登录
11. 若函数$y=(m-2)x^{m^2 - m} -2x +3$是关于x的二次函数，则$m=$
-1
。答案
11.-1 解析:函数 $y=(m-2)x^{m^2-m}-2x+3$ 是关于 x 的二次函数,则最高次数为 2,且二次项系数不为 0. 由 $m^2-m=2$,得 $(m-2)(m+1)=0$,解得 $m=2$ 或 $m=-1$. 又 $m-2≠0$,则 $m≠2$,$\therefore m=-1$.
解析
【分析】
解决本题需先明确二次函数的两个核心判定条件：一是x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件需同时满足。首先根据最高次数为2列关于m的方程，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的解，即可得到最终结果。
【解析】
已知函数$y=(m-2)x^{m^2 - m} -2x +3$是关于x的二次函数，需同时满足以下条件：
1. x的最高次项指数为2，即$m^2 - m = 2$，整理得$m^2 -m -2=0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$；
2. 二次项系数不为0，即$m-2 ≠ 0$，因此$m ≠ 2$。
综上，舍去不符合要求的$m=2$，可得$m=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
1. 二次函数的定义 2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题考查二次函数定义的应用，属于易错题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，直接将方程$m^2 -m=2$的两个解都作为最终结果，解题时要全面考虑定义中的所有限制要求。
【难度系数】
0.7
解决本题需先明确二次函数的两个核心判定条件：一是x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件需同时满足。首先根据最高次数为2列关于m的方程，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的解，即可得到最终结果。
【解析】
已知函数$y=(m-2)x^{m^2 - m} -2x +3$是关于x的二次函数，需同时满足以下条件：
1. x的最高次项指数为2，即$m^2 - m = 2$，整理得$m^2 -m -2=0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$；
2. 二次项系数不为0，即$m-2 ≠ 0$，因此$m ≠ 2$。
综上，舍去不符合要求的$m=2$，可得$m=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
1. 二次函数的定义 2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题考查二次函数定义的应用，属于易错题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，直接将方程$m^2 -m=2$的两个解都作为最终结果，解题时要全面考虑定义中的所有限制要求。
【难度系数】
0.7
12. 已知抛物线$y=-x^2 -2x +3$，当$-2 ≤ x ≤ 2$时，对应的函数值$y$的取值范围是
$-5≤y≤4$
。答案
12.$-5≤y≤4$ 解析:$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$,抛物线开口向下,顶点为 $(-1,4)$. 当 $-2≤x≤2$ 时,$x=-1$ 在取值范围内,最大值为 4;端点处 $x=-2$ 时 $y=3$,$x=2$ 时 $y=-5$,最小值为 -5. 所以 $-5≤y≤4$.
解析
【分析】
要解决给定区间内二次函数的函数值取值范围问题，首先需将二次函数解析式化为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；接着判断对称轴是否落在给定的自变量取值区间内：本题抛物线开口向下，若区间包含对称轴，顶点处就取最大值，再分别计算区间两个端点对应的函数值，比较得到最小值，最终确定y的取值范围。
【解析】
先对函数解析式配方：
$y=-x^2-2x+3=-(x^2+2x)+3=-(x^2+2x+1-1)+3=-(x+1)^2+4$
由此可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,4)$。
因为$-2≤x≤2$，对称轴$x=-1$在该区间内，所以当$x=-1$时，$y$取得最大值，最大值为$4$。
再计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2-2×(-2)+3=3$；
当$x=2$时，$y=-(2)^2-2×2+3=-5$。
比较$3$和$-5$，可得$y$的最小值为$-5$。
综上，当$-2≤x≤2$时，$y$的取值范围是$-5≤y≤4$。
【答案】
$-5≤y≤4$
【知识点】
二次函数配方；二次函数的性质；二次函数区间最值
【点评】
本题考查二次函数在固定区间内的取值范围求解，解题的核心是先明确二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围判断最值的位置，避免直接仅代入区间端点计算导致漏算顶点处的最值。
【难度系数】
0.7
要解决给定区间内二次函数的函数值取值范围问题，首先需将二次函数解析式化为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；接着判断对称轴是否落在给定的自变量取值区间内：本题抛物线开口向下，若区间包含对称轴，顶点处就取最大值，再分别计算区间两个端点对应的函数值，比较得到最小值，最终确定y的取值范围。
【解析】
先对函数解析式配方：
$y=-x^2-2x+3=-(x^2+2x)+3=-(x^2+2x+1-1)+3=-(x+1)^2+4$
由此可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,4)$。
因为$-2≤x≤2$，对称轴$x=-1$在该区间内，所以当$x=-1$时，$y$取得最大值，最大值为$4$。
再计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2-2×(-2)+3=3$；
当$x=2$时，$y=-(2)^2-2×2+3=-5$。
比较$3$和$-5$，可得$y$的最小值为$-5$。
综上，当$-2≤x≤2$时，$y$的取值范围是$-5≤y≤4$。
【答案】
$-5≤y≤4$
【知识点】
二次函数配方；二次函数的性质；二次函数区间最值
【点评】
本题考查二次函数在固定区间内的取值范围求解，解题的核心是先明确二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围判断最值的位置，避免直接仅代入区间端点计算导致漏算顶点处的最值。
【难度系数】
0.7
13. ★★★ (鄂尔多斯中考)如图,正方形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上,E,F分别是边AB,OA上的点,且∠ECF=45°,将△ECF沿着CF翻折,点E落在x轴上的点D处.已知反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$和$y_2=\frac{k_2}{x}$分别经过点B、点E,若$S_{△ COD}=5$,则$k_1 - k_2 =$
(第13题) (第14题)
10
.(第13题) (第14题)
答案
13.10 解析:$\because$ 四边形 ABCO 是正方形,$\therefore BC=OC$,$∠ B=∠ AOC=∠ OCB=90°$. 由翻折得 $∠ DCF=∠ ECF=45°$,$\therefore ∠ DCE=∠ DCF+∠ ECF=90°$,$\therefore ∠ OCD+∠ OCE=∠ OCE+∠ BCE=90°$,$\therefore ∠ OCD=∠ BCE$. $\because BC=OC$,$∠ B=∠ COD$,$\therefore △ BCE ≌ △ OCD(\mathrm{ASA})$,$\therefore S_{△ BCE}=S_{△ COD}=5$. 设 $BC=a$,则 $AB=\dfrac{k_1}{a}$,$AE=\dfrac{k_2}{a}$,$\therefore BE=\dfrac{k_1-k_2}{a}$,$\therefore S_{△ BCE}=\dfrac{1}{2}BC· BE=\dfrac{1}{2}a· \dfrac{k_1-k_2}{a}=\dfrac{1}{2}(k_1-k_2)=5$,$\therefore k_1-k_2=10$.
解析
【分析】
解题时首先结合正方形的性质和翻折的特征，推导角的等量关系，证明△BCE和△OCD全等，将已知的△COD的面积转化为△BCE的面积；再结合反比例函数上点的坐标特征，用$k_1$、$k_2$表示出△BCE的底和高，代入面积公式即可求出$k_1 - k_2$的值。
【解析】
∵ 四边形ABCO是正方形，
∴ $BC=OC$，$∠B=∠COD=∠OCB=90°$。
由翻折的性质可得$∠DCF=∠ECF=45°$，
∴ $∠DCE=∠DCF+∠ECF=90°$，
∴ $∠OCD+∠OCE=90°$，
又
∵ $∠BCE+∠OCE=∠OCB=90°$，
∴ $∠OCD=∠BCE$。
在△BCE和△OCD中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠COD \\BC=OC \\∠BCE=∠OCD\end{array} $
∴ $△BCE ≌ △OCD(\mathrm{ASA})$，
∴ $S_{△BCE}=S_{△COD}=5$。
设正方形OABC的边长为$a$，则点B坐标为$(a,a)$，
∵ 点B在$y_1=\frac{k_1}{x}$上，
∴ $k_1=a· a=a^2$。
点E在AB边上，横坐标为$a$，且在$y_2=\frac{k_2}{x}$上，
∴ 点E的纵坐标为$\frac{k_2}{a}$，即$AE=\frac{k_2}{a}$，
∴ $BE=AB-AE=a-\frac{k_2}{a}=\frac{a^2 - k_2}{a}=\frac{k_1 - k_2}{a}$。
∵ $S_{△BCE}=\frac{1}{2}· BC· BE$，
代入得$\frac{1}{2}· a· \frac{k_1 - k_2}{a}=5$，
化简得$\frac{1}{2}(k_1 - k_2)=5$，
解得$k_1 - k_2=10$。
【答案】
10
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质
【点评】
本题综合考查了翻折变换、几何全等证明及反比例函数的相关性质，解题的核心是通过全等转化三角形面积，再结合反比例函数上点的坐标特征建立关于$k_1$、$k_2$的等量关系，较好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合正方形的性质和翻折的特征，推导角的等量关系，证明△BCE和△OCD全等，将已知的△COD的面积转化为△BCE的面积；再结合反比例函数上点的坐标特征，用$k_1$、$k_2$表示出△BCE的底和高，代入面积公式即可求出$k_1 - k_2$的值。
【解析】
∵ 四边形ABCO是正方形，
∴ $BC=OC$，$∠B=∠COD=∠OCB=90°$。
由翻折的性质可得$∠DCF=∠ECF=45°$，
∴ $∠DCE=∠DCF+∠ECF=90°$，
∴ $∠OCD+∠OCE=90°$，
又
∵ $∠BCE+∠OCE=∠OCB=90°$，
∴ $∠OCD=∠BCE$。
在△BCE和△OCD中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠COD \\BC=OC \\∠BCE=∠OCD\end{array} $
∴ $△BCE ≌ △OCD(\mathrm{ASA})$，
∴ $S_{△BCE}=S_{△COD}=5$。
设正方形OABC的边长为$a$，则点B坐标为$(a,a)$，
∵ 点B在$y_1=\frac{k_1}{x}$上，
∴ $k_1=a· a=a^2$。
点E在AB边上，横坐标为$a$，且在$y_2=\frac{k_2}{x}$上，
∴ 点E的纵坐标为$\frac{k_2}{a}$，即$AE=\frac{k_2}{a}$，
∴ $BE=AB-AE=a-\frac{k_2}{a}=\frac{a^2 - k_2}{a}=\frac{k_1 - k_2}{a}$。
∵ $S_{△BCE}=\frac{1}{2}· BC· BE$，
代入得$\frac{1}{2}· a· \frac{k_1 - k_2}{a}=5$，
化简得$\frac{1}{2}(k_1 - k_2)=5$，
解得$k_1 - k_2=10$。
【答案】
10
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质
【点评】
本题综合考查了翻折变换、几何全等证明及反比例函数的相关性质，解题的核心是通过全等转化三角形面积，再结合反比例函数上点的坐标特征建立关于$k_1$、$k_2$的等量关系，较好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
14. 如图,抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与x轴交于点$(4,0)$,其对称轴为直线$x=1$,结合图象给出下列结论:①$abc＞0$;②$3a+c＜0$;③当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大;④若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=a-5$没有实数根,则$0＜a＜\frac{1}{2}$;⑤对于任意实数$m$,总有$am^2+bm -a -b≥0$.其中正确的结论有
①②④⑤
(填序号).答案
14.①②④⑤ 解析:①由图象可知,抛物线开口向上,则 $a＞0$,对称轴为直线 $x=-\dfrac{b}{2a}=1$,则 $b=-2a＜0$,抛物线与 y 轴交点位于 x 轴下方,则 $c＜0$,$\therefore abc＞0$,$\therefore$ ①正确;
②$\because$ 抛物线对称轴为直线 $x=1$,抛物线与 x 轴的一个交点为 $(4,0)$,$\therefore$ 另一个交点为 $(-2,0)$,$\therefore 4a-2b+c=0$. $\because b=-2a$,$\therefore c=-8a$,$\therefore 3a+c=3a-8a=-5a＜0$,$\therefore$ ②正确;
③当 $x＞1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,$\therefore$ ③错误;
④$\because$ 关于 x 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=a-5$ 没有实数根,又$\because \begin{cases} c=-8a,\\ b=-2a, \end{cases}$ $\therefore ax^2-2ax-8a=a-5$,即 $ax^2-2ax-9a+5=0$,$\therefore \Delta=4a^2-4a(-9a+5)＜0$,$\therefore a(a-\dfrac{1}{2})＜0$.$\because a＞0$,$\therefore 0＜a＜\dfrac{1}{2}$,$\therefore$ ④正确;
⑤对于任意实数 $m$,总有 $am^2+bm-a-b=am^2-2am-a+2a=am^2-2am+a=a(m-1)^2≥0$,$\therefore$ ⑤正确.
综上所述,正确的结论有①②④⑤.
②$\because$ 抛物线对称轴为直线 $x=1$,抛物线与 x 轴的一个交点为 $(4,0)$,$\therefore$ 另一个交点为 $(-2,0)$,$\therefore 4a-2b+c=0$. $\because b=-2a$,$\therefore c=-8a$,$\therefore 3a+c=3a-8a=-5a＜0$,$\therefore$ ②正确;
③当 $x＞1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,$\therefore$ ③错误;
④$\because$ 关于 x 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=a-5$ 没有实数根,又$\because \begin{cases} c=-8a,\\ b=-2a, \end{cases}$ $\therefore ax^2-2ax-8a=a-5$,即 $ax^2-2ax-9a+5=0$,$\therefore \Delta=4a^2-4a(-9a+5)＜0$,$\therefore a(a-\dfrac{1}{2})＜0$.$\because a＞0$,$\therefore 0＜a＜\dfrac{1}{2}$,$\therefore$ ④正确;
⑤对于任意实数 $m$,总有 $am^2+bm-a-b=am^2-2am-a+2a=am^2-2am+a=a(m-1)^2≥0$,$\therefore$ ⑤正确.
综上所述,正确的结论有①②④⑤.
解析
【分析】
本题是二次函数图象相关的结论判断题，解题思路如下：第一步先从图象提取核心信息：由抛物线开口方向得a的符号，结合对称轴公式推出b与a的数量关系，再由抛物线与y轴交点位置得c的符号，同时利用二次函数对称性，结合已知的x轴交点(4,0)和对称轴x=1，推出另一个x轴交点坐标；第二步将b、c都用含a的代数式表示，再逐个对5个结论验证：判断系数乘积符号直接用a、b、c的符号分析；判断代数式正负代入化简即可；判断增减性结合对称轴和开口方向分析；判断方程无实根转化为判别式小于0求解；判断代数式恒成立问题结合完全平方的非负性分析即可。
【解析】
①由图象可知，抛物线开口向上，$\therefore a＞0$；
对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a＜0$；
抛物线与y轴交点位于x轴下方，$\therefore c＜0$；
$\therefore abc＞0$，故①正确。
②$\because$抛物线对称轴为直线$x=1$，与x轴的一个交点为$(4,0)$，根据二次函数对称性，另一交点坐标为$(1×2-4,0)$即$(-2,0)$，
将$(-2,0)$代入解析式得：$4a-2b+c=0$，
把$b=-2a$代入得：$4a-2×(-2a)+c=0$，解得$c=-8a$，
$\therefore 3a+c=3a-8a=-5a$，$\because a＞0$，$\therefore -5a＜0$，即$3a+c＜0$，故②正确。
③$\because$抛物线开口向上，对称轴为$x=1$，$\therefore$当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$0＜x＜1$时$y$随$x$的增大而减小，故③错误。
④关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=a-5$没有实数根，
将$b=-2a$，$c=-8a$代入方程得：$ax^2-2ax-8a=a-5$，
整理为标准一元二次方程形式：$ax^2-2ax-9a+5=0$，
$\because$方程无实根，$\therefore$判别式$\Delta＜0$，
$\Delta=(-2a)^2-4a×(-9a+5)=4a^2+36a^2-20a=40a^2-20a＜0$，
化简得$a(2a-1)＜0$，
$\because a＞0$，$\therefore 2a-1＜0$，解得$0＜a＜\dfrac{1}{2}$，故④正确。
⑤对于任意实数$m$，代数式$am^2+bm -a -b$，
将$b=-2a$代入得：$am^2-2am -a -(-2a)=am^2-2am+a=a(m-1)^2$，
$\because a＞0$，$(m-1)^2≥0$，$\therefore a(m-1)^2≥0$，即$am^2+bm -a -b≥0$恒成立，故⑤正确。
【答案】
①②④⑤
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数的性质；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于二次函数常考的综合结论判断题，需要熟练掌握二次函数的对称性、增减性、最值等核心性质，结合代入消元、判别式判断、完全平方非负性等方法逐一验证结论，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数图象相关的结论判断题，解题思路如下：第一步先从图象提取核心信息：由抛物线开口方向得a的符号，结合对称轴公式推出b与a的数量关系，再由抛物线与y轴交点位置得c的符号，同时利用二次函数对称性，结合已知的x轴交点(4,0)和对称轴x=1，推出另一个x轴交点坐标；第二步将b、c都用含a的代数式表示，再逐个对5个结论验证：判断系数乘积符号直接用a、b、c的符号分析；判断代数式正负代入化简即可；判断增减性结合对称轴和开口方向分析；判断方程无实根转化为判别式小于0求解；判断代数式恒成立问题结合完全平方的非负性分析即可。
【解析】
①由图象可知，抛物线开口向上，$\therefore a＞0$；
对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a＜0$；
抛物线与y轴交点位于x轴下方，$\therefore c＜0$；
$\therefore abc＞0$，故①正确。
②$\because$抛物线对称轴为直线$x=1$，与x轴的一个交点为$(4,0)$，根据二次函数对称性，另一交点坐标为$(1×2-4,0)$即$(-2,0)$，
将$(-2,0)$代入解析式得：$4a-2b+c=0$，
把$b=-2a$代入得：$4a-2×(-2a)+c=0$，解得$c=-8a$，
$\therefore 3a+c=3a-8a=-5a$，$\because a＞0$，$\therefore -5a＜0$，即$3a+c＜0$，故②正确。
③$\because$抛物线开口向上，对称轴为$x=1$，$\therefore$当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$0＜x＜1$时$y$随$x$的增大而减小，故③错误。
④关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=a-5$没有实数根，
将$b=-2a$，$c=-8a$代入方程得：$ax^2-2ax-8a=a-5$，
整理为标准一元二次方程形式：$ax^2-2ax-9a+5=0$，
$\because$方程无实根，$\therefore$判别式$\Delta＜0$，
$\Delta=(-2a)^2-4a×(-9a+5)=4a^2+36a^2-20a=40a^2-20a＜0$，
化简得$a(2a-1)＜0$，
$\because a＞0$，$\therefore 2a-1＜0$，解得$0＜a＜\dfrac{1}{2}$，故④正确。
⑤对于任意实数$m$，代数式$am^2+bm -a -b$，
将$b=-2a$代入得：$am^2-2am -a -(-2a)=am^2-2am+a=a(m-1)^2$，
$\because a＞0$，$(m-1)^2≥0$，$\therefore a(m-1)^2≥0$，即$am^2+bm -a -b≥0$恒成立，故⑤正确。
【答案】
①②④⑤
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数的性质；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于二次函数常考的综合结论判断题，需要熟练掌握二次函数的对称性、增减性、最值等核心性质，结合代入消元、判别式判断、完全平方非负性等方法逐一验证结论，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15. 已知抛物线$y=-x^2+bx+c$经过点A(3,0),B(-1,0).
(1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标.
15. 已知抛物线$y=-x^2+bx+c$经过点A(3,0),B(-1,0).
(1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标.
答案
15.(1)$\because$ 抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 经过点 $A(3,0),B(-1,0)$,$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=-(x-3)(x+1)$,即 $y=-x^2+2x+3$.
(2)$\because y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(1,4)$.
(2)$\because y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(1,4)$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，且二次项系数为-1，既可以将两点坐标代入一般式列方程组求b、c的值，也可以用更简便的交点式直接写出解析式再整理为一般式。
(2) 求顶点坐标可以将得到的一般式通过配方法转化为顶点式，直接读取顶点坐标，也可以用顶点坐标公式代入系数计算，配方法更直观简便。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 经过点 $A(3,0),B(-1,0)$，
$\therefore$ 抛物线的表达式可写为交点式 $y=-(x-3)(x+1)$，
展开整理得 $y=-x^2+2x+3$。
(2) 将一般式配方变形：
$y=-x^2+2x+3$
$=-(x^2-2x)+3$
$=-(x^2-2x+1-1)+3$
$=-(x-1)^2+4$，
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(1,4)$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$；
(2) $(1,4)$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数顶点坐标求法
【点评】
本题是二次函数基础常考题，重点考察二次函数解析式的求解和顶点坐标的计算，掌握交点式的用法可以大幅简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，且二次项系数为-1，既可以将两点坐标代入一般式列方程组求b、c的值，也可以用更简便的交点式直接写出解析式再整理为一般式。
(2) 求顶点坐标可以将得到的一般式通过配方法转化为顶点式，直接读取顶点坐标，也可以用顶点坐标公式代入系数计算，配方法更直观简便。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 经过点 $A(3,0),B(-1,0)$，
$\therefore$ 抛物线的表达式可写为交点式 $y=-(x-3)(x+1)$，
展开整理得 $y=-x^2+2x+3$。
(2) 将一般式配方变形：
$y=-x^2+2x+3$
$=-(x^2-2x)+3$
$=-(x^2-2x+1-1)+3$
$=-(x-1)^2+4$，
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(1,4)$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$；
(2) $(1,4)$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数顶点坐标求法
【点评】
本题是二次函数基础常考题，重点考察二次函数解析式的求解和顶点坐标的计算，掌握交点式的用法可以大幅简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
16. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=x+2$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(1,m)$,与$x$轴交于点$C$.
(1)求点$A$的坐标和反比例函数的表达式;
(2)点$B$是反比例函数图象上一点且纵坐标是1,连接$AB,CB$,求$△ ACB$的面积.
(1)求点$A$的坐标和反比例函数的表达式;
(2)点$B$是反比例函数图象上一点且纵坐标是1,连接$AB,CB$,求$△ ACB$的面积.
答案
16.(1)$\because$ 一次函数 $y=x+2$ 的图象过点 $A(1,m)$,$\therefore m=1+2=3$,$\therefore A(1,3)$.$\because$ 点 A 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上,$\therefore k=1×3=3$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{3}{x}$.
(2)$\because$ 点 B 是反比例函数图象上一点且纵坐标是 1,$\therefore B(3,1)$,作 $BD// x$ 轴,交直线 AC 于点 D,
则点 D 的纵坐标为 1,代入 $y=x+2$,得 $1=x+2$, 解 得 $x=-1$,$\therefore D(-1,1)$,$\therefore BD=3+1=4$,$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×4×3=6$.解析
【分析】
(1) 点在函数图象上时，点的坐标满足对应函数的解析式，因此先将点A的横坐标代入一次函数$y=x+2$求出m的值，即可得到点A的坐标；再将点A的坐标代入反比例函数表达式，求出k的值，即可得到反比例函数的表达式。
(2) 先将点B的纵坐标代入反比例函数表达式，求出点B的横坐标，得到点B的坐标；为了简化$△ ACB$的面积计算，采用割补法，过点B作BD平行于x轴交直线AC于点D，求出点D的坐标后得到BD的长度，$△ ACB$的面积可转化为以BD为底，点A、点C到直线BD的距离之和为高的三角形面积，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) $\because$ 一次函数 $y=x+2$ 的图象过点 $A(1,m)$，
$\therefore m=1+2=3$，即点A的坐标为$(1,3)$。
$\because$ 点A在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上，
$\therefore k=1×3=3$，
$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{3}{x}$。
(2) $\because$ 点B是反比例函数图象上一点且纵坐标为1，
将$y=1$代入$y=\dfrac{3}{x}$，解得$x=3$，即$B(3,1)$。
作 $BD// x$ 轴，交直线AC于点D，
则点D的纵坐标为1，将$y=1$代入$y=x+2$，得$1=x+2$，解得$x=-1$，
$\therefore D(-1,1)$，
$\therefore BD=3-(-1)=4$。
点A到直线BD的距离为$3-1=2$，点C在x轴上，到直线BD的距离为$1-0=1$，两段距离之和为3，
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× BD× 3=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
【答案】
(1) 点A的坐标为$\boldsymbol{(1,3)}$，反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{x}}$；
(2) $△ ACB$的面积为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
一次函数的性质，反比例函数的性质，割补法求面积
【点评】
本题属于一次函数与反比例函数的综合题，难度适中，重点考查了函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，以及坐标系中不规则三角形面积的计算技巧，作平行于坐标轴的辅助线分割图形是解决此类面积问题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 点在函数图象上时，点的坐标满足对应函数的解析式，因此先将点A的横坐标代入一次函数$y=x+2$求出m的值，即可得到点A的坐标；再将点A的坐标代入反比例函数表达式，求出k的值，即可得到反比例函数的表达式。
(2) 先将点B的纵坐标代入反比例函数表达式，求出点B的横坐标，得到点B的坐标；为了简化$△ ACB$的面积计算，采用割补法，过点B作BD平行于x轴交直线AC于点D，求出点D的坐标后得到BD的长度，$△ ACB$的面积可转化为以BD为底，点A、点C到直线BD的距离之和为高的三角形面积，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) $\because$ 一次函数 $y=x+2$ 的图象过点 $A(1,m)$，
$\therefore m=1+2=3$，即点A的坐标为$(1,3)$。
$\because$ 点A在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上，
$\therefore k=1×3=3$，
$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{3}{x}$。
(2) $\because$ 点B是反比例函数图象上一点且纵坐标为1，
将$y=1$代入$y=\dfrac{3}{x}$，解得$x=3$，即$B(3,1)$。
作 $BD// x$ 轴，交直线AC于点D，
则点D的纵坐标为1，将$y=1$代入$y=x+2$，得$1=x+2$，解得$x=-1$，
$\therefore D(-1,1)$，
$\therefore BD=3-(-1)=4$。
点A到直线BD的距离为$3-1=2$，点C在x轴上，到直线BD的距离为$1-0=1$，两段距离之和为3，
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× BD× 3=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
【答案】
(1) 点A的坐标为$\boldsymbol{(1,3)}$，反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{x}}$；
(2) $△ ACB$的面积为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
一次函数的性质，反比例函数的性质，割补法求面积
【点评】
本题属于一次函数与反比例函数的综合题，难度适中，重点考查了函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，以及坐标系中不规则三角形面积的计算技巧，作平行于坐标轴的辅助线分割图形是解决此类面积问题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17. 新定义:$[a,b,c]$为二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0,a,b,c$为实数)的“图象数”,如:$y=-x^2+2x+3$的“图象数”为$[-1,2,3]$.
(1)“图象数”为$[1,-1,0]$的二次函数表达式为
(2)求证:“图象数”为$[1,m+3,m]$的二次函数的图象与$x$轴恒有两个交点.
17. 新定义:$[a,b,c]$为二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0,a,b,c$为实数)的“图象数”,如:$y=-x^2+2x+3$的“图象数”为$[-1,2,3]$.
(1)“图象数”为$[1,-1,0]$的二次函数表达式为
$y=x^2-x$
.(2)求证:“图象数”为$[1,m+3,m]$的二次函数的图象与$x$轴恒有两个交点.
答案
17.(1)$y=x^2-x$
(2)“图象数”为 $[1,m+3,m]$ 的二次函数表达式为 $y=x^2+(m+3)x+m$. 当 $y=0$ 时,$x^2+(m+3)x+m=0$,$\Delta=b^2-4ac=(m+3)^2-4m=(m+1)^2+8＞0$,$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根,即“图象数”为 $[1,m+3,m]$ 的二次函数的图象与 x 轴恒有两个交点.
(2)“图象数”为 $[1,m+3,m]$ 的二次函数表达式为 $y=x^2+(m+3)x+m$. 当 $y=0$ 时,$x^2+(m+3)x+m=0$,$\Delta=b^2-4ac=(m+3)^2-4m=(m+1)^2+8＞0$,$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根,即“图象数”为 $[1,m+3,m]$ 的二次函数的图象与 x 轴恒有两个交点.
解析
【分析】
(1) 根据题目给出的“图象数”定义，[a,b,c]依次对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的二次项系数、一次项系数、常数项，直接将“图象数”$[1,-1,0]$的数值代入对应位置即可得到函数表达式。
(2) 要证明二次函数图象与x轴恒有两个交点，等价于证明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta＞0$恒成立。首先根据“图象数”写出二次函数表达式，令$y=0$得到一元二次方程，计算判别式并配方，判断其取值恒大于0即可完成证明。
【解析】
(1) 由“图象数”的定义可得$a=1$，$b=-1$，$c=0$，代入二次函数一般式得$y=x^2 - x$。
(2) 第一步：根据“图象数”写出二次函数表达式为$y=x^2+(m+3)x+m$；
第二步：令$y=0$，得到一元二次方程$x^2+(m+3)x+m=0$；
第三步：计算根的判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(m+3)^2-4×1× m=m^2+6m+9-4m=m^2+2m+9=(m+1)^2+8$；
第四步：判断判别式的取值：$\because (m+1)^2≥0$，$\therefore (m+1)^2+8≥8＞0$，因此该一元二次方程有两个不相等的实数根，对应二次函数图象与x轴恒有两个交点。
【答案】
(1)$y=x^2-x$
(2)“图象数”为 $[1,m+3,m]$ 的二次函数表达式为 $y=x^2+(m+3)x+m$. 当 $y=0$ 时,$x^2+(m+3)x+m=0$,$\Delta=b^2-4ac=(m+3)^2-4m=(m+1)^2+8＞0$,$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根,即“图象数”为 $[1,m+3,m]$ 的二次函数的图象与 x 轴恒有两个交点.
【知识点】
新定义问题，二次函数的定义，根的判别式应用
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基础性质，解题核心是准确理解新定义的含义，熟练掌握判别式判断二次函数与x轴交点个数的方法，侧重考查信息读取能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
(1) 根据题目给出的“图象数”定义，[a,b,c]依次对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的二次项系数、一次项系数、常数项，直接将“图象数”$[1,-1,0]$的数值代入对应位置即可得到函数表达式。
(2) 要证明二次函数图象与x轴恒有两个交点，等价于证明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta＞0$恒成立。首先根据“图象数”写出二次函数表达式，令$y=0$得到一元二次方程，计算判别式并配方，判断其取值恒大于0即可完成证明。
【解析】
(1) 由“图象数”的定义可得$a=1$，$b=-1$，$c=0$，代入二次函数一般式得$y=x^2 - x$。
(2) 第一步：根据“图象数”写出二次函数表达式为$y=x^2+(m+3)x+m$；
第二步：令$y=0$，得到一元二次方程$x^2+(m+3)x+m=0$；
第三步：计算根的判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(m+3)^2-4×1× m=m^2+6m+9-4m=m^2+2m+9=(m+1)^2+8$；
第四步：判断判别式的取值：$\because (m+1)^2≥0$，$\therefore (m+1)^2+8≥8＞0$，因此该一元二次方程有两个不相等的实数根，对应二次函数图象与x轴恒有两个交点。
【答案】
(1)$y=x^2-x$
(2)“图象数”为 $[1,m+3,m]$ 的二次函数表达式为 $y=x^2+(m+3)x+m$. 当 $y=0$ 时,$x^2+(m+3)x+m=0$,$\Delta=b^2-4ac=(m+3)^2-4m=(m+1)^2+8＞0$,$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根,即“图象数”为 $[1,m+3,m]$ 的二次函数的图象与 x 轴恒有两个交点.
【知识点】
新定义问题，二次函数的定义，根的判别式应用
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基础性质，解题核心是准确理解新定义的含义，熟练掌握判别式判断二次函数与x轴交点个数的方法，侧重考查信息读取能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
