2. (1)如图，$∠ MAB=30°$，$AB=2\mathrm{cm}$。点C在射线AM上，利用上图，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题。你画图时，选取的BC的长约为$\mathrm{cm}$（精确到0.1cm）。
(2)$∠ MAB$为锐角，$AB=a$，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，$BC=x$，若$△ ABC$的形状、大小是唯一确定的，则$x$的取值范围是。

2. (1)1.2(答案不唯一) (2)$x=d$或$x≥a$

【分析】
(1) 要证明“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”是假命题，需构造满足SSA条件但不全等的两个三角形。先过B作AM的垂线得到垂线段BD，计算得BD=1cm，只要选取BC的长度在1cm到2cm之间，以B为圆心BC长为半径画弧，会和射线AM交于两个不同的点$C_1$、$C_2$，此时$△ ABC_1$和$△ ABC_2$满足AB公共、$BC_1=BC_2$、$∠ A$公共，但两个三角形不全等，即可证明命题为假，所以BC可以取1~2之间的数值，比如1.2cm。
(2) 要使$△ ABC$的形状大小唯一确定，即射线AM上只存在1个符合条件的点C：①当BC等于点B到AM的距离d时，BC与AM垂直，只有1个交点C，三角形唯一；②当$BC≥ AB=a$时，以B为圆心BC为半径画弧，与射线AM仅存在1个不与A重合的交点，三角形唯一，据此可得x的取值范围。
【解析】
(1) 过点B作$BD⊥ AM$于点D，在$Rt△ ABD$中，$∠ MAB=30°$，$AB=2\mathrm{cm}$，
$\therefore BD = AB· \sin30° = 2×\frac{1}{2}=1\mathrm{cm}$。
选取$BC=1.2\mathrm{cm}$（满足$1\mathrm{cm}＜BC＜2\mathrm{cm}$均可），以B为圆心，1.2cm为半径画弧，与射线AM交于两个不同的点$C_1$、$C_2$，此时$△ ABC_1$和$△ ABC_2$中，$AB=AB$，$BC_1=BC_2$，$∠ MAB=∠ MAB$，但两个三角形不全等，即可说明该命题是假命题。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$x=d$时，$BC⊥ AM$，此时点C唯一，$△ ABC$为直角三角形，形状大小唯一确定；
② 当$x≥ a$时，以B为圆心x为半径画弧，与射线AM只有1个不与点A重合的交点，$△ ABC$唯一确定。
综上，x的取值范围是$x=d$或$x≥ a$。
【答案】
(1)1.2（答案不唯一，取值在1~2之间即可）
(2)$x=d$或$x≥ a$
【知识点】
全等三角形的判定；垂线段的性质；三角形的确定性
【点评】
本题围绕全等三角形的判定误区SSA展开，需要结合作图分析不同边长下三角形的存在情况，考查了分类讨论思想和作图探究能力，是全等判定部分的典型题型。
【难度系数】
0.6

3. 如图1，把一块三角板（$AB=BC$，$∠ ABC=90°$）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点$A,B,C$分别在槽的两壁及底边上滑动，已知$∠ D=∠ E=90°$，在滑动过程中，我们发现线段$AD=BE$。
【变式探究】如图2，在$△ ABC$中，点$D,E,F$分别在边$BC,AB,AC$上，若$∠ B=∠ FDE=∠ C$，那么$∠ BED$与$∠ CDF$有何关系，并说明理由。
【拓展应用】如图3，在$△ ABC$中，$BA=BC$，$∠ B=45°$，$D,F$分别是边$BC,AB$上的动点。以$DF$为腰向右作等腰三角形$DEF$，使得$DE=DF$，$∠ EDF=45°$，连结$CE$。
①已知$AF=2BD$，试判断线段$DC,BD,BF$之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，已知$AC=4$，$G$是$AC$的中点，连结$EA,EG$，直接写出$EA+EG$的最小值。

3.【变式探究】$∠BED=∠CDF$。理由如下:因为$∠B+∠BED=∠EDC$,$∠EDC=∠FDE+∠CDF$,所以$∠B+∠BED=∠FDE+∠CDF$。又因为$∠B=∠FDE$,所以$∠BED=∠CDF$。
【拓展应用】①$BD+BF=CD$。理由如下:因为$AB=BC$,所以$AF+BF=BD+CD$。因为$AF=2BD$,所以$2BD+BF=BD+CD$,所以$BD+BF=CD$。 ②如图,在$CD$上截取$DM=BF$,连结$EM$,作点$G$关于$CE$的对称点$N$,连结$CN$,$EN$,因为$∠B=45°$,$∠EDF=45°$,所以$∠BFD=∠EDM$,因为$DF=DE$,所以$△BDF≌△MED$(SAS),所以$EM=BD$,$∠B=∠DME=45°$。因为$CD=BD+BF$,所以$CM=BD$,所以$EM=CM$,所以$∠MCE=∠MEC$。因为$∠EMD=45°$,所以$∠ECM=∠MEC=22.5°$,所以点$E$在射线$CE$上运动。因为点$G$与点$N$的关于$CE$对称,所以$EG=EN$,所以$EA+EG=EA+EN≥AN$,所以当$A,E,N$三点共线时,$EA+EG$的值最小,最小值为$AN$。因为$∠B=45°$,$AB=BC$,所以$∠ACB=67.5°$,所以$∠ACE=45°$,由对称性可知$∠ACE=∠ECN$,所以$∠ACN=90°$。因为$G$是$AC$的中点,$AC=4$,所以$CG=2$,所以$CN=2$。在$Rt△ANC$中,$AN=\sqrt{20}$,所以$AE+EG$的最小值为$\sqrt{20}$。

【分析】
1. 变式探究：利用三角形外角的性质，将∠EDC分别用含∠BED和∠CDF的式子表示，结合已知∠B=∠FDE，即可推导两角的等量关系。
2. 拓展应用①：根据等腰三角形BA=BC得到AB、BC的边长和差关系，将AF=2BD代入等量关系化简，即可得到DC、BD、BF的数量关系。
3. 拓展应用②：先通过SAS证明△BDF≌△MED，确定点E的运动轨迹为射线CE；再利用轴对称将EG转化为EN，根据两点之间线段最短，找到EA+EG取最小值的情况，最后结合勾股定理计算最小值。
【解析】
变式探究
$∠BED=∠CDF$，理由如下：
由三角形外角性质可得：$∠B+∠BED=∠EDC$，
又$∠EDC=∠FDE+∠CDF$，因此$∠B+∠BED=∠FDE+∠CDF$，
已知$∠B=∠FDE$，等式两边同时减去相等的角，可得$∠BED=∠CDF$。
拓展应用①
$BD+BF=CD$，理由如下：
$\because BA=BC$，且$BA=AF+BF$，$BC=BD+CD$，
$\therefore AF+BF=BD+CD$，
将$AF=2BD$代入上式得：$2BD+BF=BD+CD$，
移项化简得：$BD+BF=CD$。
拓展应用②
如图，在$CD$上截取$DM=BF$，连结$EM$，作点$G$关于$CE$的对称点$N$，连结$CN$、$EN$。
$\because ∠B=45°$，$∠EDF=45°$，结合变式探究的结论可得$∠BFD=∠EDM$，
又$\because DF=DE$，$BF=DM$，
$\therefore △BDF≌△MED$（SAS），
$\therefore EM=BD$，$∠B=∠DME=45°$。
由①的结论$CD=BD+BF$，且$DM=BF$，因此$CD=DM+CM=BF+CM$，可得$CM=BD$，
$\therefore EM=CM$，即$△ EMC$为等腰三角形。
$\because ∠EMD=45°$是$△ EMC$的外角，$\therefore ∠ECM=∠MEC=\frac{1}{2}×45°=22.5°$，即点$E$在射线$CE$上运动。
$\because$点$G$与点$N$关于$CE$对称，$\therefore EG=EN$，
$\therefore EA+EG=EA+EN$，根据两点之间线段最短，当$A、E、N$三点共线时，$EA+EG$取得最小值，最小值为线段$AN$的长度。
$\because ∠B=45°$，$AB=BC$，$\therefore ∠ACB=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，
$\therefore ∠ACE=∠ACB-∠ECB=67.5°-22.5°=45°$，
由对称性质得$∠ACE=∠ECN$，因此$∠ACN=∠ACE+∠ECN=90°$。
$\because G$是$AC$中点，$AC=4$，$\therefore CG=2$，由对称性质得$CN=CG=2$，
在$Rt△ ANC$中，由勾股定理得$AN=\sqrt{AC^2+CN^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$，即$AE+EG$的最小值为$\sqrt{20}$。
【答案】
【变式探究】$∠BED=∠CDF$，理由见解析；
【拓展应用】①$BD+BF=CD$，理由见解析；②$AE+EG$的最小值为$\sqrt{20}$。

【知识点】
三角形外角性质；全等三角形判定与性质；最短路径问题
【点评】
本题层层递进设置问题，既考查了角度推导、边长代换等基础能力，也考查了动点轨迹判断、轴对称转化最值等综合应用能力，需要熟练掌握三角形相关性质，具备较强的逻辑推理和模型转化意识。
【难度系数】
0.4