8. 如图14.3-8，在四边形ABCD中，$∠ B = ∠ D = 90°$，点E，F分别在AB，AD上，$AE = AF$，$CE = CF$. 求证$CB = CD$.

图14.3-8

8. 证明：如图，连接AC.

在$△ AEC$ 和$△ AFC$ 中，$\begin{cases} AC=AC,\\ CE=CF,\\ AE=AF, \end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ AFC$（SSS）.
$\therefore ∠ CAE=∠ CAF$，即AC平分$∠ BAD$.
$\because ∠ B=∠ D=90°$,
$\therefore CB⊥ AB$，$CD⊥ AD$. $\therefore CB=CD$.

【分析】
要证明$CB=CD$，已知$∠B=∠D=90°$，即$CB⊥AB$、$CD⊥AD$，若能证明点C在$∠BAD$的角平分线上，根据角平分线的性质即可得到$CB=CD$。要证AC平分$∠BAD$，需证明$∠CAE=∠CAF$，结合已知$AE=AF$、$CE=CF$，以及公共边AC，可先通过SSS证明$△ AEC≌△ AFC$，利用全等三角形对应角相等得到角相等，进而完成证明。
【解析】
证明：如图，连接AC.

在$△ AEC$ 和$△ AFC$ 中，$\begin{cases} AC=AC,\\ CE=CF,\\ AE=AF, \end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ AFC$（SSS）.
$\therefore ∠CAE=∠CAF$，即AC平分$∠BAD$.
$\because ∠B=∠D=90°$,
$\therefore CB⊥AB$，$CD⊥AD$，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此$CB=CD$。
【答案】
证明：如图，连接AC.

在$△ AEC$ 和$△ AFC$ 中，$\begin{cases} AC=AC,\\ CE=CF,\\ AE=AF, \end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ AFC$（SSS）.
$\therefore ∠ CAE=∠ CAF$，即AC平分$∠ BAD$.
$\because ∠ B=∠ D=90°$,
$\therefore CB⊥ AB$，$CD⊥ AD$. $\therefore CB=CD$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的核心是通过连接辅助线AC构造全等三角形，借助全等的性质得到角平分线，再利用角平分线的性质证明线段相等，这类构造全等的辅助线思路是几何证明中的常用方法。
【难度系数】
0.8

9. 如图14.3-9，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，垂足为D，且OD＝3，则△ABC的面积是。

9. $\frac{63}{2}$

【分析】
看到题目中出现角平分线和点到边的垂线，首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点O到△ABC三边的距离都等于OD的长度。要求△ABC的面积，可将其拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高都等于OD，底之和恰好是△ABC的周长，代入面积公式即可求解。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE = OD = 3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，
∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF = OD = 3。
△ABC的面积可表示为三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC} = S_{△ AOB} + S_{△ BOC} + S_{△ AOC}$
代入三角形面积公式：
$=\frac{1}{2} · AB · OE + \frac{1}{2} · BC · OD + \frac{1}{2} · AC · OF$
∵OE=OF=OD=3，且△ABC周长$AB+BC+AC=21$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 3 × (AB + BC + AC) = \frac{1}{2} × 3 × 21 = \frac{63}{2}$。
【答案】
$\frac{63}{2}$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质得到点O到三角形三边的距离相等，再通过分割法将大三角形面积转化为三个同高的小三角形面积之和，结合整体代入周长计算，避免了单独求各边长度，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7

10. 如图14.3-10，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，垂足分别为A，B，连接AB，AB与OM相交于点N. 求证∠OAB=∠OBA. 图14.3-10

10. 证明：$\because OM$ 平分 $∠ POQ$，$MA ⊥ OP$，$MB⊥ OQ$,
$\therefore MA=MB$，$∠ POM=∠ QOM$，$∠ MAO=∠ MBO=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ AOM$ 和$\mathrm{Rt}△ BOM$ 中，$\begin{cases} OM=OM,\\ MA=MB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AOM≌\mathrm{Rt}△ BOM$（HL）.
$\therefore OA=OB$.
在$△ AON$ 和$△ BON$ 中，$\begin{cases} OA=OB,\\ ∠ AON=∠ BON,\\ ON=ON, \end{cases}$
$\therefore △ AON≌△ BON$（SAS）.
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA$.

【分析】
要证明∠OAB=∠OBA，可通过以下思路推导：首先结合待证结论，可先证明OA=OB，后续既可通过等边对等角直接得到角相等，也可证明包含这两个角的三角形全等推导。已知OM是∠POQ的角平分线，且MA⊥OP、MB⊥OQ，首先根据角平分线的性质可得MA=MB，此时可先证Rt△AOM和Rt△BOM全等，两个直角三角形有公共斜边OM，直角边MA=MB，满足HL全等判定条件，全等后即可得到OA=OB，再结合角平分线的等角条件和公共边，可证明△AON与△BON全等，最终得到待证角相等。
【解析】
证明：$\because OM$ 平分 $∠ POQ$，$MA ⊥ OP$，$MB⊥ OQ$,
$\therefore MA=MB$，$∠ POM=∠ QOM$，$∠ MAO=∠ MBO=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ AOM$ 和$\mathrm{Rt}△ BOM$ 中，$\begin{cases} OM=OM,\\ MA=MB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AOM≌\mathrm{Rt}△ BOM$（HL）.
$\therefore OA=OB$.
在$△ AON$ 和$△ BON$ 中，$\begin{cases} OA=OB,\\ ∠ AON=∠ BON,\\ ON=ON, \end{cases}$
$\therefore △ AON≌△ BON$（SAS）.
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA$.
【答案】
证明：$\because OM$ 平分 $∠ POQ$，$MA ⊥ OP$，$MB⊥ OQ$,
$\therefore MA=MB$，$∠ POM=∠ QOM$，$∠ MAO=∠ MBO=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ AOM$ 和$\mathrm{Rt}△ BOM$ 中，$\begin{cases} OM=OM,\\ MA=MB, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AOM≌\mathrm{Rt}△ BOM$（HL）.
$\therefore OA=OB$.
在$△ AON$ 和$△ BON$ 中，$\begin{cases} OA=OB,\\ ∠ AON=∠ BON,\\ ON=ON, \end{cases}$
$\therefore △ AON≌△ BON$（SAS）.
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA$.
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形全等判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查角平分线性质与全等三角形相关定理的综合应用，解题时从已知条件出发，结合待证结论逆向推导所需的边角关系即可快速解题，需要熟练掌握相关定理的应用条件。
【难度系数】
0.8