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七、(本题满分12分)
22. 如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,点C的坐标为(0,3),点A在x轴的负半轴上,点D,M分别在边AB,OA上,且AD=2DB,AM=2MO,一次函数$y=kx+b$的图象经过点D和M,反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＜0)$的图象经过点D,与BC的交点为点N,连接MN.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)若点P在直线DM上,且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,求点P的坐标.
22. 如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,点C的坐标为(0,3),点A在x轴的负半轴上,点D,M分别在边AB,OA上,且AD=2DB,AM=2MO,一次函数$y=kx+b$的图象经过点D和M,反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＜0)$的图象经过点D,与BC的交点为点N,连接MN.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)若点P在直线DM上,且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,求点P的坐标.
答案
22.(1)$\because$ 正方形 OABC 的顶点 C 的坐标为 $(0,3)$,$\therefore OA=AB=BC=OC=3$,$∠ OAB=∠ B=∠ BCO=90°$. 又 $\because AD=2DB$,$\therefore AD=\dfrac{2}{3}AB=2$,$\therefore D(-3,2)$. 把 $D(-3,2)$ 代入 $y=\dfrac{m}{x}$,得 $m=-6$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=-\dfrac{6}{x}(x＜0)$. $\because AM=2MO$,$\therefore OM=\dfrac{1}{3}OA=1$,$\therefore M(-1,0)$. 把 $M(-1,0)$ 和 $D(-3,2)$ 代入 $y=kx+b$,得 $\begin{cases} 0=-k+b,\\ 2=-3k+b, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-1,\\ b=-1, \end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=-x-1$.
(2)$\because$ 点 N 在 BC 上,$\therefore y_N=3$,把 $y=3$ 代入 $y=-\dfrac{6}{x}$ 得 $x=-2$,$\therefore N(-2,3)$,$\therefore NC=2$. 设 $P(x,y)$. $\because S_{△ OPM}=S_{\mathrm{四边形}OMNC}$,$\therefore \dfrac{1}{2}OM·|y|=\dfrac{1}{2}(OM+NC)· OC$,即 $|y|=(1+2)×3$,$\therefore y=\pm9$. 当 $y=9$ 时,$x=-10$;当 $y=-9$ 时,$x=8$,$\therefore$ 点 P 的坐标为 $(-10,9)$ 或 $(8,-9)$.
(2)$\because$ 点 N 在 BC 上,$\therefore y_N=3$,把 $y=3$ 代入 $y=-\dfrac{6}{x}$ 得 $x=-2$,$\therefore N(-2,3)$,$\therefore NC=2$. 设 $P(x,y)$. $\because S_{△ OPM}=S_{\mathrm{四边形}OMNC}$,$\therefore \dfrac{1}{2}OM·|y|=\dfrac{1}{2}(OM+NC)· OC$,即 $|y|=(1+2)×3$,$\therefore y=\pm9$. 当 $y=9$ 时,$x=-10$;当 $y=-9$ 时,$x=8$,$\therefore$ 点 P 的坐标为 $(-10,9)$ 或 $(8,-9)$.
解析
【分析】
(1) 首先根据正方形顶点C的坐标确定正方形边长为3，结合AD=2DB的比例关系求出AD长度，得到D点坐标；再根据AM=2MO的比例求出OM长度，得到M点坐标。将D点坐标代入反比例函数解析式求出m，得到反比例函数表达式；再将D、M两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出k、b，得到一次函数表达式。
(2) 先根据N在BC边上，可知N点纵坐标为3，代入反比例函数求出N点横坐标，得到NC的长度。四边形OMNC是梯形，用梯形面积公式求出其面积；再根据△OPM与四边形OMNC面积相等，以OM为底、P点纵坐标的绝对值为高列方程，求出P点纵坐标，最后代入一次函数解析式求出对应横坐标，得到P点坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵正方形OABC的顶点C的坐标为$(0,3)$，$\therefore OA=AB=BC=OC=3$，$∠ OAB=∠ B=∠ BCO=90°$。
又$\because AD=2DB$，$\therefore AD=\dfrac{2}{3}AB=2$，$\therefore D(-3,2)$。
把$D(-3,2)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$2=\dfrac{m}{-3}$，解得$m=-6$，$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{6}{x}(x＜0)$。
$\because AM=2MO$，$\therefore OM=\dfrac{1}{3}OA=1$，$\therefore M(-1,0)$。
把$M(-1,0)$和$D(-3,2)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases} 0=-k+b\\ 2=-3k+b \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-1\\ b=-1 \end{cases}$，$\therefore$一次函数的表达式为$y=-x-1$。
(2) $\because$点N在BC上，BC边平行于x轴，点的纵坐标均为3，把$y=3$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$3=-\dfrac{6}{x}$，解得$x=-2$，$\therefore N(-2,3)$，$\therefore NC=2$。
设$P(x,y)$，$\because S_{△ OPM}=S_{\mathrm{四边形}OMNC}$，
四边形OMNC为梯形，面积为$\dfrac{1}{2}(OM+NC)· OC$，$△ OPM$的面积为$\dfrac{1}{2}OM· |y|$，
$\therefore \dfrac{1}{2}×1×|y|=\dfrac{1}{2}×(1+2)×3$，解得$|y|=9$，即$y=\pm9$。
当$y=9$时，代入$y=-x-1$得$9=-x-1$，解得$x=-10$；
当$y=-9$时，代入$y=-x-1$得$-9=-x-1$，解得$x=8$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{6}{x}(x＜0)}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x-1}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(-10,9)}$或$\boldsymbol{(8,-9)}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 反比例函数图象性质
3. 图形面积计算
【点评】
本题属于函数综合基础题，结合了正方形的性质，解题核心是先通过线段比例求出关键点坐标，再结合面积关系建立方程求解，需注意纵坐标绝对值对应两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 首先根据正方形顶点C的坐标确定正方形边长为3，结合AD=2DB的比例关系求出AD长度，得到D点坐标；再根据AM=2MO的比例求出OM长度，得到M点坐标。将D点坐标代入反比例函数解析式求出m，得到反比例函数表达式；再将D、M两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出k、b，得到一次函数表达式。
(2) 先根据N在BC边上，可知N点纵坐标为3，代入反比例函数求出N点横坐标，得到NC的长度。四边形OMNC是梯形，用梯形面积公式求出其面积；再根据△OPM与四边形OMNC面积相等，以OM为底、P点纵坐标的绝对值为高列方程，求出P点纵坐标，最后代入一次函数解析式求出对应横坐标，得到P点坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵正方形OABC的顶点C的坐标为$(0,3)$，$\therefore OA=AB=BC=OC=3$，$∠ OAB=∠ B=∠ BCO=90°$。
又$\because AD=2DB$，$\therefore AD=\dfrac{2}{3}AB=2$，$\therefore D(-3,2)$。
把$D(-3,2)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$2=\dfrac{m}{-3}$，解得$m=-6$，$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{6}{x}(x＜0)$。
$\because AM=2MO$，$\therefore OM=\dfrac{1}{3}OA=1$，$\therefore M(-1,0)$。
把$M(-1,0)$和$D(-3,2)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases} 0=-k+b\\ 2=-3k+b \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-1\\ b=-1 \end{cases}$，$\therefore$一次函数的表达式为$y=-x-1$。
(2) $\because$点N在BC上，BC边平行于x轴，点的纵坐标均为3，把$y=3$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$3=-\dfrac{6}{x}$，解得$x=-2$，$\therefore N(-2,3)$，$\therefore NC=2$。
设$P(x,y)$，$\because S_{△ OPM}=S_{\mathrm{四边形}OMNC}$，
四边形OMNC为梯形，面积为$\dfrac{1}{2}(OM+NC)· OC$，$△ OPM$的面积为$\dfrac{1}{2}OM· |y|$，
$\therefore \dfrac{1}{2}×1×|y|=\dfrac{1}{2}×(1+2)×3$，解得$|y|=9$，即$y=\pm9$。
当$y=9$时，代入$y=-x-1$得$9=-x-1$，解得$x=-10$；
当$y=-9$时，代入$y=-x-1$得$-9=-x-1$，解得$x=8$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{6}{x}(x＜0)}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x-1}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(-10,9)}$或$\boldsymbol{(8,-9)}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 反比例函数图象性质
3. 图形面积计算
【点评】
本题属于函数综合基础题，结合了正方形的性质，解题核心是先通过线段比例求出关键点坐标，再结合面积关系建立方程求解，需注意纵坐标绝对值对应两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
八、（本题满分14分）
23. （2026·淮南期中）已知抛物线 $ y = x^2 + (a - 1)x + a - 2 $。
(1)对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标。
(2)当$ a = -1 $时，该抛物线与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为点D。
①如图①，若点P是x轴上的动点，当$ |PD - PC| $取最大值时，求△PBD的面积；
②小聪研究发现：如图②，E，F是抛物线上异于B，C的两个动点，如果直线CE与直线BF的交点始终在直线$ y = 2x - 9 $上，那么在直线EF上存在点Q，使得△QCE，△QAC，△QAF中存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积(不必说明理由)。
23. （2026·淮南期中）已知抛物线 $ y = x^2 + (a - 1)x + a - 2 $。
(1)对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标。
(2)当$ a = -1 $时，该抛物线与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为点D。
①如图①，若点P是x轴上的动点，当$ |PD - PC| $取最大值时，求△PBD的面积；
②小聪研究发现：如图②，E，F是抛物线上异于B，C的两个动点，如果直线CE与直线BF的交点始终在直线$ y = 2x - 9 $上，那么在直线EF上存在点Q，使得△QCE，△QAC，△QAF中存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积(不必说明理由)。
答案
23.(1)$\because y=x^2+(a-1)x+a-2=x^2-x+a(x+1)-2$,$\therefore$ 当 $x=-1$ 时,$y=0$ 恒成立,$\therefore$ 对于任意实数 $a$,该抛物线都会经过一个定点 $(-1,0)$.
(2)① 当 $a=-1$ 时,抛物线的表达式为 $y=x^2-2x-3$,令 $x^2-2x-3=0$,解得 $x_1=3$,$x_2=-1$,$\therefore B(3,0)$. 令 $x=0$,得 $y=-3$,$\therefore C(0,-3)$.$D$ 为抛物线顶点,$\therefore D$ 点横坐标为 $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2}=1$,纵坐标为 $y=1-2-3=-4$,$\therefore D(1,-4)$.
$\because |PD-PC|≤DC$,$\therefore$ 当 $P,D,C$ 三点在一条直线上时,$|PD-PC|$ 取得最大值,
,连接 DC 并延长,交 x 轴于点 P,设直线 DC 的表达式为 $y=kx+b$,将点 $C(0,-3)$,$D(1,-4)$ 的坐标分别代入,得 $\begin{cases} b=-3,\\ k+b=-4, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} b=-3,\\ k=-1, \end{cases}$ 直线 DC 的表达式为 $y=-x-3$,当 $y=-x-3=0$ 时,$x=-3$,$\therefore P(-3,0)$,$\therefore S_{△ PBD}=\dfrac{1}{2}(x_B-x_P)·|y_D|=\dfrac{1}{2}×(3+3)×4=12$.②$△ QAC$ 的面积为定值,面积为 4.
解析
【分析】
(1) 求解抛物线过的定点时，需将解析式中含参数$a$的项合并，令$a$的系数为0，此时$y$的取值不受$a$影响，即可求出定点坐标。
(2)① 先将$a=-1$代入抛物线解析式，求出抛物线与坐标轴交点$A、B、C$的坐标，再用顶点坐标公式求出顶点$D$的坐标。根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，可知当$P、C、D$三点共线时，$|PD-PC|$取最大值，等于$CD$的长度。此时求出直线$CD$的解析式，找到其与$x$轴交点$P$的坐标，再以$PB$为底，$D$点纵坐标的绝对值为高，即可计算$△ PBD$的面积。
② 根据题目给定的动点条件可直接得出面积为定值的三角形及对应面积。
【解析】
(1) 对抛物线解析式变形：$y=x^2+(a-1)x+a-2=x^2-x+a(x+1)-2$，
当$x+1=0$即$x=-1$时，$y=(-1)^2-(-1)-2=0$，此时$y$的取值与$a$无关，
因此无论$a$取何实数，抛物线恒过定点$(-1,0)$。
(2)① 当$a=-1$时，抛物线解析式为$y=x^2-2x-3$：
令$y=0$，即$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
因为点$A$在点$B$左侧，所以$A(-1,0)$，$B(3,0)$；
令$x=0$，得$y=-3$，所以$C(0,-3)$；
抛物线顶点$D$的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，将$x=1$代入解析式得$y=1^2-2×1-3=-4$，即$D(1,-4)$。
根据三角形三边关系，$|PD-PC|≤CD$，当且仅当$P、C、D$三点共线时，等号成立，此时$|PD-PC|$取最大值。
设直线$CD$的解析式为$y=kx+b$，将$C(0,-3)$、$D(1,-4)$代入得：
$\begin{cases} b=-3 \\ k+b=-4 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=-3 \end{cases}$，即直线$CD$解析式为$y=-x-3$。
令$y=0$，解得$x=-3$，即$P$点坐标为$(-3,0)$。
$△ PBD$中，$PB$的长度为$3 - (-3)=6$，$D$点到$x$轴的距离为$|y_D|=4$，
因此$S_{△PBD}=\frac{1}{2}×PB×|y_D|=\frac{1}{2}×6×4=12$。
② $△ QAC$的面积为定值，面积为4。
【答案】
(1) 定点坐标为$\boldsymbol{(-1,0)}$；
(2)① $△ PBD$的面积为$\boldsymbol{12}$；
② $△ QAC$的面积为定值，面积为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
二次函数定点问题，动点最值问题，函数综合应用
【点评】
本题围绕二次函数展开，融合了定点求解、动点最值、函数交点、三角形面积计算等多个考点，既考查了基础公式的应用，也对逻辑推理能力和综合分析能力有一定要求，是典型的代数几何综合题型。
【难度系数】
0.3
(1) 求解抛物线过的定点时，需将解析式中含参数$a$的项合并，令$a$的系数为0，此时$y$的取值不受$a$影响，即可求出定点坐标。
(2)① 先将$a=-1$代入抛物线解析式，求出抛物线与坐标轴交点$A、B、C$的坐标，再用顶点坐标公式求出顶点$D$的坐标。根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，可知当$P、C、D$三点共线时，$|PD-PC|$取最大值，等于$CD$的长度。此时求出直线$CD$的解析式，找到其与$x$轴交点$P$的坐标，再以$PB$为底，$D$点纵坐标的绝对值为高，即可计算$△ PBD$的面积。
② 根据题目给定的动点条件可直接得出面积为定值的三角形及对应面积。
【解析】
(1) 对抛物线解析式变形：$y=x^2+(a-1)x+a-2=x^2-x+a(x+1)-2$，
当$x+1=0$即$x=-1$时，$y=(-1)^2-(-1)-2=0$，此时$y$的取值与$a$无关，
因此无论$a$取何实数，抛物线恒过定点$(-1,0)$。
(2)① 当$a=-1$时，抛物线解析式为$y=x^2-2x-3$：
令$y=0$，即$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
因为点$A$在点$B$左侧，所以$A(-1,0)$，$B(3,0)$；
令$x=0$，得$y=-3$，所以$C(0,-3)$；
抛物线顶点$D$的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，将$x=1$代入解析式得$y=1^2-2×1-3=-4$，即$D(1,-4)$。
根据三角形三边关系，$|PD-PC|≤CD$，当且仅当$P、C、D$三点共线时，等号成立，此时$|PD-PC|$取最大值。
设直线$CD$的解析式为$y=kx+b$，将$C(0,-3)$、$D(1,-4)$代入得：
$\begin{cases} b=-3 \\ k+b=-4 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=-3 \end{cases}$，即直线$CD$解析式为$y=-x-3$。
令$y=0$，解得$x=-3$，即$P$点坐标为$(-3,0)$。
$△ PBD$中，$PB$的长度为$3 - (-3)=6$，$D$点到$x$轴的距离为$|y_D|=4$，
因此$S_{△PBD}=\frac{1}{2}×PB×|y_D|=\frac{1}{2}×6×4=12$。
② $△ QAC$的面积为定值，面积为4。
【答案】
(1) 定点坐标为$\boldsymbol{(-1,0)}$；
(2)① $△ PBD$的面积为$\boldsymbol{12}$；
② $△ QAC$的面积为定值，面积为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
二次函数定点问题，动点最值问题，函数综合应用
【点评】
本题围绕二次函数展开，融合了定点求解、动点最值、函数交点、三角形面积计算等多个考点，既考查了基础公式的应用，也对逻辑推理能力和综合分析能力有一定要求，是典型的代数几何综合题型。
【难度系数】
0.3
