登录
18. (2024·广元中考)如图,已知反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$和一次函数$y_2=mx+n$的图象相交于点$A(-3,a),B(a+\frac{3}{2},-2)$两点,O为坐标原点,连接OA,OB.
(1)求$y_1=\frac{k}{x}$与$y_2=mx+n$的表达式;
(2)当$y_1＞y_2$时,请结合图象直接写出自变量x的取值范围;
(3)求$△ AOB$的面积.
(1)求$y_1=\frac{k}{x}$与$y_2=mx+n$的表达式;
(2)当$y_1＞y_2$时,请结合图象直接写出自变量x的取值范围;
(3)求$△ AOB$的面积.
答案
18.(1)由题知 $-3a=-2(a+\dfrac{3}{2})$,$\therefore a=3$,$\therefore A(-3,3)$,$B(\dfrac{9}{2},-2)$,$\therefore y_1=-\dfrac{9}{x}$. 把 $A(-3,3)$,$B(\dfrac{9}{2},-2)$ 代入 $y_2=mx+n$,得 $\begin{cases} -3m+n=3,\\ \dfrac{9}{2}m+n=-2, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} m=-\dfrac{2}{3},\\ n=1, \end{cases}$ $\therefore y_2=-\dfrac{2}{3}x+1$.
(2)由图象可知,当 $y_1＞y_2$ 时,自变量 x 的取值范围为 $-3＜x＜0$ 或 $x＞\dfrac{9}{2}$.
(3)
设 AB 与 y 轴相交于点 C,当 $x=0$ 时,$y_2=-\dfrac{2}{3}x+1=1$,$\therefore C(0,1)$,即 $OC=1$,$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}OC(x_B-x_A)=\dfrac{1}{2}×1×(\dfrac{9}{2}+3)=\dfrac{15}{4}$.解析
【分析】
(1) 点A、B均在反比例函数图象上，根据反比例函数$k=xy$的性质，两点横纵坐标的乘积相等，据此列等式先求出a的值，得到A、B的坐标；再将点坐标分别代入反比例函数、一次函数解析式，通过计算求出对应系数，即可得到两个函数的表达式。
(2) $y_1＞y_2$对应图象中反比例函数图象位于一次函数图象上方的部分，结合A、B的坐标以及反比例函数$x≠0$的限制，分区间写出x的取值范围即可。
(3) 求$△ AOB$的面积可采用割补法：先求出一次函数与y轴的交点C的坐标，得到OC的长度，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$，两个三角形共底OC，高分别为点A横坐标的绝对值、点B的横坐标，分别计算两个三角形面积再求和即可。
【解析】
(1)
∵点$A(-3,a)$、$B(a+\frac{3}{2},-2)$都在反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象上
∴$k=-3a=-2(a+\frac{3}{2})$，解得$a=3$
∴$A(-3,3)$，$B(\frac{9}{2},-2)$
将A点代入$y_1=\frac{k}{x}$得$k=-3×3=-9$，即$y_1=-\frac{9}{x}$
将A、B两点代入$y_2=mx+n$得$\begin{cases} -3m+n=3\\ \frac{9}{2}m+n=-2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=-\frac{2}{3}\\ n=1 \end{cases}$，即$y_2=-\frac{2}{3}x+1$
(2) 观察图象可得：当$-3＜x＜0$或$x＞\frac{9}{2}$时，反比例函数图象在一次函数图象上方，即$y_1＞y_2$
(3) 设直线AB与y轴交于点C，当$x=0$时，$y_2=1$，即$C(0,1)$，$OC=1$
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OC×|x_A|+\frac{1}{2}× OC× x_B=\frac{1}{2}×1×3+\frac{1}{2}×1×\frac{9}{2}=\frac{15}{4}$
【答案】
18.(1)由题知 $-3a=-2(a+\dfrac{3}{2})$,$\therefore a=3$,$\therefore A(-3,3)$,$B(\dfrac{9}{2},-2)$,$\therefore y_1=-\dfrac{9}{x}$. 把 $A(-3,3)$,$B(\dfrac{9}{2},-2)$ 代入 $y_2=mx+n$,得 $\begin{cases} -3m+n=3,\\ \dfrac{9}{2}m+n=-2, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} m=-\dfrac{2}{3},\\ n=1, \end{cases}$ $\therefore y_2=-\dfrac{2}{3}x+1$.
(2)由图象可知,当 $y_1＞y_2$ 时,自变量 x 的取值范围为 $-3＜x＜0$ 或 $x＞\dfrac{9}{2}$.
(3)设 AB 与 y 轴相交于点 C,当 $x=0$ 时,$y_2=-\dfrac{2}{3}x+1=1$,$\therefore C(0,1)$,即 $OC=1$,$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}OC(x_B-x_A)=\dfrac{1}{2}×1×(\dfrac{9}{2}+3)=\dfrac{15}{4}$.
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标系面积计算
【点评】
本题是函数综合基础题，注重考查数形结合思想的应用，其中将不规则三角形拆分为同底三角形求和的方法，是解决坐标系内三角形面积问题的常用技巧。
【难度系数】
0.65
(1) 点A、B均在反比例函数图象上，根据反比例函数$k=xy$的性质，两点横纵坐标的乘积相等，据此列等式先求出a的值，得到A、B的坐标；再将点坐标分别代入反比例函数、一次函数解析式，通过计算求出对应系数，即可得到两个函数的表达式。
(2) $y_1＞y_2$对应图象中反比例函数图象位于一次函数图象上方的部分，结合A、B的坐标以及反比例函数$x≠0$的限制，分区间写出x的取值范围即可。
(3) 求$△ AOB$的面积可采用割补法：先求出一次函数与y轴的交点C的坐标，得到OC的长度，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$，两个三角形共底OC，高分别为点A横坐标的绝对值、点B的横坐标，分别计算两个三角形面积再求和即可。
【解析】
(1)
∵点$A(-3,a)$、$B(a+\frac{3}{2},-2)$都在反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象上
∴$k=-3a=-2(a+\frac{3}{2})$，解得$a=3$
∴$A(-3,3)$，$B(\frac{9}{2},-2)$
将A点代入$y_1=\frac{k}{x}$得$k=-3×3=-9$，即$y_1=-\frac{9}{x}$
将A、B两点代入$y_2=mx+n$得$\begin{cases} -3m+n=3\\ \frac{9}{2}m+n=-2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=-\frac{2}{3}\\ n=1 \end{cases}$，即$y_2=-\frac{2}{3}x+1$
(2) 观察图象可得：当$-3＜x＜0$或$x＞\frac{9}{2}$时，反比例函数图象在一次函数图象上方，即$y_1＞y_2$
(3) 设直线AB与y轴交于点C，当$x=0$时，$y_2=1$，即$C(0,1)$，$OC=1$
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OC×|x_A|+\frac{1}{2}× OC× x_B=\frac{1}{2}×1×3+\frac{1}{2}×1×\frac{9}{2}=\frac{15}{4}$
【答案】
18.(1)由题知 $-3a=-2(a+\dfrac{3}{2})$,$\therefore a=3$,$\therefore A(-3,3)$,$B(\dfrac{9}{2},-2)$,$\therefore y_1=-\dfrac{9}{x}$. 把 $A(-3,3)$,$B(\dfrac{9}{2},-2)$ 代入 $y_2=mx+n$,得 $\begin{cases} -3m+n=3,\\ \dfrac{9}{2}m+n=-2, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} m=-\dfrac{2}{3},\\ n=1, \end{cases}$ $\therefore y_2=-\dfrac{2}{3}x+1$.
(2)由图象可知,当 $y_1＞y_2$ 时,自变量 x 的取值范围为 $-3＜x＜0$ 或 $x＞\dfrac{9}{2}$.
(3)
设 AB 与 y 轴相交于点 C,当 $x=0$ 时,$y_2=-\dfrac{2}{3}x+1=1$,$\therefore C(0,1)$,即 $OC=1$,$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}OC(x_B-x_A)=\dfrac{1}{2}×1×(\dfrac{9}{2}+3)=\dfrac{15}{4}$.【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标系面积计算
【点评】
本题是函数综合基础题，注重考查数形结合思想的应用，其中将不规则三角形拆分为同底三角形求和的方法，是解决坐标系内三角形面积问题的常用技巧。
【难度系数】
0.65
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. （2024·遂宁中考）某酒店有A,B两种客房，其中A种24间，B种20间.若全部入住，一天营业额为7 200元；若A,B两种客房均有10间入住，一天营业额为3 200元.
（1）求A,B两种客房每间定价分别是多少元.
（2）酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲.当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？
19. （2024·遂宁中考）某酒店有A,B两种客房，其中A种24间，B种20间.若全部入住，一天营业额为7 200元；若A,B两种客房均有10间入住，一天营业额为3 200元.
（1）求A,B两种客房每间定价分别是多少元.
（2）酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲.当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？
答案
19.(1)设 A 种客房每间定价为 x 元,B 种客房每间定价为 y 元,由题意可得,$\begin{cases} 24x+20y=7200,\\ 10x+10y=3200, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=200,\\ y=120. \end{cases}$ 答:A 种客房每间定价为 200 元,B 种客房每间定价为 120 元.
(2)设 A 种客房每间定价为 a 元,则 $W=(24-\dfrac{a-200}{10})a=-\dfrac{1}{10}a^2+44a=-\dfrac{1}{10}(a-220)^2+4840$. $\because -\dfrac{1}{10}＜0$,$\therefore$ 当 $a=220$ 时,$W$ 取最大值,$W_{\mathrm{最大值}}=4840$ 元.答:当 A 种客房每间定价为 220 元时,A 种客房一天的营业额 W 最大,最大营业额为 4840 元.
(2)设 A 种客房每间定价为 a 元,则 $W=(24-\dfrac{a-200}{10})a=-\dfrac{1}{10}a^2+44a=-\dfrac{1}{10}(a-220)^2+4840$. $\because -\dfrac{1}{10}＜0$,$\therefore$ 当 $a=220$ 时,$W$ 取最大值,$W_{\mathrm{最大值}}=4840$ 元.答:当 A 种客房每间定价为 220 元时,A 种客房一天的营业额 W 最大,最大营业额为 4840 元.
解析
【分析】
（1）本小问是二元一次方程组的实际应用，题目给出两个明确的等量关系：①24间A客房和20间B客房全部入住总营业额为7200元；②10间A客房和10间B客房入住总营业额为3200元。我们可以分别设A、B两种客房的定价为未知数，根据两个等量关系列方程组求解即可。
（2）本小问是二次函数的最值应用，首先要梳理A客房定价和入住数量的关系：定价200元时住满24间，定价每增加10元就空闲1间，因此可先表示出定价为a元时的入住房间数，再根据“营业额=每间定价×入住房间数”列出营业额W关于a的二次函数解析式，结合二次函数性质求最大值即可。
【解析】
（1）设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 24x+20y=7200\\ 10x+10y=3200 \end{cases}$
将第二个方程化简得$x+y=320$，即$y=320-x$，代入第一个方程：
$24x+20(320-x)=7200$
$4x=800$
解得$x=200$，则$y=320-200=120$。
（2）设A种客房每间定价为a元，此时空闲房间数为$\frac{a-200}{10}$间，实际入住房间数为$24-\frac{a-200}{10}$间，因此营业额：
$W=(24-\frac{a-200}{10})a$
整理得：
$W=-\frac{1}{10}a^2+44a$
配方为顶点式：
$W=-\frac{1}{10}(a-220)^2+4840$
$\because$二次项系数$-\frac{1}{10}＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$当$a=220$时，W取得最大值，最大值为4840元。
【答案】
（1）A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为120元；
（2）当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合酒店经营的实际场景，考查方程模型和函数模型的建立与应用，解题关键是准确提取题干等量关系，正确列出方程组和二次函数解析式，是实际应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）本小问是二元一次方程组的实际应用，题目给出两个明确的等量关系：①24间A客房和20间B客房全部入住总营业额为7200元；②10间A客房和10间B客房入住总营业额为3200元。我们可以分别设A、B两种客房的定价为未知数，根据两个等量关系列方程组求解即可。
（2）本小问是二次函数的最值应用，首先要梳理A客房定价和入住数量的关系：定价200元时住满24间，定价每增加10元就空闲1间，因此可先表示出定价为a元时的入住房间数，再根据“营业额=每间定价×入住房间数”列出营业额W关于a的二次函数解析式，结合二次函数性质求最大值即可。
【解析】
（1）设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 24x+20y=7200\\ 10x+10y=3200 \end{cases}$
将第二个方程化简得$x+y=320$，即$y=320-x$，代入第一个方程：
$24x+20(320-x)=7200$
$4x=800$
解得$x=200$，则$y=320-200=120$。
（2）设A种客房每间定价为a元，此时空闲房间数为$\frac{a-200}{10}$间，实际入住房间数为$24-\frac{a-200}{10}$间，因此营业额：
$W=(24-\frac{a-200}{10})a$
整理得：
$W=-\frac{1}{10}a^2+44a$
配方为顶点式：
$W=-\frac{1}{10}(a-220)^2+4840$
$\because$二次项系数$-\frac{1}{10}＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$当$a=220$时，W取得最大值，最大值为4840元。
【答案】
（1）A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为120元；
（2）当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合酒店经营的实际场景，考查方程模型和函数模型的建立与应用，解题关键是准确提取题干等量关系，正确列出方程组和二次函数解析式，是实际应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7
20. ★★★ 如图,已知抛物线$y=ax^2+2x+c$与x轴交于点A(3,0)和点C,与y轴交于点B(0,3).
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点D,使得点D到点B,C的距离之和最小,并求出点D的坐标.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点D,使得点D到点B,C的距离之和最小,并求出点D的坐标.
答案
20.(1)$\because$ 抛物线 $y=ax^2+2x+c$ 经过点 $A(3,0)$ 和点 $B(0,3)$,$\therefore \begin{cases} 9a+6+c=0,\\ c=3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=-1,\\ c=3, \end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=-x^2+2x+3$.
(2)对称轴为直线 $x=-\dfrac{b}{2a}=1$,令 $y=-x^2+2x+3=0$,解得 $x_1=3$,$x_2=-1$,$\therefore C(-1,0)$.
如图所示,连接 AB,与对称轴直线 $x=1$ 的交点即为所求的点 D,连接 DC,由于 A,C 两点关于对称轴对称,则此时 $DB+DC=DB+DA=AB$ 最小.设直线 AB 的表达式为 $y=kx+b$,由 $A(3,0),B(0,3)$,可得 $\begin{cases} 3k+b=0,\\ b=3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-1,\\ b=3, \end{cases}$ $\therefore$ 直线 AB 的表达式为 $y=-x+3$.当 $x=1$ 时,$y=2$,$\therefore$ 点 D 的坐标为 $(1,2)$.解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式可使用待定系数法：题目已经给出抛物线的一般式，且已知抛物线上A、B两个点的坐标，将两点坐标代入一般式就能得到关于未知系数a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值，即可确定抛物线的表达式。
(2) 求对称轴上使DB+DC最小的点D，属于“两点一线”型最短路径问题：首先先求出抛物线的对称轴以及点C的坐标，观察可知点C和点A关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质，对称轴上任意一点到C、A的距离相等，即DC=DA，因此DB+DC可以转化为DB+DA。根据两点之间线段最短，当D落在直线AB上时，DB+DA的和最小，也就是DB+DC最小。接下来只需求出直线AB的解析式，再求直线AB和对称轴的交点坐标，就是所求D点的坐标。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线 $y=ax^2+2x+c$ 经过点 $A(3,0)$ 和点 $B(0,3)$，
$\therefore$ 将两点坐标代入解析式得 $\begin{cases} 9a+6+c=0,\\ c=3, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} a=-1,\\ c=3, \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=-x^2+2x+3$。
(2) 对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=2$得对称轴为直线 $x=-\dfrac{2}{2×(-1)}=1$。
令 $y=-x^2+2x+3=0$，解方程得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得 $x_1=3$，$x_2=-1$，$\therefore C(-1,0)$。
如图所示，连接AB，与对称轴直线 $x=1$ 的交点即为所求的点D，连接DC。
由于A、C两点关于对称轴对称，因此对称轴上任意点到A、C的距离相等，即$DC=DA$，则此时 $DB+DC=DB+DA=AB$，根据两点之间线段最短，此时距离之和最小。
设直线AB的表达式为 $y=kx+b$，将 $A(3,0),B(0,3)$ 代入得 $\begin{cases} 3k+b=0,\\ b=3, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k=-1,\\ b=3, \end{cases}$
$\therefore$ 直线AB的表达式为 $y=-x+3$。
将$x=1$代入直线AB解析式，得$y=-1+3=2$，$\therefore$ 点D的坐标为$(1,2)$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；
(2) 点D的坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称最短路径，二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，既考查了待定系数法求解函数解析式的基本方法，也考查了轴对称性质在最短路径问题中的应用，解题的核心是利用对称性将线段和的最小值转化为两点之间的线段长，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式可使用待定系数法：题目已经给出抛物线的一般式，且已知抛物线上A、B两个点的坐标，将两点坐标代入一般式就能得到关于未知系数a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值，即可确定抛物线的表达式。
(2) 求对称轴上使DB+DC最小的点D，属于“两点一线”型最短路径问题：首先先求出抛物线的对称轴以及点C的坐标，观察可知点C和点A关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质，对称轴上任意一点到C、A的距离相等，即DC=DA，因此DB+DC可以转化为DB+DA。根据两点之间线段最短，当D落在直线AB上时，DB+DA的和最小，也就是DB+DC最小。接下来只需求出直线AB的解析式，再求直线AB和对称轴的交点坐标，就是所求D点的坐标。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线 $y=ax^2+2x+c$ 经过点 $A(3,0)$ 和点 $B(0,3)$，
$\therefore$ 将两点坐标代入解析式得 $\begin{cases} 9a+6+c=0,\\ c=3, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} a=-1,\\ c=3, \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=-x^2+2x+3$。
(2) 对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=2$得对称轴为直线 $x=-\dfrac{2}{2×(-1)}=1$。
令 $y=-x^2+2x+3=0$，解方程得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得 $x_1=3$，$x_2=-1$，$\therefore C(-1,0)$。
如图所示，连接AB，与对称轴直线 $x=1$ 的交点即为所求的点D，连接DC。由于A、C两点关于对称轴对称，因此对称轴上任意点到A、C的距离相等，即$DC=DA$，则此时 $DB+DC=DB+DA=AB$，根据两点之间线段最短，此时距离之和最小。
设直线AB的表达式为 $y=kx+b$，将 $A(3,0),B(0,3)$ 代入得 $\begin{cases} 3k+b=0,\\ b=3, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k=-1,\\ b=3, \end{cases}$
$\therefore$ 直线AB的表达式为 $y=-x+3$。
将$x=1$代入直线AB解析式，得$y=-1+3=2$，$\therefore$ 点D的坐标为$(1,2)$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；
(2) 点D的坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称最短路径，二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，既考查了待定系数法求解函数解析式的基本方法，也考查了轴对称性质在最短路径问题中的应用，解题的核心是利用对称性将线段和的最小值转化为两点之间的线段长，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
六、(本题满分12分)
21. ★★★(湖北中考)某商店销售的某种商品进价为每件30元,这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表:
(1≤x≤60,x为整数)
设该商品的日销售利润为w元.
(1)直接写出w与x的函数关系式.
(2)该商品在第几天的日销售利润最大?最大日销售利润是多少?
21. ★★★(湖北中考)某商店销售的某种商品进价为每件30元,这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表:
(1≤x≤60,x为整数)
设该商品的日销售利润为w元.
(1)直接写出w与x的函数关系式.
(2)该商品在第几天的日销售利润最大?最大日销售利润是多少?
答案
21.(1)$w=\begin{cases}-x^2+52x+620,1≤x≤30,x为整数,\\-40x+2480,31≤x≤60,x为整数\end{cases}$
解析:由题意得, 当 $1≤x≤30$ 时, $w=(0.5x+35-30)(124-2x)=-x^2+52x+620$; 当 $31≤x≤60$ 时, $w=(50-30)(124-2x)=-40x+2480$,
$\therefore w=\begin{cases}-x^2+52x+620,1≤x≤30,x为整数,\\-40x+2480,31≤x≤60,x为整数\end{cases}$.
(2)当 $1≤x≤30$ 时,$w=-x^2+52x+620$.$\because$ 抛物线开口向下,对称轴为直线 $x=26$,$\therefore$ 当 $x=26$ 时,$w_{\mathrm{max}}=-26^2+52×26+620=1296$(元).当 $31≤x≤60$ 时,$w=-40x+2480$,$w$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore$ 当 $x=31$ 时,$w_{\mathrm{max}}=-40×31+2480=1240$(元).$\because 1296＞1240$,$\therefore$ 该商品在第 26 天的日销售利润最大,最大日销售利润是 1296 元.
解析:由题意得, 当 $1≤x≤30$ 时, $w=(0.5x+35-30)(124-2x)=-x^2+52x+620$; 当 $31≤x≤60$ 时, $w=(50-30)(124-2x)=-40x+2480$,
$\therefore w=\begin{cases}-x^2+52x+620,1≤x≤30,x为整数,\\-40x+2480,31≤x≤60,x为整数\end{cases}$.
(2)当 $1≤x≤30$ 时,$w=-x^2+52x+620$.$\because$ 抛物线开口向下,对称轴为直线 $x=26$,$\therefore$ 当 $x=26$ 时,$w_{\mathrm{max}}=-26^2+52×26+620=1296$(元).当 $31≤x≤60$ 时,$w=-40x+2480$,$w$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore$ 当 $x=31$ 时,$w_{\mathrm{max}}=-40×31+2480=1240$(元).$\because 1296＞1240$,$\therefore$ 该商品在第 26 天的日销售利润最大,最大日销售利润是 1296 元.
解析
【分析】
解题首先要明确核心公式：日销售利润=（每件售价-每件进价）×日销售量。由于题目中日销售价分两段给出，因此利润函数也需要分$1≤x≤30$和$31≤x≤60$两个区间分别推导；求最大日销售利润时，分别分析两段函数的性质：第一段为二次函数，结合开口方向和对称轴即可求出区间内的最大值，第二段为一次函数，根据增减性求出区间内的最大值，最后比较两段的最大值，即可得到整个销售周期内的最大利润。
【解析】
(1) 分区间推导函数关系式：
① 当$1≤x≤30$（x为整数）时，每件商品利润为$(0.5x+35-30)$元，日销售量为$(124-2x)$件，因此：
$w=(0.5x+35-30)(124-2x)=(0.5x+5)(124-2x)$，展开后得$w=-x^2+52x+620$；
② 当$31≤x≤60$（x为整数）时，每件商品利润为$50-30=20$元，日销售量为$(124-2x)$件，因此：
$w=(50-30)(124-2x)=20(124-2x)=-40x+2480$。
(2) 分别求两个区间的最大利润：
① 当$1≤x≤30$时，$w=-x^2+52x+620$是开口向下的二次函数，对称轴为直线$x=-\frac{52}{2×(-1)}=26$，26属于$[1,30]$区间，因此当$x=26$时，w取最大值：
$w_{max}=-26^2+52×26+620=1296$元；
② 当$31≤x≤60$时，$w=-40x+2480$是斜率为负的一次函数，w随x的增大而减小，因此当x取最小值31时，w取最大值：
$w_{max}=-40×31+2480=1240$元；
对比两个最大值，$1296＞1240$，因此第26天日销售利润最大。
【答案】
(1) $w=\begin{cases}-x^2+52x+620&(1≤x≤30,x为整数)\\-40x+2480&(31≤x≤60,x为整数)\end{cases}$
(2) 该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元。
【知识点】
分段函数应用、二次函数最值、一次函数性质
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的实际应用，解题的关键是根据自变量的取值范围正确构建分段函数，再结合对应函数的性质求解最值，最后需注意要对不同分段的最值进行比较得到最终结果，同时不能忽略x为正整数的隐含限制。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确核心公式：日销售利润=（每件售价-每件进价）×日销售量。由于题目中日销售价分两段给出，因此利润函数也需要分$1≤x≤30$和$31≤x≤60$两个区间分别推导；求最大日销售利润时，分别分析两段函数的性质：第一段为二次函数，结合开口方向和对称轴即可求出区间内的最大值，第二段为一次函数，根据增减性求出区间内的最大值，最后比较两段的最大值，即可得到整个销售周期内的最大利润。
【解析】
(1) 分区间推导函数关系式：
① 当$1≤x≤30$（x为整数）时，每件商品利润为$(0.5x+35-30)$元，日销售量为$(124-2x)$件，因此：
$w=(0.5x+35-30)(124-2x)=(0.5x+5)(124-2x)$，展开后得$w=-x^2+52x+620$；
② 当$31≤x≤60$（x为整数）时，每件商品利润为$50-30=20$元，日销售量为$(124-2x)$件，因此：
$w=(50-30)(124-2x)=20(124-2x)=-40x+2480$。
(2) 分别求两个区间的最大利润：
① 当$1≤x≤30$时，$w=-x^2+52x+620$是开口向下的二次函数，对称轴为直线$x=-\frac{52}{2×(-1)}=26$，26属于$[1,30]$区间，因此当$x=26$时，w取最大值：
$w_{max}=-26^2+52×26+620=1296$元；
② 当$31≤x≤60$时，$w=-40x+2480$是斜率为负的一次函数，w随x的增大而减小，因此当x取最小值31时，w取最大值：
$w_{max}=-40×31+2480=1240$元；
对比两个最大值，$1296＞1240$，因此第26天日销售利润最大。
【答案】
(1) $w=\begin{cases}-x^2+52x+620&(1≤x≤30,x为整数)\\-40x+2480&(31≤x≤60,x为整数)\end{cases}$
(2) 该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元。
【知识点】
分段函数应用、二次函数最值、一次函数性质
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的实际应用，解题的关键是根据自变量的取值范围正确构建分段函数，再结合对应函数的性质求解最值，最后需注意要对不同分段的最值进行比较得到最终结果，同时不能忽略x为正整数的隐含限制。
【难度系数】
0.7
