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例3 （1）如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°,CH,CM分别是斜边AB上的高线和中线,则下列结论正确的是（
A.$CM=BC$
B.$CB=\frac{1}{2}AB$
C.$∠ACM=30°$
D.$CH· AB=AC· BC$
D
）A.$CM=BC$
B.$CB=\frac{1}{2}AB$
C.$∠ACM=30°$
D.$CH· AB=AC· BC$
答案
例3 (1)D
解析
【分析】
本题是直角三角形中高线、中线相关的结论判断题，解题时先回忆直角三角形的相关性质，再逐个分析选项：首先明确直角三角形斜边中线等于斜边的一半，但仅这个性质无法直接得出线段CM和BC相等、CB等于AB的一半，也无法推导角度大小；对于选项D，可利用三角形面积的两种不同计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），通过等积法验证是否成立，注意无角度条件时不要默认特殊角存在，避免误判A、B、C选项。
【解析】
已知△ABC中，∠ACB=90°，CH是AB边上的高线，CM是AB边上的中线。
1. 分析选项A：CM是斜边中线，故$CM=\frac{1}{2}AB$，只有当∠B=60°时，△BCM为等边三角形，才有CM=BC，题目未给出角度条件，无法证明，故A错误；
2. 分析选项B：只有当∠A=30°时，30°角所对的直角边CB才等于斜边AB的一半，题目无角度条件，故B错误；
3. 分析选项C：∠ACM的大小由∠A的度数决定，题目未给出特殊角条件，无法得出∠ACM=30°，故C错误；
4. 分析选项D：△ABC的面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CH$，因此$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$，两边同乘2可得$CH· AB=AC· BC$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形性质；三角形面积计算；等积法应用
【点评】
解题时要注意，直角三角形斜边中线等于斜边一半是通用性质，但“直角边等于斜边一半”仅适用于含30°角的直角三角形，没有给出角度条件时不能随意假设特殊角；利用面积的两种表达形式进行等积变形是验证直角三角形中线段乘积等式的常用方法。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形中高线、中线相关的结论判断题，解题时先回忆直角三角形的相关性质，再逐个分析选项：首先明确直角三角形斜边中线等于斜边的一半，但仅这个性质无法直接得出线段CM和BC相等、CB等于AB的一半，也无法推导角度大小；对于选项D，可利用三角形面积的两种不同计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），通过等积法验证是否成立，注意无角度条件时不要默认特殊角存在，避免误判A、B、C选项。
【解析】
已知△ABC中，∠ACB=90°，CH是AB边上的高线，CM是AB边上的中线。
1. 分析选项A：CM是斜边中线，故$CM=\frac{1}{2}AB$，只有当∠B=60°时，△BCM为等边三角形，才有CM=BC，题目未给出角度条件，无法证明，故A错误；
2. 分析选项B：只有当∠A=30°时，30°角所对的直角边CB才等于斜边AB的一半，题目无角度条件，故B错误；
3. 分析选项C：∠ACM的大小由∠A的度数决定，题目未给出特殊角条件，无法得出∠ACM=30°，故C错误；
4. 分析选项D：△ABC的面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CH$，因此$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$，两边同乘2可得$CH· AB=AC· BC$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形性质；三角形面积计算；等积法应用
【点评】
解题时要注意，直角三角形斜边中线等于斜边一半是通用性质，但“直角边等于斜边一半”仅适用于含30°角的直角三角形，没有给出角度条件时不能随意假设特殊角；利用面积的两种表达形式进行等积变形是验证直角三角形中线段乘积等式的常用方法。
【难度系数】
0.7
（2）如图2，AE是$△ ABC$的角平分线，$AD ⊥ BC$于点$D$，若$∠ BAC=130°$，$∠ C=30°$，则$∠ DAE$的度数是
$5°$
。答案
(2)$5°$
解析
【分析】
要求∠DAE的度数，观察图形可得∠DAE=∠CAE-∠CAD，我们可以分三步推导：①先根据角平分线的定义，求出∠CAE的度数，它是∠BAC的一半；②再根据AD⊥BC可知△ADC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，求出∠CAD的度数；③最后将两个角度作差，即可得到∠DAE的度数。
【解析】
解：
∵ AE是△ABC的角平分线，∠BAC=130°，
∴ ∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×130° = 65°，
∵ AD⊥BC于点D，
∴ ∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴ ∠CAD = 90° - ∠C = 90° - 30° = 60°，
∴ ∠DAE = ∠CAE - ∠CAD = 65° - 60° = 5°。
【答案】
5°
【知识点】
角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，角的和差计算
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题的核心是准确识别角平分线、高线对应的角度关系，理清所求角和已知角之间的和差逻辑，计算时注意不要出错即可。
【难度系数】
0.8
要求∠DAE的度数，观察图形可得∠DAE=∠CAE-∠CAD，我们可以分三步推导：①先根据角平分线的定义，求出∠CAE的度数，它是∠BAC的一半；②再根据AD⊥BC可知△ADC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，求出∠CAD的度数；③最后将两个角度作差，即可得到∠DAE的度数。
【解析】
解：
∵ AE是△ABC的角平分线，∠BAC=130°，
∴ ∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×130° = 65°，
∵ AD⊥BC于点D，
∴ ∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴ ∠CAD = 90° - ∠C = 90° - 30° = 60°，
∴ ∠DAE = ∠CAE - ∠CAD = 65° - 60° = 5°。
【答案】
5°
【知识点】
角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，角的和差计算
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题的核心是准确识别角平分线、高线对应的角度关系，理清所求角和已知角之间的和差逻辑，计算时注意不要出错即可。
【难度系数】
0.8
（3）已知AD是$△ ABC$的中线，且$△ ABD$比$△ ACD$的周长大3cm，则AB与AC的差为
（4）如图3，$△ ABC$中，点D在BC上且$BD=2DC$，E是AC中点，已知$△ CDE$面积为1，那么$△ ABC$的面积为
3cm
。（4）如图3，$△ ABC$中，点D在BC上且$BD=2DC$，E是AC中点，已知$△ CDE$面积为1，那么$△ ABC$的面积为
6
。答案
(3)3cm (4)6
解析
【分析】
第（3）题：首先根据三角形中线的定义，可得AD平分BC，即BD=CD。分别写出△ABD和△ACD的周长表达式，作差后公共边AD、相等的BD和CD都会抵消，剩余部分就是AB与AC的差，直接对应题干给出的周长差即可得到结果。
第（4）题：解题核心是利用“等底等高的三角形面积相等”“同高的三角形面积比等于对应底的比”两个规律。首先由E是AC中点，可知△CDE和△ADE等底等高，面积相等，先求出△ADC的面积；再根据BD=2DC，可知△ABD和△ADC同高，面积比为2:1，进而求出△ABC的总面积。
【解析】
（3）
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，
两三角形周长差为：$(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC$，
由题意得周长差为3cm，故$AB-AC=3\mathrm{cm}$，即AB与AC的差为3cm。
（4）
∵E是AC中点，
∴AE=CE，△CDE与△ADE等底（CE=AE）、等高（点D到AC的距离为公共高），
∴$S_{△ ADE}=S_{△ CDE}=1$，故$S_{△ ADC}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=1+1=2$。
∵$BD=2DC$，△ABD与△ADC同高（点A到BC的距离为公共高），
∴$S_{△ ABD}:S_{△ ADC}=BD:DC=2:1$，即$S_{△ ABD}=2× S_{△ ADC}=2×2=4$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC}=4+2=6$。
【答案】
（3）$\boldsymbol{3\mathrm{cm}}$；（4）$\boldsymbol{6}$
【知识点】
三角形中线的性质，三角形周长计算，三角形面积与底高的关系
【点评】
这两道题是三角形性质的基础应用，解题的关键是抓住中线的特点，以及三角形周长、面积计算的相关规律，计算时注意抵消公共量，能简化计算过程，掌握核心规律后可快速求解。
【难度系数】
0.7
第（3）题：首先根据三角形中线的定义，可得AD平分BC，即BD=CD。分别写出△ABD和△ACD的周长表达式，作差后公共边AD、相等的BD和CD都会抵消，剩余部分就是AB与AC的差，直接对应题干给出的周长差即可得到结果。
第（4）题：解题核心是利用“等底等高的三角形面积相等”“同高的三角形面积比等于对应底的比”两个规律。首先由E是AC中点，可知△CDE和△ADE等底等高，面积相等，先求出△ADC的面积；再根据BD=2DC，可知△ABD和△ADC同高，面积比为2:1，进而求出△ABC的总面积。
【解析】
（3）
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，
两三角形周长差为：$(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC$，
由题意得周长差为3cm，故$AB-AC=3\mathrm{cm}$，即AB与AC的差为3cm。
（4）
∵E是AC中点，
∴AE=CE，△CDE与△ADE等底（CE=AE）、等高（点D到AC的距离为公共高），
∴$S_{△ ADE}=S_{△ CDE}=1$，故$S_{△ ADC}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}=1+1=2$。
∵$BD=2DC$，△ABD与△ADC同高（点A到BC的距离为公共高），
∴$S_{△ ABD}:S_{△ ADC}=BD:DC=2:1$，即$S_{△ ABD}=2× S_{△ ADC}=2×2=4$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC}=4+2=6$。
【答案】
（3）$\boldsymbol{3\mathrm{cm}}$；（4）$\boldsymbol{6}$
【知识点】
三角形中线的性质，三角形周长计算，三角形面积与底高的关系
【点评】
这两道题是三角形性质的基础应用，解题的关键是抓住中线的特点，以及三角形周长、面积计算的相关规律，计算时注意抵消公共量，能简化计算过程，掌握核心规律后可快速求解。
【难度系数】
0.7
例4 (1)下列语句不是命题的是 (
A. 对顶角相等
B. 连结AB,并延长至点C
C. 内错角相等
D. 同角的余角相等
(2)将下列命题写成“如果……那么……”的形式。
①一个锐角的补角大于这个角的余角；
②异号两数相加得零。
(3)判断下列命题是真命题还是假命题。
①如果 $ ab=0 $,那么 $ a=0 $;
②若 $ a $ 是有理数,则 $ a^2 +1＞0 $;
③1是质数；
④两条直线相交,只有一个交点；
⑤同位角相等。
【反思】命题是由条件和结论两部分组成,判断是否是命题不是看语句是否正确,而是看语句是否有判断。说明一个命题是真命题要用证明的方法,而说明一个命题是假命题只要举一个反例即可。
B
)A. 对顶角相等
B. 连结AB,并延长至点C
C. 内错角相等
D. 同角的余角相等
(2)将下列命题写成“如果……那么……”的形式。
①一个锐角的补角大于这个角的余角；
②异号两数相加得零。
(3)判断下列命题是真命题还是假命题。
①如果 $ ab=0 $,那么 $ a=0 $;
②若 $ a $ 是有理数,则 $ a^2 +1＞0 $;
③1是质数；
④两条直线相交,只有一个交点；
⑤同位角相等。
【反思】命题是由条件和结论两部分组成,判断是否是命题不是看语句是否正确,而是看语句是否有判断。说明一个命题是真命题要用证明的方法,而说明一个命题是假命题只要举一个反例即可。
答案
例4 (1)B (2)①如果一个角是锐角,那么这个角的补角大于这个角的余角;②如果两个数异号,那么这两个数相加得零。 (3)②④为真命题,①③⑤为假命题。
解析
【分析】
(1) 解题需先明确命题的定义：能够对某件事情作出真假判断的陈述句叫做命题，判断语句是否为命题，只需看它是否作出了明确的判断，和判断的正确与否无关，逐一分析选项即可得解。
(2) 把命题改写成“如果……那么……”形式，核心是拆分命题的条件和结论：“如果”后接命题的条件，“那么”后接命题的结论，调整语句通顺即可。
(3) 判断真假命题时，真命题要符合数学公理、定理或客观事实；假命题只需举出一个满足条件但不满足结论的反例即可，逐一验证每个命题即可。
【解析】
(1) 逐个分析选项：
A. “对顶角相等”作出了明确的判断，是命题；
B. “连结AB，并延长至点C”是操作指令，未作出任何判断，不是命题；
C. “内错角相等”作出了明确判断，仅判断结果错误，仍属于命题；
D. “同角的余角相等”作出了明确判断，是命题。
因此选B。
(2) ① 条件为“一个角是锐角”，结论为“这个角的补角大于这个角的余角”，改写为：如果一个角是锐角，那么这个角的补角大于这个角的余角。
② 条件为“两个数异号”，结论为“这两个数相加得零”，改写为：如果两个数异号，那么这两个数相加得零。
(3) 逐个判断：
① 举反例：当a=3，b=0时，ab=0，但a≠0，故该命题是假命题；
② 有理数的平方为非负数，即$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1＞0$恒成立，是真命题；
③ 1既不是质数也不是合数，故该命题是假命题；
④ 根据直线相交的性质，两条直线相交有且只有一个交点，是真命题；
⑤ 只有两条平行直线被第三条直线所截时同位角才相等，若两直线不平行，同位角不相等，故该命题是假命题。
综上②④为真命题，①③⑤为假命题。
【答案】
(1)B (2)①如果一个角是锐角,那么这个角的补角大于这个角的余角;②如果两个数异号,那么这两个数相加得零。 (3)②④为真命题,①③⑤为假命题。
【知识点】
命题的定义、命题的改写、真假命题判断
【点评】
本题是命题相关的基础常考题，核心考查对命题概念的理解，做题时要注意：判断是否为命题不需要考虑判断的对错，改写命题时要准确拆分条件和结论，判断假命题优先使用举反例的方法，掌握核心概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
(1) 解题需先明确命题的定义：能够对某件事情作出真假判断的陈述句叫做命题，判断语句是否为命题，只需看它是否作出了明确的判断，和判断的正确与否无关，逐一分析选项即可得解。
(2) 把命题改写成“如果……那么……”形式，核心是拆分命题的条件和结论：“如果”后接命题的条件，“那么”后接命题的结论，调整语句通顺即可。
(3) 判断真假命题时，真命题要符合数学公理、定理或客观事实；假命题只需举出一个满足条件但不满足结论的反例即可，逐一验证每个命题即可。
【解析】
(1) 逐个分析选项：
A. “对顶角相等”作出了明确的判断，是命题；
B. “连结AB，并延长至点C”是操作指令，未作出任何判断，不是命题；
C. “内错角相等”作出了明确判断，仅判断结果错误，仍属于命题；
D. “同角的余角相等”作出了明确判断，是命题。
因此选B。
(2) ① 条件为“一个角是锐角”，结论为“这个角的补角大于这个角的余角”，改写为：如果一个角是锐角，那么这个角的补角大于这个角的余角。
② 条件为“两个数异号”，结论为“这两个数相加得零”，改写为：如果两个数异号，那么这两个数相加得零。
(3) 逐个判断：
① 举反例：当a=3，b=0时，ab=0，但a≠0，故该命题是假命题；
② 有理数的平方为非负数，即$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1＞0$恒成立，是真命题；
③ 1既不是质数也不是合数，故该命题是假命题；
④ 根据直线相交的性质，两条直线相交有且只有一个交点，是真命题；
⑤ 只有两条平行直线被第三条直线所截时同位角才相等，若两直线不平行，同位角不相等，故该命题是假命题。
综上②④为真命题，①③⑤为假命题。
【答案】
(1)B (2)①如果一个角是锐角,那么这个角的补角大于这个角的余角;②如果两个数异号,那么这两个数相加得零。 (3)②④为真命题,①③⑤为假命题。
【知识点】
命题的定义、命题的改写、真假命题判断
【点评】
本题是命题相关的基础常考题，核心考查对命题概念的理解，做题时要注意：判断是否为命题不需要考虑判断的对错，改写命题时要准确拆分条件和结论，判断假命题优先使用举反例的方法，掌握核心概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
