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3. 如图14.3-3，AD是$△ ABC$的角平分线，$DE⊥ AB$，垂足为E，$S_{△ ABC}=15$，$DE=3$，$AB=6$，则AC的长是（
A.4
B.4.5
C.5
D.6
A
）.A.4
B.4.5
C.5
D.6
答案
3. A
解析
【分析】
解题时先观察题干条件：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，结合角平分线的性质，可过D作DF⊥AC于F，得到DF=DE，即得到△ACD中AC边上的高。再将△ABC的面积拆分为△ABD和△ACD的面积之和，先计算出△ABD的面积，进而求出△ACD的面积，最后利用三角形面积公式即可求出AC的长度。
【解析】
过点D作DF⊥AC，垂足为F。
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DF=DE=3。
先计算△ABD的面积：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE=\frac{1}{2}×6×3=9$
已知$S_{△ABC}=15$，则△ACD的面积为：
$S_{△ACD}=S_{△ABC}-S_{△ABD}=15-9=6$
又
∵$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF$，代入DF=3得：
$\frac{1}{2}×AC×3=6$
解得：$AC=4$
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；三角形的面积计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查角平分线性质的应用，解题的关键是通过作辅助线得到AC边上的高，再结合三角形面积的拆分与计算求解，熟练掌握角平分线的性质是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时先观察题干条件：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，结合角平分线的性质，可过D作DF⊥AC于F，得到DF=DE，即得到△ACD中AC边上的高。再将△ABC的面积拆分为△ABD和△ACD的面积之和，先计算出△ABD的面积，进而求出△ACD的面积，最后利用三角形面积公式即可求出AC的长度。
【解析】
过点D作DF⊥AC，垂足为F。
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DF=DE=3。
先计算△ABD的面积：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE=\frac{1}{2}×6×3=9$
已知$S_{△ABC}=15$，则△ACD的面积为：
$S_{△ACD}=S_{△ABC}-S_{△ABD}=15-9=6$
又
∵$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF$，代入DF=3得：
$\frac{1}{2}×AC×3=6$
解得：$AC=4$
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；三角形的面积计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查角平分线性质的应用，解题的关键是通过作辅助线得到AC边上的高，再结合三角形面积的拆分与计算求解，熟练掌握角平分线的性质是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.8
4. 如图14.3-4，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，AD是$△ ABC$的角平分线，$DE⊥ AB$，垂足为E，且$DE=3\ \mathrm{cm}$，$BD=5\ \mathrm{cm}$，则$BC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}.$
答案
4. 8
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。观察图形可知BC由BD和CD两部分组成，已知BD的长度，只需要求出CD的长度即可得到BC的长度。结合AD是角平分线、∠C=90°（即DC⊥AC）、DE⊥AB的条件，可推出CD和DE长度相等，进而代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质，可得CD=DE=3cm，
又
∵BD=5cm，
∴BC=BD+CD=5+3=8（cm）。
【答案】
8
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要对角平分线的性质进行直接考查，解题关键是通过性质找到相等的线段CD和DE，再结合线段和的关系计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。观察图形可知BC由BD和CD两部分组成，已知BD的长度，只需要求出CD的长度即可得到BC的长度。结合AD是角平分线、∠C=90°（即DC⊥AC）、DE⊥AB的条件，可推出CD和DE长度相等，进而代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质，可得CD=DE=3cm，
又
∵BD=5cm，
∴BC=BD+CD=5+3=8（cm）。
【答案】
8
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要对角平分线的性质进行直接考查，解题关键是通过性质找到相等的线段CD和DE，再结合线段和的关系计算即可。
【难度系数】
0.8
5. 如图14.3-5，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AD$平分$∠ BAC$交$BC$边于点$D$，$△ ABD$的面积为30，$AB=15$，则线段$CD$的长度为
4
。 答案
5. 4
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知△ABD的面积和底边AB的长度，我们可以先作AB边上的高，通过三角形面积公式求出这条高的长度，再利用角平分线的性质证明这条高与CD长度相等，即可求出CD的长。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$于点E。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore DC⊥ AC$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$，$DC⊥ AC$，根据角平分线的性质可得$CD=DE$。
已知$△ ABD$的面积为30，$AB=15$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE=30$
代入$AB=15$，计算得：
$\frac{1}{2}×15× DE=30$
$DE=\frac{30×2}{15}=4$
$\because CD=DE$，$\therefore CD=4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的关键是通过作辅助线构造出角平分线上的点到角两边的距离，结合三角形面积公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知△ABD的面积和底边AB的长度，我们可以先作AB边上的高，通过三角形面积公式求出这条高的长度，再利用角平分线的性质证明这条高与CD长度相等，即可求出CD的长。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$于点E。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore DC⊥ AC$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$，$DC⊥ AC$，根据角平分线的性质可得$CD=DE$。
已知$△ ABD$的面积为30，$AB=15$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE=30$
代入$AB=15$，计算得：
$\frac{1}{2}×15× DE=30$
$DE=\frac{30×2}{15}=4$
$\because CD=DE$，$\therefore CD=4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的关键是通过作辅助线构造出角平分线上的点到角两边的距离，结合三角形面积公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图14.3-6，已知∠C=90°，AD平分∠BAC，BD=2CD，若点D到AB的距离等于5 cm，则BC的长为
15
cm.答案
6. 15
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先看到AD是∠BAC的角平分线，且∠C=90°（即DC⊥AC），同时给出了点D到AB的距离，优先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可先求出CD的长度；再结合BD=2CD的条件求出BD的长度，最后BC是BD与CD的和，求和即可得到结果。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，由题意得点D到AB的距离DE=5cm。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得CD=DE=5cm。
又
∵BD=2CD，
∴BD=2×5=10cm，
∴BC=BD+CD=10+5=15cm。
【答案】
15
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质，快速找到相等的垂线段长度，再结合线段的数量关系求解，难度较低，需牢记相关性质并能灵活运用。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先看到AD是∠BAC的角平分线，且∠C=90°（即DC⊥AC），同时给出了点D到AB的距离，优先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可先求出CD的长度；再结合BD=2CD的条件求出BD的长度，最后BC是BD与CD的和，求和即可得到结果。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，由题意得点D到AB的距离DE=5cm。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得CD=DE=5cm。
又
∵BD=2CD，
∴BD=2×5=10cm，
∴BC=BD+CD=10+5=15cm。
【答案】
15
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质，快速找到相等的垂线段长度，再结合线段的数量关系求解，难度较低，需牢记相关性质并能灵活运用。
【难度系数】
0.8
7. 阅读并填空.
已知∠AOB. 求作∠AOB的平分线.
作法: 如图14.3-7所示.
(1) 以点
(2) 分别以点
(3) 作射线
上述作图用到了全等三角形的判定方法, 这个方法是
图14.3-7
已知∠AOB. 求作∠AOB的平分线.
作法: 如图14.3-7所示.
(1) 以点
O
为圆心, 适当长为半径作弧, 交OA于点M, 交OB于点N;(2) 分别以点
M
, N
为圆心, 大于$\frac{1}{2}MN$
的长为半径作弧, 两弧在∠AOB的内部相交于点C;(3) 作射线
OC
, 射线OC即为∠AOB的平分线.上述作图用到了全等三角形的判定方法, 这个方法是
SSS
.图14.3-7
答案
7. (1) O
(2) M；N；$\frac{1}{2}MN$
(3) OC；SSS
(2) M；N；$\frac{1}{2}MN$
(3) OC；SSS
解析
【分析】
本题考查角平分线的尺规作图步骤及原理，解题时先回忆角平分线的作图流程：首先要在角的两边截出相等的线段，因此第一步以角的顶点O为圆心作弧，得到相等的线段OM、ON；接下来要找到角内部到M、N距离相等的点，因此以M、N为圆心作弧，为了保证两弧有交点，半径需要大于$\frac{1}{2}MN$，得到交点C后作射线OC；最后结合全等三角形的判定分析作图原理：连接MC、NC后，OM=ON，MC=NC，OC为公共边，因此用SSS判定三角形全等，进而得到对应角相等，证明OC是角平分线。
【解析】
根据角平分线的尺规作图步骤：
(1) 第一步作弧时，以角的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N，此时OM=ON；
(2) 第二步作弧需要找到到M、N距离相等的点，因此分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，若半径小于等于$\frac{1}{2}MN$，两弧无交点或仅交于MN上，无法得到角内部的交点，因此两弧在∠AOB内部交于点C，此时MC=NC；
(3) 作射线OC，连接MC、NC，在$△ OMC$和$△ ONC$中：
$\{\begin{array}{l}OM=ON\\ MC=NC\\ OC=OC\end{array} $
因此$△ OMC ≌ △ ONC$（SSS），可得$∠ AOC=∠ BOC$，即射线OC为∠AOB的平分线，用到的全等判定方法是SSS。
据此依次填空即可。
【答案】
(1) O
(2) M；N；$\frac{1}{2}MN$
(3) OC；SSS
【知识点】
尺规作角平分线；全等三角形SSS判定；角平分线定义
【点评】
本题是基础作图类题目，既考查了角平分线尺规作图的标准步骤，也考查了作图背后的几何原理，熟练掌握该作图方法是后续应用角平分线性质解决几何问题的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查角平分线的尺规作图步骤及原理，解题时先回忆角平分线的作图流程：首先要在角的两边截出相等的线段，因此第一步以角的顶点O为圆心作弧，得到相等的线段OM、ON；接下来要找到角内部到M、N距离相等的点，因此以M、N为圆心作弧，为了保证两弧有交点，半径需要大于$\frac{1}{2}MN$，得到交点C后作射线OC；最后结合全等三角形的判定分析作图原理：连接MC、NC后，OM=ON，MC=NC，OC为公共边，因此用SSS判定三角形全等，进而得到对应角相等，证明OC是角平分线。
【解析】
根据角平分线的尺规作图步骤：
(1) 第一步作弧时，以角的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N，此时OM=ON；
(2) 第二步作弧需要找到到M、N距离相等的点，因此分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，若半径小于等于$\frac{1}{2}MN$，两弧无交点或仅交于MN上，无法得到角内部的交点，因此两弧在∠AOB内部交于点C，此时MC=NC；
(3) 作射线OC，连接MC、NC，在$△ OMC$和$△ ONC$中：
$\{\begin{array}{l}OM=ON\\ MC=NC\\ OC=OC\end{array} $
因此$△ OMC ≌ △ ONC$（SSS），可得$∠ AOC=∠ BOC$，即射线OC为∠AOB的平分线，用到的全等判定方法是SSS。
据此依次填空即可。
【答案】
(1) O
(2) M；N；$\frac{1}{2}MN$
(3) OC；SSS
【知识点】
尺规作角平分线；全等三角形SSS判定；角平分线定义
【点评】
本题是基础作图类题目，既考查了角平分线尺规作图的标准步骤，也考查了作图背后的几何原理，熟练掌握该作图方法是后续应用角平分线性质解决几何问题的基础。
【难度系数】
0.9
