1. 角的内部到角两边距离相等的点在.

1. 角的平分线上

【分析】
本题考查角平分线的判定定理，解题时可先回忆角平分线性质与判定的互逆关系：角平分线的性质是“角平分线上的点到角两边的距离相等”，本题给出的是性质的条件和结论互换的表述，结合题干“角的内部”的限定，直接对应角平分线判定定理的内容即可得到答案。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。也可通过全等推理验证：假设角内部有一点P，向角的两边作垂线段，若两条垂线段长度相等，结合公共斜边可证明两个直角三角形全等，进而得到点与角顶点的连线平分这个角，即该点在角的平分线上。
【答案】
角的平分线上
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对角平分线判定定理的识记与理解，熟练掌握教材基础定理是解决这类题目的关键。
【难度系数】
0.9

2. 完成下列各命题，注意它们之间的区别与联系.
（1）如果一个点在一个角的平分线上，那么；
（2）如果在一个角的内部，一个点到角两边的距离相等，那么；
（3）综上所述，在角的内部，角的平分线(顶点除外)可以看成的集合.

2.（1）这个点到这个角两边的距离相等
（2）这个点在这个角的平分线上
（3）到角两边距离相等的所有点

【分析】
本题考查角平分线的性质、判定及二者的联系，解题时可结合角平分线相关定理的题设和结论逐一分析：首先回忆角平分线的性质定理，题设为“点在角平分线上”，对应结论就是该点到角两边的距离相等，可解决第（1）问；再回忆角平分线的判定定理，题设为“角内部的点到角两边距离相等”，对应结论就是该点在角的平分线上，可解决第（2）问；最后结合前两问的互逆关系，从集合的角度理解，角平分线上的所有点都满足到两边距离相等，反过来角内部满足到两边距离相等的点都在角平分线上，即可得出第（3）问的结论。
【解析】
（1）根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此应填“这个点到这个角两边的距离相等”；
（2）根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此应填“这个点在这个角的平分线上”；
（3）结合前两问的结论可知，角的平分线上的点都具备“到角两边距离相等”的特征，且角内部所有具备“到角两边距离相等”特征的点都在角的平分线上，因此角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合。
【答案】
（1）这个点到这个角两边的距离相等
（2）这个点在这个角的平分线上
（3）到角两边距离相等的所有点
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；角平分线的集合定义
【点评】
本题侧重考查角平分线性质与判定的区别，二者互为逆命题，解题时要注意区分两个定理的题设和结论，避免混淆，熟练掌握这两个定理是后续解决角度、距离相关几何题的基础。
【难度系数】
0.8

1. 如图14.3-13，直线AB，CD相交于点O，$PE⊥ AB$，$PF⊥ CD$，垂足分别为E，F。若$PE=PF$，且$∠ AOC=50°$，则$∠ EOP$的度数为（）。

A.$65°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$



图14.3-13
图14.3-14
图14.3-15

1.A

【分析】
解题思路如下：第一步，先根据相交线的邻补角性质，计算出∠AOC的邻补角∠AOD的度数；第二步，结合已知条件PE⊥AB、PF⊥CD且PE=PF，回忆角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP是∠AOD的角平分线；第三步，利用角平分线的性质，计算∠EOP的度数，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵ 直线AB、CD相交于点O，∠AOC=50°
∴ ∠AOD = 180° - ∠AOC = 180° - 50° = 130°
∵ PE⊥AB，PF⊥CD，垂足分别为E、F，且PE=PF
∴ 点P在∠AOD的角平分线上，即OP平分∠AOD
∴ ∠EOP = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×130° = 65°
故选：A
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定，邻补角的性质
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题型，解题的核心是准确识别到PE、PF是点P到相交线两边的距离，结合距离相等判断出角平分线，再结合角度计算即可求解，是相交线与角平分线结合的典型考题。
【难度系数】
0.7

2. 在$△ ABC$内部且到三条边距离相等的点是$△ ABC$的（）.

A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高所在直线的交点
D.以上均不对

2.B

【分析】
解题时先明确题目要求的点需满足两个条件：一是在△ABC内部，二是到三角形三条边的距离相等。我们可以通过回忆三角形各特殊线段交点的性质，逐一匹配条件排除错误选项：首先回忆角平分线的核心性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点一定在这个角的角平分线上。如果一个点到三角形三边距离都相等，说明它同时在三个内角的角平分线上，也就是三条角平分线的交点，再验证其他选项的交点性质是否符合要求即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是分每条中线为2:1的两段，不具备到三边距离相等的特点，不符合要求，排除；
B. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，若点到△ABC三条边的距离都相等，则该点同时在∠A、∠B、∠C的角平分线上，即三条角平分线的交点，且三角形三条角平分线的交点一定在三角形内部，符合题意；
C. 三角形三条高所在直线的交点是垂心，垂心没有到三边距离相等的性质，不符合要求，排除；
D. 由上述分析可知B选项正确，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；三角形特殊线段交点性质
【点评】本题是基础概念考查题，重点区分三角形中线、角平分线、高的交点的不同性质，熟记相关性质即可快速作答。
【难度系数】0.9

3. 如图14.3-14，在$△ ABC$中，O是$△ ABC$内一点，且点O到$△ ABC$三边的距离相等，$∠ BOC=126°$，则$∠ A$的度数为（）.

A.$72°$
B.$27°$
C.$54°$
D.$108°$

3.A

【分析】解题时首先根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，判断出点O是△ABC三条角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB；接下来先在△BOC中利用三角形内角和求出∠OBC与∠OCB的度数和，再根据角平分线的性质推导得到∠ABC与∠ACB的度数和；最后在△ABC中利用三角形内角和定理即可算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△BOC中，$∠ BOC=126°$，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ OBC+∠ OCB=180°-∠ BOC=180°-126°=54°$，
∴$\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=54°$，即$∠ ABC+∠ ACB=108°$。
在△ABC中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ A=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-108°=72°$。
【答案】A
【知识点】角平分线的判定、三角形内角和定理
【点评】本题属于基础的几何计算类题目，解题的突破口是根据点到三边距离相等的特征判断出点是三角形角平分线的交点，再结合内角和定理逐步推导角的度数即可。
【难度系数】0.75

4. 如图14.3-15，$PC ⊥ OA$，$PD ⊥ OB$，垂足分别为$C$，$D$，当$PC=PD$时，$\mathrm{Rt}△ OPC ≌ \mathrm{Rt}△$，$∠ POC=∠$。

4. OPD；POD

【分析】
解题时先判断三角形类型，已知PC、PD分别垂直于OA、OB，可得△OPC和△OPD均为直角三角形；再找全等条件：两个直角三角形有公共斜边OP，且已知直角边PC=PD，符合直角三角形全等的HL判定条件，即可证得全等；最后根据全等三角形对应角相等，得出对应角的关系。
【解析】
∵ $PC ⊥ OA$，$PD ⊥ OB$
∴ $∠ PCO=∠ PDO=90°$，即$△ OPC$和$△ OPD$都是直角三角形
在$\mathrm{Rt}△ OPC$和$\mathrm{Rt}△ OPD$中：
$\begin{cases} PC=PD(\mathrm{已知}) \\ OP=OP(\mathrm{公共边}) \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ OPC ≌ \mathrm{Rt}△ OPD$（HL）
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ POC=∠ POD$
【答案】
OPD；POD
【知识点】
HL全等判定；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线判定相关的基础题，核心考查直角三角形的全等判定方法和全等三角形的性质，是推导角平分线判定定理的典型题型，熟练掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8