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11. 如图14.3-11，P为$∠ ABC$的平分线上的一点，点D和点E分别在AB和BC上，且$BD＜BE$，$PD=PE$，探究$∠ BDP$与$∠ BEP$的数量关系，并给予证明。
图14.3-11
图14.3-11
答案
11. 解：$∠ BDP+∠ BEP=180°$.
证明：如图，过点 $P$ 作 $PM⊥ AB$，$PN⊥ BC$，垂足分别为 $M$，$N$，
则$∠ PMD=∠ PNE=90°$.
$\because BP$ 平分$∠ ABC$, $\therefore PM=PN$.
在$\mathrm{Rt}△ DPM$ 和$\mathrm{Rt}△ EPN$ 中，$\begin{cases} PD=PE,\\ PM=PN, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DPM≌\mathrm{Rt}△ EPN$（HL）.
$\therefore ∠ ADP=∠ BEP$.
$\because ∠ BDP+∠ ADP=180°$,
$\therefore ∠ BDP+∠ BEP=180°$.
解析
【分析】
要探究∠BDP与∠BEP的数量关系，首先结合已知条件P在∠ABC的平分线上，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此先过点P向AB、BC作垂线段，得到两条相等的垂线段。再结合已知PD=PE，可通过HL证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，最后利用邻补角的性质做等量代换，即可推导出两个角的数量关系。
【解析】
首先得出结论：$∠ BDP+∠ BEP=180°$，证明过程如下：
过点 $P$ 作 $PM⊥ AB$，$PN⊥ BC$，垂足分别为 $M$，$N$，则$∠ PMD=∠ PNE=90°$。
$\because BP$ 平分$∠ ABC$，根据角平分线的性质可得 $PM=PN$。
在$\mathrm{Rt}△ DPM$ 和$\mathrm{Rt}△ EPN$ 中，$\begin{cases} PD=PE,\\ PM=PN, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DPM≌\mathrm{Rt}△ EPN$（HL），
$\therefore ∠ ADP=∠ BEP$。
$\because ∠ BDP+∠ ADP=180°$（邻补角的和为$180°$），
$\therefore$ 等量代换可得$∠ BDP+∠ BEP=180°$。
【答案】
$∠ BDP+∠ BEP=180°$.
证明：如图，过点 $P$ 作 $PM⊥ AB$，$PN⊥ BC$，垂足分别为 $M$，$N$，
则$∠ PMD=∠ PNE=90°$.
$\because BP$ 平分$∠ ABC$, $\therefore PM=PN$.
在$\mathrm{Rt}△ DPM$ 和$\mathrm{Rt}△ EPN$ 中，$\begin{cases} PD=PE,\\ PM=PN, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DPM≌\mathrm{Rt}△ EPN$（HL）.
$\therefore ∠ ADP=∠ BEP$.
$\because ∠ BDP+∠ ADP=180°$,
$\therefore ∠ BDP+∠ BEP=180°$.
【知识点】
角平分线的性质、直角三角形全等判定、邻补角性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形结合的典型题型，通过作垂线段构造全等直角三角形是解题的突破口，解题过程中需注意角度等量代换的应用，能够有效考查学生对几何基础性质的掌握和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.7
要探究∠BDP与∠BEP的数量关系，首先结合已知条件P在∠ABC的平分线上，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此先过点P向AB、BC作垂线段，得到两条相等的垂线段。再结合已知PD=PE，可通过HL证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，最后利用邻补角的性质做等量代换，即可推导出两个角的数量关系。
【解析】
首先得出结论：$∠ BDP+∠ BEP=180°$，证明过程如下：
过点 $P$ 作 $PM⊥ AB$，$PN⊥ BC$，垂足分别为 $M$，$N$，则$∠ PMD=∠ PNE=90°$。
$\because BP$ 平分$∠ ABC$，根据角平分线的性质可得 $PM=PN$。
在$\mathrm{Rt}△ DPM$ 和$\mathrm{Rt}△ EPN$ 中，$\begin{cases} PD=PE,\\ PM=PN, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DPM≌\mathrm{Rt}△ EPN$（HL），
$\therefore ∠ ADP=∠ BEP$。
$\because ∠ BDP+∠ ADP=180°$（邻补角的和为$180°$），
$\therefore$ 等量代换可得$∠ BDP+∠ BEP=180°$。
【答案】
$∠ BDP+∠ BEP=180°$.
证明：如图，过点 $P$ 作 $PM⊥ AB$，$PN⊥ BC$，垂足分别为 $M$，$N$，
则$∠ PMD=∠ PNE=90°$.
$\because BP$ 平分$∠ ABC$, $\therefore PM=PN$.
在$\mathrm{Rt}△ DPM$ 和$\mathrm{Rt}△ EPN$ 中，$\begin{cases} PD=PE,\\ PM=PN, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DPM≌\mathrm{Rt}△ EPN$（HL）.
$\therefore ∠ ADP=∠ BEP$.
$\because ∠ BDP+∠ ADP=180°$,
$\therefore ∠ BDP+∠ BEP=180°$.
【知识点】
角平分线的性质、直角三角形全等判定、邻补角性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形结合的典型题型，通过作垂线段构造全等直角三角形是解题的突破口，解题过程中需注意角度等量代换的应用，能够有效考查学生对几何基础性质的掌握和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图14.3-12，OB平分∠MON，A为线段OB的中点，AE⊥ON，垂足为E，AE＝3，D为OM上的一个动点，BC//OM，交DA的延长线于点C，求线段CD的长的最小值.
答案
12. 解：$\because BC// OM$, $\therefore ∠ DOA=∠ B$.
$\because A$ 为线段 $OB$ 的中点，$\therefore AB=AO$.
在$△ ACB$ 和$△ ADO$ 中，$\begin{cases} ∠ B=∠ DOA,\\ AB=AO,\\ ∠ BAC=∠ OAD, \end{cases}$
$\therefore △ ACB≌△ ADO$（ASA）.
$\therefore AC=AD$. $\therefore CD=2AD$.
$\therefore$ 当线段 $AD$ 的长的值最小时，线段 $CD$ 的长的值最小.
当 $AD⊥ OM$ 时，线段 $AD$ 的长的值最小.
$\because OB$ 平分$∠ MON$，$AD⊥ OM$，$AE⊥ ON$,
$\therefore AD=AE=3$. $\therefore CD=2AD=6$,
即线段 $CD$ 的长的最小值为 6.
$\because A$ 为线段 $OB$ 的中点，$\therefore AB=AO$.
在$△ ACB$ 和$△ ADO$ 中，$\begin{cases} ∠ B=∠ DOA,\\ AB=AO,\\ ∠ BAC=∠ OAD, \end{cases}$
$\therefore △ ACB≌△ ADO$（ASA）.
$\therefore AC=AD$. $\therefore CD=2AD$.
$\therefore$ 当线段 $AD$ 的长的值最小时，线段 $CD$ 的长的值最小.
当 $AD⊥ OM$ 时，线段 $AD$ 的长的值最小.
$\because OB$ 平分$∠ MON$，$AD⊥ OM$，$AE⊥ ON$,
$\therefore AD=AE=3$. $\therefore CD=2AD=6$,
即线段 $CD$ 的长的最小值为 6.
解析
【分析】
要解决CD的最小值问题，首先需建立CD与已知线段的关联：首先利用BC//OM、A是OB中点的条件，证明△ACB和△ADO全等，可得CD=2AD，因此CD的最小值可转化为AD的最小值；再根据“垂线段最短”，当AD⊥OM时AD最短，最后结合角平分线的性质求出AD的最小值，即可算出CD的最小值。
【解析】
$\because BC// OM$, $\therefore ∠ DOA=∠ B$.
$\because A$ 为线段 $OB$ 的中点，$\therefore AB=AO$.
在$△ ACB$ 和$△ ADO$ 中，$\begin{cases} ∠ B=∠ DOA,\\ AB=AO,\\ ∠ BAC=∠ OAD, \end{cases}$
$\therefore △ ACB≌△ ADO$（ASA）.
$\therefore AC=AD$. $\therefore CD=2AD$.
$\therefore$ 当线段 $AD$ 的长的值最小时，线段 $CD$ 的长的值最小.
根据垂线段最短，当 $AD⊥ OM$ 时，线段 $AD$ 的长的值最小.
$\because OB$ 平分$∠ MON$，$AD⊥ OM$，$AE⊥ ON$,
$\therefore AD=AE=3$. $\therefore CD=2AD=6$,
即线段 $CD$ 的长的最小值为 6.
【答案】
6
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题是几何最值类的典型基础题，解题核心是通过全等三角形将未知线段CD的最值转化为AD的最值，再结合角平分线性质和垂线段最短的结论求解，需要熟练掌握这类线段转化的思路。
【难度系数】
0.7
要解决CD的最小值问题，首先需建立CD与已知线段的关联：首先利用BC//OM、A是OB中点的条件，证明△ACB和△ADO全等，可得CD=2AD，因此CD的最小值可转化为AD的最小值；再根据“垂线段最短”，当AD⊥OM时AD最短，最后结合角平分线的性质求出AD的最小值，即可算出CD的最小值。
【解析】
$\because BC// OM$, $\therefore ∠ DOA=∠ B$.
$\because A$ 为线段 $OB$ 的中点，$\therefore AB=AO$.
在$△ ACB$ 和$△ ADO$ 中，$\begin{cases} ∠ B=∠ DOA,\\ AB=AO,\\ ∠ BAC=∠ OAD, \end{cases}$
$\therefore △ ACB≌△ ADO$（ASA）.
$\therefore AC=AD$. $\therefore CD=2AD$.
$\therefore$ 当线段 $AD$ 的长的值最小时，线段 $CD$ 的长的值最小.
根据垂线段最短，当 $AD⊥ OM$ 时，线段 $AD$ 的长的值最小.
$\because OB$ 平分$∠ MON$，$AD⊥ OM$，$AE⊥ ON$,
$\therefore AD=AE=3$. $\therefore CD=2AD=6$,
即线段 $CD$ 的长的最小值为 6.
【答案】
6
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题是几何最值类的典型基础题，解题核心是通过全等三角形将未知线段CD的最值转化为AD的最值，再结合角平分线性质和垂线段最短的结论求解，需要熟练掌握这类线段转化的思路。
【难度系数】
0.7
