5. 如图14.3-16，直线$ l_1 $，$ l_2 $，$ l_3 $表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求中转站到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有处.

5. 4

【分析】
要找到到三条两两相交公路距离相等的点，需结合角平分线的性质与判定思考：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此符合要求的点需要同时在三条直线两两相交形成的角的平分线上。首先考虑三条公路围成的三角形内部：三个内角的角平分线交于1点，满足到三边距离相等；再考虑三角形外部：每两个相邻外角的角平分线也会交于一点，这类交点共有3个，同样满足到三条公路的距离相等，合计共4个符合条件的点。
【解析】
解：根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，以及角平分线的判定：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
1. 三条相交公路围成一个三角形，三角形三个内角的角平分线相交于1点，该点到三条公路的距离相等，位于三角形内部；
2. 三角形任意两个外角的角平分线也会相交于一点，这样的交点共有3个，每个交点到三条公路的距离也相等，均位于三角形外部。
因此符合要求的地址共有$1+3=4$处。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定，三角形内外角
【点评】
本题是角平分线相关知识的实际应用问题，解题时容易遗漏三角形外部的3个外角平分线交点，需全面考虑所有夹角的角平分线的交点情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

6. 如图14.3-17，$DE⊥ AB$交$AB$的延长线于点$E$，$DF⊥ AC$，垂足为$F$，且$BE=CF$，$DB=DC$. 求证：$AD$平分$∠ BAC$.
图14.3-16

图14.3-17

6. 证明：$\because DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore ∠ E=∠ DFC=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BED$和$\mathrm{Rt}△ CFD$中，$\begin{cases} DB=DC,\\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BED≌\mathrm{Rt}△ CFD\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore DE=DF$.
$\therefore AD$平分$∠ BAC$.

【分析】
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到∠BAC两边AB、AC的距离相等，也就是DE=DF。已知DE⊥AB、DF⊥AC，同时题目给出了DB=DC、BE=CF的条件，我们可以先通过HL定理证明Rt△BED和Rt△CFD全等，借助全等三角形对应边相等的性质得到DE=DF，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore ∠ E=∠ DFC=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BED$和$\mathrm{Rt}△ CFD$中，$\begin{cases} DB=DC,\\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BED≌\mathrm{Rt}△ CFD\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore DE=DF$.
$\therefore AD$平分$∠ BAC$.
【答案】
证明：$\because DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore ∠ E=∠ DFC=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BED$和$\mathrm{Rt}△ CFD$中，$\begin{cases} DB=DC,\\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BED≌\mathrm{Rt}△ CFD\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore DE=DF$.
$\therefore AD$平分$∠ BAC$.
【知识点】
HL全等判定；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题型，解题核心是先通过HL定理证明直角三角形全等，得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理得出结论，需注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8

7. 如图14.3-18，要在M区建一个工厂，使工厂到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点A处的距离为1 cm（指图上距离），则应将工厂建在哪里？画图并说明理由。

图14.3-18

7. 解：工厂应建在$∠ A$的平分线上，且距点A 1 cm处（图略）。理由：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

【分析】
解题需结合题目的两个要求逐步推导位置：首先，工厂到河流、公路的距离相等，可将河流、公路看作∠A的两条边，根据角平分线的判定，满足该距离条件的点全部在∠A的角平分线上；其次要求工厂到点A的图上距离为1cm，因此只需在作出的∠A角平分线上，找到距离A点1cm的点，即可同时满足两个条件，得到工厂的位置。
【解析】
1. 作∠A的角平分线：
① 以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别与∠A的两条边（河流、公路所在直线）交于两个交点；
② 分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠A内部（M区一侧）交于一点，过点A和该交点作射线，即为∠A的角平分线。
2. 在得到的角平分线上，从点A出发沿射线量取1cm的长度，该端点即为工厂的建设位置。
理由：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此该点既满足到河流、公路的距离相等，又满足到点A的距离为1cm，符合所有要求。
【答案】
工厂应建在$∠ A$的平分线上，且距点A 1 cm处（图略）。理由：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
【知识点】
角平分线的判定，尺规作角平分线
【点评】
本题是角平分线判定的实际应用题型，解题关键是将实际场景转化为几何模型，把距离两边相等的条件对应到角平分线的判定定理上，再结合到点的距离要求即可定位，侧重考察基础知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8

8. 如图14.3-19，在$△ ABC$中，$P$为$BC$上一点，$PR⊥ AB$，垂足为$R$，$PS⊥ AC$，垂足为$S$，$PR=PS$，连接$AP$，$Q$为边$AC$上的点，连接$PQ$，且$∠ CAP=∠ APQ$.有下列结论：
①$AS=AR$；②$QP// AR$；③$△ BRP≌△ CSP$.
其中正确结论的序号为（）.

A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

8.A

【分析】
首先根据已知PR⊥AB、PS⊥AC且PR=PS，利用角平分线的判定定理可得AP平分∠BAC；接下来逐一判断三个结论：①要证AS=AR，可通过证明Rt△APR和Rt△APS全等推导；②要证QP//AR，可结合角平分线的角相等关系，与已知∠CAP=∠APQ推导内错角相等，进而判定平行；③要证△BRP≌△CSP，现有仅一组边相等、一组直角相等，缺少其余对应边或角相等的条件，无法证明全等。
【解析】
1. 验证结论①：
∵ $PR⊥AB$，$PS⊥AC$，
∴ $∠ ARP=∠ ASP=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ APR$和$\mathrm{Rt}△ APS$中：
$\begin{cases}AP=AP \\PR=PS\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ APR≌\mathrm{Rt}△ APS$（HL），可得$AS=AR$，故①正确。
2. 验证结论②：
由$\mathrm{Rt}△ APR≌\mathrm{Rt}△ APS$得$∠ BAP=∠ CAP$，
又
∵ $∠ CAP=∠ APQ$，
∴ $∠ BAP=∠ APQ$，
根据“内错角相等，两直线平行”可得$QP// AB$，即$QP// AR$，故②正确。
3. 验证结论③：
已知$PR=PS$，$∠ BRP=∠ CSP=90°$，但题中未给出$BP=CP$、$∠ B=∠ C$或$BR=CS$等全等判定所需的条件，无法证明$△ BRP≌△ CSP$，故③错误。
综上，正确结论为①②。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定
【点评】
本题解题核心是先通过角平分线的判定确定AP为角平分线，再结合全等三角形、平行线的判定定理逐一分析结论，需注意证明三角形全等必须具备完整的判定条件，不可自行添加题目未给出的条件。
【难度系数】
0.7

9. 如图14.3-20，在$△ ABC$中，$AB＜AC$，$∠ BAC$的平分线与外角$∠ BCD$的平分线相交于点$M$，作$AB$的延长线得到射线$AE$，再作射线$BM$. 下面有四个结论：
①$∠ MCD＞∠ MAB$；
②射线$BM$是$∠ EBC$的平分线；
③$BM=CM$；
④$∠ BMC=90°-\frac{1}{2}∠ BAC$.
其中所有正确结论的序号是.

9. ①②④

【分析】
解题时可结合角平分线的性质、判定，以及三角形内角和、外角性质逐一验证4个结论：1. 利用三角形外角的大小关系判断结论①；2. 通过作点M到三边的垂线，结合角平分线的性质和判定验证结论②；3. 假设BM=CM推导反证，结合题设AB＜AC判断结论③；4. 利用三角形内角和定理结合角平分线的角度关系推导结论④。
【解析】
已知AM平分∠BAC，CM平分∠BCD，即：
$∠ MAB=∠ MAC=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ BCM=∠ MCD=\frac{1}{2}∠ BCD$。
1. 验证结论①：
$∠ BCD$是$△ ABC$的外角，因此$∠ BCD=∠ BAC+∠ ABC＞∠ BAC$，
不等式两边同乘$\frac{1}{2}$得：$\frac{1}{2}∠ BCD＞\frac{1}{2}∠ BAC$，即$∠ MCD＞∠ MAB$，①正确。
2. 验证结论②：
过点M作$ME⊥ AE$于E，$MF⊥ BC$于F，$MG⊥ AD$于G。
∵AM平分$∠ BAC$，根据角平分线的性质，得$ME=MG$；
∵CM平分$∠ BCD$，同理得$MF=MG$，
∴$ME=MF$，又$ME⊥ AE$，$MF⊥ BC$，根据角平分线的判定（角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），可知M在$∠ EBC$的平分线上，即射线BM是$∠ EBC$的平分线，②正确。
3. 验证结论③：
若$BM=CM$，则$∠ MBC=∠ MCB$，
代入角平分线的角度关系得：$\frac{1}{2}∠ EBC=\frac{1}{2}∠ BCD$，即$∠ EBC=∠ BCD$，
∴$180°-∠ ABC=180°-∠ ACB$，即$∠ ABC=∠ ACB$，可得$AB=AC$，与题设$AB＜AC$矛盾，故③错误。
4. 验证结论④：
由②知BM平分$∠ EBC$，因此$∠ MBC=\frac{1}{2}∠ EBC=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=90°-\frac{1}{2}∠ ABC$，
同理$∠ BCM=\frac{1}{2}∠ BCD=\frac{1}{2}(180°-∠ ACB)=90°-\frac{1}{2}∠ ACB$，
在$△ BMC$中，由内角和定理得：
$∠ BMC=180°-∠ MBC-∠ BCM$
$=180°-(90°-\frac{1}{2}∠ ABC)-(90°-\frac{1}{2}∠ ACB)$
$=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
又
∵在$△ ABC$中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC$，代入得：
$∠ BMC=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=90°-\frac{1}{2}∠ BAC$，故④正确。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
角平分线的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形角度的综合判断题，需要熟练运用角平分线的性质和判定定理，结合三角形的内角和、外角性质逐一推导，解题时注意结合题设给出的边长关系排除错误结论。
【难度系数】
0.65