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例5 在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的$△ ABD$和$△ ACE$两个三角形，并写出四个条件：①$AB=AC$；②$AD=AE$；③$∠1=∠2$；④$∠ B=∠ C$。请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明。
题设：
证明：
题设：
①②③
；结论：④
。（均填写序号）证明：
答案
例5 答案不唯一,如:题设:①②③;结论:④。证明:因为$∠1=∠2$,所以$∠BAD=∠CAE$。在$△ABD$和$△ACE$中,因为$AB=AC$,$∠BAD=∠CAE$,$AD=AE$,所以$△ABD≌△ACE$(SAS),所以$∠B=∠C$(全等三角形对应角相等)。
解析
【分析】
这是一道考查全等三角形判定与性质的开放性试题，我们可以先筛选能证明三角形全等的三个条件作为题设，剩余一个作为结论。以选①②③作为题设为例：首先观察已知角∠1和∠2，给两个角同时加上公共角∠CAD，可得到△ABD和△ACE的夹角∠BAD=∠CAE，再结合AB=AC、AD=AE的边的条件，就能用SAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等即可推出∠B=∠C。
【解析】
我们以题设为①②③、结论为④为例证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC（已知）\\∠BAD=∠CAE（已证）\\AD=AE（已知）\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
【答案】
答案不唯一，示例：题设：①②③；结论：④。证明：因为∠1=∠2，所以∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，因为$AB=AC$，$∠BAD=∠CAE$，$AD=AE$，所以$△ABD≌△ACE$(SAS)，所以$∠B=∠C$(全等三角形对应角相等)。
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、角的和差运算
【点评】
本题属于开放类习题，需要自主组合条件和结论并验证，核心考查全等三角形相关知识的应用，解题时要注意挖掘图形中隐含的公共角等条件，能有效锻炼逻辑推理和知识灵活运用的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道考查全等三角形判定与性质的开放性试题，我们可以先筛选能证明三角形全等的三个条件作为题设，剩余一个作为结论。以选①②③作为题设为例：首先观察已知角∠1和∠2，给两个角同时加上公共角∠CAD，可得到△ABD和△ACE的夹角∠BAD=∠CAE，再结合AB=AC、AD=AE的边的条件，就能用SAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等即可推出∠B=∠C。
【解析】
我们以题设为①②③、结论为④为例证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC（已知）\\∠BAD=∠CAE（已证）\\AD=AE（已知）\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
【答案】
答案不唯一，示例：题设：①②③；结论：④。证明：因为∠1=∠2，所以∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，因为$AB=AC$，$∠BAD=∠CAE$，$AD=AE$，所以$△ABD≌△ACE$(SAS)，所以$∠B=∠C$(全等三角形对应角相等)。
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、角的和差运算
【点评】
本题属于开放类习题，需要自主组合条件和结论并验证，核心考查全等三角形相关知识的应用，解题时要注意挖掘图形中隐含的公共角等条件，能有效锻炼逻辑推理和知识灵活运用的能力。
【难度系数】
0.7
例6 在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F。
(1)如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长。
(2)如图2，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F。求证：BE+CF=$\frac{1}{2}$AB。
(1)如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长。
(2)如图2，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F。求证：BE+CF=$\frac{1}{2}$AB。
答案
例6 (1)1。 (2)过点D作$DG⊥AB$于点G,$DN⊥AC$于点N,易证$△DEG≌△DFN$,故$EG=FN$,易得$BE+CF=BG+GE+CN-NF=2BG=BD=\frac{1}{2}AB$。
解析
【分析】
(1) 先由AB=AC且∠A=60°判定△ABC是等边三角形，得到三边相等、内角均为60°的结论，结合D是BC中点求出BD的长度；再根据DF⊥AC、∠EDF=120°推导∠EDB的度数，最后在含30°角的直角三角形BED中计算BE的长度。
(2) 要证明BE+CF=$\frac{1}{2}$AB，可通过作辅助线构造全等三角形转化线段：过D作DG⊥AB于G、DN⊥AC于N，先证明△DEG≌△DFN得到EG=FN，再结合等边三角形的性质得到BG=CN，最后通过线段和差关系推导结论。
【解析】
(1) 解：
∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°，
∵D是BC中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴∠FDC=180°-90°-60°=30°，
又
∵∠EDF=120°，
∴∠EDB=180°-120°-30°=30°，
在△BED中，∠BED=180°-60°-30°=90°，
∴Rt△BED中，∠EDB=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=1。
(2) 证明：
过点D作DG⊥AB于点G，DN⊥AC于点N，
∵△ABC是等边三角形，D是BC中点，
∴AD平分∠BAC，根据角平分线的性质得DG=DN，
∵∠A=60°，∠DGA=∠DNA=90°，
∴∠GDN=360°-60°-90°-90°=120°，
∵∠EDF=120°，
∴∠EDG+∠GDF=∠FDN+∠GDF=120°，即∠EDG=∠FDN，
在△DEG和△DFN中：
$\{\begin{array}{l}∠DGE=∠DNF=90°\\DG=DN\\∠EDG=∠FDN\end{array} $
∴△DEG≌△DFN（ASA），
∴EG=FN，
同理可证△BDG≌△CDN（AAS），
∴BG=CN，
∴BE+CF=BG+GE + (CN-FN) = BG+CN=2BG，
在Rt△BDG中，∠B=60°，∠BDG=30°，
∴BG=$\frac{1}{2}$BD，即BD=2BG，
又
∵BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴BE+CF=BD=$\frac{1}{2}$AB，得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) 证明成立，过程如上。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的综合应用题，第一问可直接利用等边三角形和直角三角形的性质求解，第二问的核心是作垂线段构造全等三角形，通过线段的等量转化推导和的结论，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 先由AB=AC且∠A=60°判定△ABC是等边三角形，得到三边相等、内角均为60°的结论，结合D是BC中点求出BD的长度；再根据DF⊥AC、∠EDF=120°推导∠EDB的度数，最后在含30°角的直角三角形BED中计算BE的长度。
(2) 要证明BE+CF=$\frac{1}{2}$AB，可通过作辅助线构造全等三角形转化线段：过D作DG⊥AB于G、DN⊥AC于N，先证明△DEG≌△DFN得到EG=FN，再结合等边三角形的性质得到BG=CN，最后通过线段和差关系推导结论。
【解析】
(1) 解：
∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°，
∵D是BC中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴∠FDC=180°-90°-60°=30°，
又
∵∠EDF=120°，
∴∠EDB=180°-120°-30°=30°，
在△BED中，∠BED=180°-60°-30°=90°，
∴Rt△BED中，∠EDB=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=1。
(2) 证明：
过点D作DG⊥AB于点G，DN⊥AC于点N，
∵△ABC是等边三角形，D是BC中点，
∴AD平分∠BAC，根据角平分线的性质得DG=DN，
∵∠A=60°，∠DGA=∠DNA=90°，
∴∠GDN=360°-60°-90°-90°=120°，
∵∠EDF=120°，
∴∠EDG+∠GDF=∠FDN+∠GDF=120°，即∠EDG=∠FDN，
在△DEG和△DFN中：
$\{\begin{array}{l}∠DGE=∠DNF=90°\\DG=DN\\∠EDG=∠FDN\end{array} $
∴△DEG≌△DFN（ASA），
∴EG=FN，
同理可证△BDG≌△CDN（AAS），
∴BG=CN，
∴BE+CF=BG+GE + (CN-FN) = BG+CN=2BG，
在Rt△BDG中，∠B=60°，∠BDG=30°，
∴BG=$\frac{1}{2}$BD，即BD=2BG，
又
∵BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴BE+CF=BD=$\frac{1}{2}$AB，得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) 证明成立，过程如上。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的综合应用题，第一问可直接利用等边三角形和直角三角形的性质求解，第二问的核心是作垂线段构造全等三角形，通过线段的等量转化推导和的结论，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$AE$平分$∠ BAC$，已知$∠ B = 38°$，$∠ CAD = 12°$，则$∠ EAD$的度数为
$32°$
。答案
1. $32°$
解析
【分析】
解题时可从所求角∠EAD出发倒推思路：∠EAD由∠CAE和∠CAD组成，已知∠CAD=12°，因此只需要求出∠CAE的度数即可。∠CAE是AE平分∠BAC得到的，所以需要先求∠BAC的度数；要求△ABC中∠BAC的度数，已知∠B=38°，只需再求出∠ACB的度数即可；∠ACB与∠ACD互为邻补角，而AD是BC边上的高，△ACD是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余可求出∠ACD，再逐步正向计算就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，
∴∠D=90°
在Rt△ACD中，∠CAD=12°，
∴∠ACD=90° - ∠CAD = 90° - 12° = 78°
∵∠ACB与∠ACD互为邻补角，
∴∠ACB=180° - ∠ACD = 180° - 78° = 102°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠BAC=180° - ∠B - ∠ACB = 180° - 38° - 102° = 40°
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×40° = 20°
∴∠EAD = ∠CAE + ∠CAD = 20° + 12° = 32°
【答案】
32°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础综合题，解题的关键是理清图中各角的位置关系，区分内角和邻补角，结合三角形的基础性质逐步推导即可，注意不要搞错角的加减逻辑。
【难度系数】
0.7
解题时可从所求角∠EAD出发倒推思路：∠EAD由∠CAE和∠CAD组成，已知∠CAD=12°，因此只需要求出∠CAE的度数即可。∠CAE是AE平分∠BAC得到的，所以需要先求∠BAC的度数；要求△ABC中∠BAC的度数，已知∠B=38°，只需再求出∠ACB的度数即可；∠ACB与∠ACD互为邻补角，而AD是BC边上的高，△ACD是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余可求出∠ACD，再逐步正向计算就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，
∴∠D=90°
在Rt△ACD中，∠CAD=12°，
∴∠ACD=90° - ∠CAD = 90° - 12° = 78°
∵∠ACB与∠ACD互为邻补角，
∴∠ACB=180° - ∠ACD = 180° - 78° = 102°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠BAC=180° - ∠B - ∠ACB = 180° - 38° - 102° = 40°
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×40° = 20°
∴∠EAD = ∠CAE + ∠CAD = 20° + 12° = 32°
【答案】
32°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础综合题，解题的关键是理清图中各角的位置关系，区分内角和邻补角，结合三角形的基础性质逐步推导即可，注意不要搞错角的加减逻辑。
【难度系数】
0.7
