7.(2026昭通期末)如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOE=∠COF=90°,则图中∠COE的余角有().

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

B

【分析】
解题时首先明确余角的定义：两个角的和为90°，则这两个角互为余角。首先结合已知的∠AOE=90°、∠COF=90°，先直接找出和∠COE相加等于90°的角；再利用对顶角相等的性质，找出和已得余角相等的角，即可得到所有∠COE的余角，注意不要漏记对顶角对应的余角。
【解析】
根据余角的定义，若两个角的和为90°，则这两个角互为余角：
1. 已知∠AOE=90°，可得∠AOC + ∠COE = ∠AOE = 90°，因此∠AOC是∠COE的余角；
2. 已知∠COF=90°，可得∠COE + ∠EOF = ∠COF = 90°，因此∠EOF是∠COE的余角；
3. 因为直线AB、CD相交于点O，根据对顶角相等的性质，∠BOD = ∠AOC，代入∠AOC + ∠COE=90°，可得∠BOD + ∠COE=90°，因此∠BOD也是∠COE的余角。
综上，∠COE的余角共有3个。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义，对顶角相等，直角的性质
【点评】
本题是余角识别的常见题型，解题时要结合图形性质全面排查符合条件的角，尤其不要遗漏由对顶角相等推导得到的余角，避免漏解。
【难度系数】
0.7

8. 如图，O为直线AB上的点，$∠ COD=90°$，OM平分$∠ AOD$，ON平分$∠ BOC$，OE平分$∠ BOD$。下列四个结论：①$∠ AOC$与$∠ BOD$互余；②$∠ COE$与$∠ MOD$互补；③在图中画出射线OF，使$∠ EOF=135°$，则OF平分$∠ AOC$；④在图中以O为顶点且小于平角的角共有20个。其中正确的是（填序号）。

解：
① 因为O为直线AB上的点，所以∠AOB=180°，
又∠COD=90°，所以∠AOC + ∠BOD = 180° - ∠COD = 90°，
因此∠AOC与∠BOD互余，①正确。
② 因为OM平分∠AOD，OE平分∠BOD，
所以∠MOD = $\frac{1}{2}$∠AOD，∠DOE = $\frac{1}{2}$∠BOD，
则∠MOD + ∠DOE = $\frac{1}{2}$(∠AOD + ∠BOD) = $\frac{1}{2}×180°=90°$，
又∠COE = ∠COD + ∠DOE = 90° + ∠DOE，
所以∠COE + ∠MOD = 90° + ∠DOE + ∠MOD = 90° + 90° = 180°，
因此∠COE与∠MOD互补，②正确。
③ 因为∠EOF=135°，所以∠AOF = 180° - ∠EOF - ∠BOE = 45° - ∠BOE，
由OE平分∠BOD得∠BOE = $\frac{1}{2}$∠BOD，
结合①中∠AOC = 90° - ∠BOD，可得$\frac{1}{2}$∠AOC = 45° - $\frac{1}{2}$∠BOD = 45° - ∠BOE，
因此∠AOF = $\frac{1}{2}$∠AOC，即OF平分∠AOC，③正确。
④ 图中以O为顶点的射线共7条，所有角的总数为$\frac{7×6}{2}=21$个，减去唯一的平角∠AOB，得小于平角的角共20个，④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①②③④}$。

【分析】
我们逐个验证四个结论是否正确：1. 验证①时，利用平角∠AOB=180°和已知∠COD=90°，计算∠AOC+∠BOD的度数，结合余角定义判断；2. 验证②时，利用角平分线的性质，分别表示出∠MOD和∠DOE，计算∠COE+∠MOD的和，结合补角定义判断；3. 验证③时，结合∠EOF=135°和平角180°，推导∠AOF的度数，再和$\frac{1}{2}∠AOC$对比，判断OF是否平分∠AOC；4. 验证④时，先数出以O为顶点的射线总数，利用角的计数公式算出总角数，减去平角∠AOB得到小于平角的角的数量。
【解析】
① 因为O为直线AB上的点，所以∠AOB=180°，又∠COD=90°，所以∠AOC + ∠BOD = 180° - ∠COD = 90°，因此∠AOC与∠BOD互余，①正确。
② 因为OM平分∠AOD，OE平分∠BOD，所以∠MOD = $\frac{1}{2}$∠AOD，∠DOE = $\frac{1}{2}$∠BOD，则∠MOD + ∠DOE = $\frac{1}{2}$(∠AOD + ∠BOD) = $\frac{1}{2}×180°=90°$，又∠COE = ∠COD + ∠DOE = 90° + ∠DOE，所以∠COE + ∠MOD = 90° + ∠DOE + ∠MOD = 90° + 90° = 180°，因此∠COE与∠MOD互补，②正确。
③ 因为∠EOF=135°，所以∠AOF = 180° - ∠EOF - ∠BOE = 45° - ∠BOE，由OE平分∠BOD得∠BOE = $\frac{1}{2}$∠BOD，结合①中∠AOC = 90° - ∠BOD，可得$\frac{1}{2}$∠AOC = 45° - $\frac{1}{2}$∠BOD = 45° - ∠BOE，因此∠AOF = $\frac{1}{2}$∠AOC，即OF平分∠AOC，③正确。
④ 图中以O为顶点的射线共7条，所有角的总数为$\frac{7×6}{2}=21$个，减去唯一的平角∠AOB，得小于平角的角共20个，④正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
余角与补角，角平分线的定义，角的计数
【点评】
本题综合考查角的相关计算与概念辨析，解题时需结合已知条件逐个推导结论，注意数角时要按照规律计数，避免漏算或重复计算，同时要准确把握余角、补角、角平分线的定义。
【难度系数】
0.6

9. 如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°.

(1)若∠AOC=50°,求∠BOD的度数；
(2)试判断∠BOE和∠COE有怎样的数量关系,说说你的理由.

解：
(1) 因为OD平分∠AOC，∠AOC=50°，
所以∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = 25°。
因为O为直线AB上一点，所以∠AOB=180°，
所以∠BOD = 180° - ∠AOD = 180° - 25° = 155°。
(2) ∠BOE = ∠COE，理由如下：
因为∠DOE=90°，
所以∠AOD + ∠BOE = 180° - ∠DOE = 90°，
∠COD + ∠COE = ∠DOE = 90°。
又因为OD平分∠AOC，
所以∠AOD = ∠COD，
根据等角的余角相等，可得∠BOE = ∠COE。

【分析】
（1）解决第一问时，先根据角平分线的定义，由OD平分∠AOC算出∠AOD的度数，再结合O在直线AB上，∠AOB是180°的平角，用∠AOB减去∠AOD即可得到∠BOD的度数。
（2）解决第二问时，先观察到∠DOE是90°，可得∠COD与∠COE互余；再根据平角180°，可得∠AOD与∠BOE也互余；最后结合OD平分∠AOC得出∠AOD=∠COD，利用等角的余角相等就能判断∠BOE和∠COE的数量关系。
【解析】
(1) 因为OD平分∠AOC，∠AOC=50°，
所以∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = 25°。
因为O为直线AB上一点，所以∠AOB=180°，
所以∠BOD = 180° - ∠AOD = 180° - 25° = 155°。
(2) ∠BOE = ∠COE，理由如下：
因为∠DOE=90°，
所以∠AOD + ∠BOE = 180° - ∠DOE = 90°，
∠COD + ∠COE = ∠DOE = 90°。
又因为OD平分∠AOC，
所以∠AOD = ∠COD，
根据等角的余角相等，可得∠BOE = ∠COE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{155°}$；
(2) $\boldsymbol{∠BOE=∠COE}$
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，余角的性质
【点评】
本题是角的计算与性质的基础应用题，解题的关键是梳理清楚图中角的和差关系，结合角平分线、余角的相关性质推导结论，能较好地考查学生对基础角性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8

10.(运算能力、推理能力)如图，O是直线AB上一点，射线OC绕点O顺时针旋转，从OA出发，每秒旋转$10°$，射线OD绕点O逆时针旋转，以相同的速度从OB出发，射线OC与OD同时旋转，设旋转的时间为$t\ \mathrm{s}$，当OC旋转到与OD重合时，OC，OD都停止运动.
(1)猜想：$∠ AOC+∠ AOD=\_\_\_\_\_\_°$，并说明理由.
(2)已知射线OE始终平分$∠ BOD$，射线OF在$∠ COD$内，且满足$∠ BOD$与$∠ EOF$互余.
①当$t=3\ \mathrm{s}$时，$∠ EOF=\_\_\_\_\_\_°$；
②在运动过程中，试探究$∠ BOF$与$∠ COF$之间有怎样的数量关系，并说明理由.

解：
(1) $\boldsymbol{180}$
理由：因为O是直线AB上的点，所以$∠ AOB=180°$，即$∠ AOD + ∠ BOD=180°$。
由旋转可知，$∠ AOC=10t°$，$∠ BOD=10t°$，因此$∠ AOC=∠ BOD$。
所以$∠ AOC + ∠ AOD=∠ BOD + ∠ AOD=180°$。
(2) ① $\boldsymbol{60}$
② $∠ BOF=∠ COF$，理由如下：
因为OE平分$∠ BOD$，所以$∠ BOE=∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD$。
已知$∠ BOD$与$∠ EOF$互余，因此$∠ BOD + ∠ EOF=90°$，即$∠ EOF=90°-∠ BOD$。
则$∠ BOF=∠ BOE + ∠ EOF=\frac{1}{2}∠ BOD + 90° - ∠ BOD=90°-\frac{1}{2}∠ BOD$。
又因为$∠ AOC=∠ BOD$，$∠ AOC + ∠ COB=180°$，所以$∠ COB=180°-∠ BOD$。
因此$∠ COF=∠ COB - ∠ BOF=(180°-∠ BOD)-(90°-\frac{1}{2}∠ BOD)=90°-\frac{1}{2}∠ BOD$。
可得$∠ BOF=∠ COF$。

【分析】
(1) 首先根据直线的性质可知平角∠AOB=180°，即∠AOD+∠BOD=180°；再结合两条射线旋转速度相同、时间相同的条件，可得旋转角度相等即∠AOC=∠BOD，通过等量代换即可求出∠AOC+∠AOD的度数。
(2) ①先根据旋转速度和t=3s算出∠BOD的度数，再利用互余的定义（两个角的和为90°）直接计算∠EOF即可。
②要探究∠BOF和∠COF的关系，先利用角平分线的定义表示出∠BOE，结合互余条件表示出∠EOF，进而得到∠BOF的表达式；再根据平角性质得到∠COB与∠BOD的关系，用∠COB减去∠BOF得到∠COF的表达式，对比两个表达式即可得出两角的数量关系。
【解析】
(1) 填空答案为180，理由如下：
∵O是直线AB上的点，
∴∠AOB=180°，即$∠ AOD + ∠ BOD=180°$。
由旋转性质可知：$∠ AOC=10t°$，$∠ BOD=10t°$，因此$∠ AOC=∠ BOD$。
∴$∠ AOC + ∠ AOD=∠ BOD + ∠ AOD=180°$。
(2) ①当$t=3\ \mathrm{s}$时，$∠ BOD=10°×3=30°$，
∵$∠ BOD$与$∠ EOF$互余，
∴$∠ BOD+∠ EOF=90°$，
∴$∠ EOF=90°-30°=60°$。
②$∠ BOF=∠ COF$，理由如下：
∵OE平分$∠ BOD$，
∴$∠ BOE=∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD$。
∵$∠ BOD$与$∠ EOF$互余，
∴$∠ BOD + ∠ EOF=90°$，即$∠ EOF=90°-∠ BOD$。
∴$∠ BOF=∠ BOE + ∠ EOF=\frac{1}{2}∠ BOD + 90° - ∠ BOD=90°-\frac{1}{2}∠ BOD$。
又
∵$∠ AOC=∠ BOD$，$∠ AOC + ∠ COB=180°$，
∴$∠ COB=180°-∠ BOD$。
∴$∠ COF=∠ COB - ∠ BOF=(180°-∠ BOD)-(90°-\frac{1}{2}∠ BOD)=90°-\frac{1}{2}∠ BOD$。
可得$∠ BOF=∠ COF$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{180}$；(2) ①$\boldsymbol{60}$；②$\boldsymbol{∠BOF=∠COF}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，余角的性质
【点评】
本题结合射线动态旋转的情境考查角的相关运算，解题核心是抓住旋转过程中不变的角度等量关系，用代数式表示出相关角的度数，能有效锻炼逻辑推理能力和角度运算能力。
【难度系数】
0.65