚图中各角的位置关系和数量关系，熟练掌握平角、角平分线的相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$∠ AOC$与$∠ BOD$都是直角，$∠ BOC=65°$.
(1)$∠ AOD$的度数为.
(2)$∠ AOB$与$∠ DOC$有何大小关系？
(3)若不知道$∠ BOC$的具体度数，其他条件不变，题(2)中关系仍成立吗？
(1)$∠ AOD$的度数为.
(2)$∠ AOB$与$∠ DOC$有何大小关系？
(3)若不知道$∠ BOC$的具体度数，其他条件不变，题(2)中关系仍成立吗？
答案
解：
(1) 已知$∠ AOC$与$∠ BOD$都是直角，因此$∠ AOC=∠ BOD=90°$。
$∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC = 90° - 65° = 25°$，
$∠ AOD = ∠ BOD + ∠ AOB = 90° + 25° = 115°$。
故答案为$\boldsymbol{115°}$。
(2) $∠ AOB = ∠ DOC$，理由如下：
$\because ∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC = 90° - ∠ BOC$，
$∠ DOC = ∠ BOD - ∠ BOC = 90° - ∠ BOC$，
$\therefore ∠ AOB = ∠ DOC$。
(3) 题(2)中的关系仍成立，理由如下：
$\because ∠ AOC=90°$，$∠ BOD=90°$，
$\therefore ∠ AOB = 90° - ∠ BOC$，$∠ DOC = 90° - ∠ BOC$，
即$∠ AOB$和$∠ DOC$都是$∠ BOC$的余角，根据同角的余角相等，可得$∠ AOB=∠ DOC$，因此该关系仍然成立。
(1) 已知$∠ AOC$与$∠ BOD$都是直角，因此$∠ AOC=∠ BOD=90°$。
$∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC = 90° - 65° = 25°$，
$∠ AOD = ∠ BOD + ∠ AOB = 90° + 25° = 115°$。
故答案为$\boldsymbol{115°}$。
(2) $∠ AOB = ∠ DOC$，理由如下：
$\because ∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC = 90° - ∠ BOC$，
$∠ DOC = ∠ BOD - ∠ BOC = 90° - ∠ BOC$，
$\therefore ∠ AOB = ∠ DOC$。
(3) 题(2)中的关系仍成立，理由如下：
$\because ∠ AOC=90°$，$∠ BOD=90°$，
$\therefore ∠ AOB = 90° - ∠ BOC$，$∠ DOC = 90° - ∠ BOC$，
即$∠ AOB$和$∠ DOC$都是$∠ BOC$的余角，根据同角的余角相等，可得$∠ AOB=∠ DOC$，因此该关系仍然成立。
解析
【分析】
解决本题可按以下思路思考：(1) 先利用直角的定义明确∠AOC和∠BOD的度数都是90°，先通过∠AOC减去∠BOC求出∠AOB的度数，再将∠BOD与∠AOB相加就能得到∠AOD的度数；(2) 分别把∠AOB和∠DOC转化为90°与∠BOC的差，对比两个表达式即可判断两个角的大小关系；(3) 若不知道∠BOC的具体度数，可发现∠AOB和∠DOC都是∠BOC的余角，根据余角的性质就能判断第二问的关系仍然成立。
【解析】
(1) 已知$∠ AOC$与$∠ BOD$都是直角，因此$∠ AOC=∠ BOD=90°$。
先计算$∠ AOB$的度数：$∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC = 90° - 65° = 25°$，
再计算$∠ AOD$的度数：$∠ AOD = ∠ BOD + ∠ AOB = 90° + 25° = 115°$。
(2) $∠ AOB = ∠ DOC$，理由如下：
$\because ∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC = 90° - ∠ BOC$，
$∠ DOC = ∠ BOD - ∠ BOC = 90° - ∠ BOC$，
$\therefore ∠ AOB = ∠ DOC$。
(3) 题(2)中的关系仍成立，理由如下：
$\because ∠ AOC=90°$，$∠ BOD=90°$，
$\therefore ∠ AOB = 90° - ∠ BOC$，$∠ DOC = 90° - ∠ BOC$，
即$∠ AOB$和$∠ DOC$都是$∠ BOC$的余角，根据同角的余角相等，可得$∠ AOB=∠ DOC$，因此该关系仍然成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{115°}$
(2) $\boldsymbol{∠AOB=∠DOC}$
(3) 仍成立
【知识点】
角的和差计算，直角的定义，同角的余角相等
【点评】
本题是角的运算的基础题型，核心考查直角的性质和余角相关性质的应用，解题关键是准确梳理图中各角的和差关系，熟练掌握对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题可按以下思路思考：(1) 先利用直角的定义明确∠AOC和∠BOD的度数都是90°，先通过∠AOC减去∠BOC求出∠AOB的度数，再将∠BOD与∠AOB相加就能得到∠AOD的度数；(2) 分别把∠AOB和∠DOC转化为90°与∠BOC的差，对比两个表达式即可判断两个角的大小关系；(3) 若不知道∠BOC的具体度数，可发现∠AOB和∠DOC都是∠BOC的余角，根据余角的性质就能判断第二问的关系仍然成立。
【解析】
(1) 已知$∠ AOC$与$∠ BOD$都是直角，因此$∠ AOC=∠ BOD=90°$。
先计算$∠ AOB$的度数：$∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC = 90° - 65° = 25°$，
再计算$∠ AOD$的度数：$∠ AOD = ∠ BOD + ∠ AOB = 90° + 25° = 115°$。
(2) $∠ AOB = ∠ DOC$，理由如下：
$\because ∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC = 90° - ∠ BOC$，
$∠ DOC = ∠ BOD - ∠ BOC = 90° - ∠ BOC$，
$\therefore ∠ AOB = ∠ DOC$。
(3) 题(2)中的关系仍成立，理由如下：
$\because ∠ AOC=90°$，$∠ BOD=90°$，
$\therefore ∠ AOB = 90° - ∠ BOC$，$∠ DOC = 90° - ∠ BOC$，
即$∠ AOB$和$∠ DOC$都是$∠ BOC$的余角，根据同角的余角相等，可得$∠ AOB=∠ DOC$，因此该关系仍然成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{115°}$
(2) $\boldsymbol{∠AOB=∠DOC}$
(3) 仍成立
【知识点】
角的和差计算，直角的定义，同角的余角相等
【点评】
本题是角的运算的基础题型，核心考查直角的性质和余角相关性质的应用，解题关键是准确梳理图中各角的和差关系，熟练掌握对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.一个角的补角加上$10°$后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数.
答案
解：设这个角的度数为x，
则它的补角为$(180° - x)$，余角为$(90° - x)$。
根据题意列方程：
$180° - x + 10° = 3(90° - x)$
整理得：$190° - x = 270° - 3x$
移项得：$3x - x = 270° - 190°$
合并同类项得：$2x = 80°$
解得：$x = 40°$
它的余角为：$90° - 40° = 50°$
它的补角为：$180° - 40° = 140°$
答：这个角的度数为$40°$，它的余角为$50°$，它的补角为$140°$。
则它的补角为$(180° - x)$，余角为$(90° - x)$。
根据题意列方程：
$180° - x + 10° = 3(90° - x)$
整理得：$190° - x = 270° - 3x$
移项得：$3x - x = 270° - 190°$
合并同类项得：$2x = 80°$
解得：$x = 40°$
它的余角为：$90° - 40° = 50°$
它的补角为：$180° - 40° = 140°$
答：这个角的度数为$40°$，它的余角为$50°$，它的补角为$140°$。
解析
【分析】
遇到这类涉及角的余角、补角的等量关系问题，首先要明确余角和补角的定义：若两个角的和为90°则两角互余，若两个角的和为180°则两角互补。解题时先设所求角的度数为未知数x，用含x的式子分别表示出它的余角和补角，再根据题目给出的等量关系“补角+10°=余角×3”列出一元一次方程，解方程求出x后，再分别计算对应的余角和补角度数即可，最后可代入原题验证结果是否符合题意。
【解析】
解：设这个角的度数为x，
则它的补角为$(180° - x)$，余角为$(90° - x)$。
根据题意列方程：
$180° - x + 10° = 3(90° - x)$
整理得：$190° - x = 270° - 3x$
移项得：$3x - x = 270° - 190°$
合并同类项得：$2x = 80°$
解得：$x = 40°$
它的余角为：$90° - 40° = 50°$
它的补角为：$180° - 40° = 140°$
答：这个角的度数为$40°$，它的余角为$50°$，它的补角为$140°$。
【答案】
这个角的度数为$40°$，它的余角为$50°$，它的补角为$140°$。
【知识点】
余角与补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是角的计算类基础题型，重点考查对余角、补角数量关系的理解与运用，只要能准确找到等量关系列方程，即可顺利求解，是角相关内容的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
遇到这类涉及角的余角、补角的等量关系问题，首先要明确余角和补角的定义：若两个角的和为90°则两角互余，若两个角的和为180°则两角互补。解题时先设所求角的度数为未知数x，用含x的式子分别表示出它的余角和补角，再根据题目给出的等量关系“补角+10°=余角×3”列出一元一次方程，解方程求出x后，再分别计算对应的余角和补角度数即可，最后可代入原题验证结果是否符合题意。
【解析】
解：设这个角的度数为x，
则它的补角为$(180° - x)$，余角为$(90° - x)$。
根据题意列方程：
$180° - x + 10° = 3(90° - x)$
整理得：$190° - x = 270° - 3x$
移项得：$3x - x = 270° - 190°$
合并同类项得：$2x = 80°$
解得：$x = 40°$
它的余角为：$90° - 40° = 50°$
它的补角为：$180° - 40° = 140°$
答：这个角的度数为$40°$，它的余角为$50°$，它的补角为$140°$。
【答案】
这个角的度数为$40°$，它的余角为$50°$，它的补角为$140°$。
【知识点】
余角与补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是角的计算类基础题型，重点考查对余角、补角数量关系的理解与运用，只要能准确找到等量关系列方程，即可顺利求解，是角相关内容的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
4.如图,已知点 O 在直线 AB 上,∠AOE:∠EOD=1:3,OC 是∠BOD 的平分线,∠EOC=115°,求∠AOE 和∠BOC.
答案
解：设∠AOE = x，
∵ ∠AOE:∠EOD = 1:3，
∴ ∠EOD = 3x，
∵ ∠EOC = 115°，
∴ ∠COD = ∠EOC - ∠EOD = 115° - 3x，
∵ OC是∠BOD的平分线，
∴ ∠BOC = ∠COD = 115° - 3x，
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°，即∠AOE + ∠EOD + ∠COD + ∠BOC = 180°，
代入得：x + 3x + (115° - 3x) + (115° - 3x) = 180°，
化简得：230° - 2x = 180°，
解得：x = 25°，
∴ ∠AOE = 25°，
∠BOC = 115° - 3×25° = 40°。
∵ ∠AOE:∠EOD = 1:3，
∴ ∠EOD = 3x，
∵ ∠EOC = 115°，
∴ ∠COD = ∠EOC - ∠EOD = 115° - 3x，
∵ OC是∠BOD的平分线，
∴ ∠BOC = ∠COD = 115° - 3x，
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°，即∠AOE + ∠EOD + ∠COD + ∠BOC = 180°，
代入得：x + 3x + (115° - 3x) + (115° - 3x) = 180°，
化简得：230° - 2x = 180°，
解得：x = 25°，
∴ ∠AOE = 25°，
∠BOC = 115° - 3×25° = 40°。
解析
【分析】
遇到含比例关系的角的计算问题，首先可通过设未知数表示各相关角：根据∠AOE和∠EOD的比例设∠AOE为x，就能用x表示出∠EOD；再结合∠EOC的度数，用角的和差关系表示出∠COD；接着利用角平分线的性质得到∠BOC和∠COD相等；最后根据点O在直线AB上可知∠AOB是平角即180°，把所有组成平角的角相加等于180°，列方程求解即可得到答案。
【解析】
设∠AOE = x，
∵ ∠AOE:∠EOD = 1:3，
∴ ∠EOD = 3x，
∵ ∠EOC = 115°，
∴ ∠COD = ∠EOC - ∠EOD = 115° - 3x，
∵ OC是∠BOD的平分线，
∴ ∠BOC = ∠COD = 115° - 3x，
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°，即∠AOE + ∠EOD + ∠COD + ∠BOC = 180°，
代入各角表达式得：x + 3x + (115° - 3x) + (115° - 3x) = 180°，
化简得：230° - 2x = 180°，
解得：x = 25°，
∴ ∠AOE = 25°，
∠BOC = 115° - 3×25° = 40°。
【答案】
∠AOE=25°，∠BOC=40°
【知识点】
平角的定义；角平分线的性质；角的和差计算
【点评】
本题是角的计算的典型题型，核心解题思路是运用方程思想，将未知角用未知数表示后结合几何性质建立等量关系求解，能够有效考查学生对角度相关性质的掌握程度和运用方程解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
遇到含比例关系的角的计算问题，首先可通过设未知数表示各相关角：根据∠AOE和∠EOD的比例设∠AOE为x，就能用x表示出∠EOD；再结合∠EOC的度数，用角的和差关系表示出∠COD；接着利用角平分线的性质得到∠BOC和∠COD相等；最后根据点O在直线AB上可知∠AOB是平角即180°，把所有组成平角的角相加等于180°，列方程求解即可得到答案。
【解析】
设∠AOE = x，
∵ ∠AOE:∠EOD = 1:3，
∴ ∠EOD = 3x，
∵ ∠EOC = 115°，
∴ ∠COD = ∠EOC - ∠EOD = 115° - 3x，
∵ OC是∠BOD的平分线，
∴ ∠BOC = ∠COD = 115° - 3x，
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°，即∠AOE + ∠EOD + ∠COD + ∠BOC = 180°，
代入各角表达式得：x + 3x + (115° - 3x) + (115° - 3x) = 180°，
化简得：230° - 2x = 180°，
解得：x = 25°，
∴ ∠AOE = 25°，
∠BOC = 115° - 3×25° = 40°。
【答案】
∠AOE=25°，∠BOC=40°
【知识点】
平角的定义；角平分线的性质；角的和差计算
【点评】
本题是角的计算的典型题型，核心解题思路是运用方程思想，将未知角用未知数表示后结合几何性质建立等量关系求解，能够有效考查学生对角度相关性质的掌握程度和运用方程解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
