1.如图，两面镜子AB,BC的夹角为$∠α$，当光线经过镜子反射时，测得$∠1=∠2$，$∠3=∠4$。若$∠α=70°$，则$∠β$的度数是().

A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$

(第1题) (第2题)

1.B

【分析】
解题时先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠2与∠3的和，再结合反射时∠1=∠2、∠3=∠4的条件，算出∠1+∠2+∠3+∠4的总和，接下来通过平角的定义求出∠β所在三角形另外两个内角的和，最后再次用三角形内角和定理就能算出∠β的度数。
【解析】
1. 在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$，已知$∠α=70°$，可得：
$∠2+∠3=180°-∠α=180°-70°=110°$
2. 由反射性质可知$∠1=∠2$，$∠3=∠4$，因此：
$∠1+∠2+∠3+∠4=2(∠2+∠3)=2×110°=220°$
3. 两个反射点处各对应一个平角，两个平角总和为$180°×2=360°$，因此$∠β$所在三角形的另外两个内角之和为：
$360°-220°=140°$
4. 在$∠β$所在的三角形中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠β=180°-140°=40°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，平角的定义
【点评】
本题结合光线反射的实际场景考查几何基础计算，解题关键是梳理清楚各角度之间的数量关系，通过角度和差运算即可求解，是结合生活场景的典型几何基础题。
【难度系数】
0.7

2.如图,已知基地B在小岛A的南偏东$20°$方向上,与小岛A相距30海里,货轮C在小岛A的南偏西$70°$方向上,在基地B的北偏西$60°$方向上,则$∠ C$的度数是().

A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$

2.B

【分析】
解题时首先明确：不同地点的正北方向线互相平行，方向角具有相对性。我们先根据给出的方向角求出△ABC中∠CAB和∠ABC的度数，再利用三角形内角和为180°，即可求出∠C的度数。
【解析】
1. 求∠CAB的度数：
已知货轮C在小岛A的南偏西70°方向，基地B在小岛A的南偏东20°方向，因此∠CAB = 70° + 20° = 90°。
2. 求∠ABC的度数：
因为A、B两点的正北方向线互相平行，根据方向角的相对性，基地B在小岛A的南偏东20°方向，可知小岛A在基地B的北偏西20°方向。
又已知货轮C在基地B的北偏西60°方向，因此∠ABC = 60° - 20° = 40°。
3. 求∠C的度数：
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，因此：
∠C = 180° - ∠CAB - ∠ABC = 180° - 90° - 40° = 50°。
【答案】
B
【知识点】
方向角的识别，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合实际方向场景考查三角形内角和的应用，解题的核心是准确梳理方向角之间的数量关系，是方向角与三角形内角结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7

3.如图,在探究证明三角形的内角和定理时,综合实践小组的同学作了如下四种辅助线:
(1)如图①,过点 C 作$EF // AB$;
(2)如图②,过 AB 上一点 D 分别作$DE // BC,DF // AC$;
(3)如图③,延长 AC 到点 F,过点 C 作$CE // AB$;
(4)如图④,过点 C 作$CD ⊥ AB$于点 D.
其中,能证明“三角形的内角和是$180°$”的有.(填序号)

3.(1)(2)(3)

【分析】
证明三角形内角和为180°的核心思路是通过辅助线构造平行线，利用平行线的性质将三角形的三个内角转移到同一位置，拼接成平角（180°）或者转化为互补的同旁内角，以此得到三个内角的和为180°，我们逐一分析四种辅助线能否实现该转化即可。
【解析】
我们逐个判断4种辅助线的作用：
(1) 图①中，$\because EF// AB$，$\therefore ∠ A=∠ ECA$，$∠ B=∠ FCB$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ ECA+∠ ACB+∠ FCB=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，可以证明三角形内角和为$180°$。
(2) 图②中，$\because DE// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$（两直线平行，同位角相等）；
$\because DF// AC$，$\therefore ∠ BDF=∠ A$（两直线平行，同位角相等），$∠ EDF=∠ AED=∠ C$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ ADE+∠ EDF+∠ BDF=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C=180°$，可以证明三角形内角和为$180°$。
(3) 图③中，$\because CE// AB$，$\therefore ∠ A=∠ FCE$（两直线平行，同位角相等），$∠ B=∠ BCE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ ACB+∠ BCE+∠ FCE=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，可以证明三角形内角和为$180°$。
(4) 图④中，$CD⊥ AB$仅能得到$∠ ADC=∠ CDB=90°$，只能推出直角三角形的两个锐角互余，无法将三角形三个内角转化为和为$180°$的角，不能证明三角形内角和定理。
综上，能证明的是(1)(2)(3)。
【答案】
(1)(2)(3)
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，三角形内角和证明
【点评】
本题考查三角形内角和定理的证明思路，解题关键是理解利用平行线转移角、构造平角的核心方法，需要熟练掌握平行线的性质，能准确分析辅助线构造后的角度等量关系。
【难度系数】
0.7

4.如图,点C在线段BF上,CA平分∠∠DCB,∠DAC=∠DCA,∠BAC=44°,点E在AC上,∠CBE=∠D,若∠ABE:∠ABC=1:3,则∠ABE的度数为.

4.23°

【分析】
解题思路如下：第一步，先根据角平分线定义和已知∠DAC=∠DCA，推出∠DAC=∠ACB，判定AD与BC平行，得到∠D和∠DCB互补；第二步，根据∠ABE与∠ABC的比例关系设未知数，表示出∠CBE，结合∠CBE=∠D建立未知数和∠ACB的等量关系；第三步，利用三角形内角和定理在△ABC中列方程求解即可得到∠ABE的度数。
【解析】
解：
1. 因为CA平分∠DCB，根据角平分线的定义，可得∠DCA=∠ACB。
2. 已知∠DAC=∠DCA，所以∠DAC=∠ACB，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出AD//BC，因此∠D + ∠DCB = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
3. 设∠ABE=x，由∠ABE:∠ABC=1:3，可得∠ABC=3x，所以∠CBE=∠ABC - ∠ABE=3x - x=2x。
4. 已知∠CBE=∠D，且∠DCB=2∠ACB，将其代入∠D + ∠DCB=180°，得：2x + 2∠ACB=180°，化简得∠ACB=90° - x。
5. 在△ABC中，三角形内角和为180°，已知∠BAC=44°，代入角的度数可得：
$\begin{aligned}44° + (90° - x) + 3x &= 180°\\134° + 2x &= 180°\\2x &= 46°\\x &= 23°\end{aligned}$
【答案】
23°
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规题型，核心是通过角的等量代换转移已知条件，结合方程思想求解，要求学生熟练掌握平行线性质和三角形内角和定理，具备基础的角的关系转化能力。
【难度系数】
0.65