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11.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=78°$,$BD$是$△ ABC$的角平分线,$∠ DBC=32°$.
(1)求$∠ C$的度数;
(2)求$∠ ADB$的度数.
(1)求$∠ C$的度数;
(2)求$∠ ADB$的度数.
答案
解:(1)
∵BD是△ABC的角平分线,∠DBC=32°,
∴∠ABC=2∠DBC=2×32°=64°.
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴∠C=180°−78°−64°=38°.
(2)
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠DBC=32°.
在△ABD中,∠A+∠ABD+∠ADB=180°,
∴∠ADB=180°−78°−32°=70°.
∵BD是△ABC的角平分线,∠DBC=32°,
∴∠ABC=2∠DBC=2×32°=64°.
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴∠C=180°−78°−64°=38°.
(2)
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠DBC=32°.
在△ABD中,∠A+∠ABD+∠ADB=180°,
∴∠ADB=180°−78°−32°=70°.
解析
【分析】
（1）求解∠C的度数：首先根据角平分线的定义，BD平分∠ABC，因此∠ABC是∠DBC的2倍，先算出∠ABC的度数；再结合三角形内角和为180°的性质，已知∠A的度数，用180°依次减去∠A和∠ABC的度数，即可得到∠C的度数。
（2）求解∠ADB的度数：由角平分线定义可得∠ABD=∠DBC=32°，在△ABD中，再次利用三角形内角和为180°，用180°减去∠A和∠ABD的度数，就能求出∠ADB；也可以利用三角形外角的性质，∠ADB是△BCD的外角，等于与它不相邻的两个内角∠DBC和∠C的和，代入数值计算也可得到结果。
【解析】
(1)
∵BD是△ABC的角平分线，∠DBC=32°，
∴∠ABC=2∠DBC=2×32°=64°。
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=180°−78°−64°=38°。
(2)
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=32°。
在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°−78°−32°=70°。
【答案】
(1)∠C=38°；(2)∠ADB=70°
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查角平分线的性质和三角形内角和定理的应用，解题时理清角之间的数量关系，注意角度运算的准确性即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
（1）求解∠C的度数：首先根据角平分线的定义，BD平分∠ABC，因此∠ABC是∠DBC的2倍，先算出∠ABC的度数；再结合三角形内角和为180°的性质，已知∠A的度数，用180°依次减去∠A和∠ABC的度数，即可得到∠C的度数。
（2）求解∠ADB的度数：由角平分线定义可得∠ABD=∠DBC=32°，在△ABD中，再次利用三角形内角和为180°，用180°减去∠A和∠ABD的度数，就能求出∠ADB；也可以利用三角形外角的性质，∠ADB是△BCD的外角，等于与它不相邻的两个内角∠DBC和∠C的和，代入数值计算也可得到结果。
【解析】
(1)
∵BD是△ABC的角平分线，∠DBC=32°，
∴∠ABC=2∠DBC=2×32°=64°。
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=180°−78°−64°=38°。
(2)
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=32°。
在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°−78°−32°=70°。
【答案】
(1)∠C=38°；(2)∠ADB=70°
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查角平分线的性质和三角形内角和定理的应用，解题时理清角之间的数量关系，注意角度运算的准确性即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
12.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE平分∠BAC,交BC于点E.
(1)若∠B=72°,∠C=30°,求∠DAE的度数;
(2)若∠B=∠C+40°,求∠DAE的度数;
(3)若∠B−∠C=n,用含有n的代数式表示∠DAE.(直接写出结果)
(1)若∠B=72°,∠C=30°,求∠DAE的度数;
(2)若∠B=∠C+40°,求∠DAE的度数;
(3)若∠B−∠C=n,用含有n的代数式表示∠DAE.(直接写出结果)
答案
解:(1)
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−72°−30°=78°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=1/2∠BAC=1/2×78°=39°.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°.
∴∠BAD=180°−∠ADB−∠B=180°−90°−72°=18°.
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=39°−18°=21°.
(2)
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=1/2∠BAC=1/2(180°−∠B−∠C)=90°−1/2(∠B+∠C).
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°.
∴∠BAD=180°−∠ADB−∠B=90°−∠B.
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=90°−1/2(∠B+∠C)−(90°−∠B)=1/2(∠B−∠C).
∵∠B=∠C+40°,
∴∠B−∠C=40°.
∴∠DAE=1/2×40°=20°.
(3)∠DAE=1/2 n.
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−72°−30°=78°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=1/2∠BAC=1/2×78°=39°.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°.
∴∠BAD=180°−∠ADB−∠B=180°−90°−72°=18°.
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=39°−18°=21°.
(2)
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=1/2∠BAC=1/2(180°−∠B−∠C)=90°−1/2(∠B+∠C).
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°.
∴∠BAD=180°−∠ADB−∠B=90°−∠B.
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=90°−1/2(∠B+∠C)−(90°−∠B)=1/2(∠B−∠C).
∵∠B=∠C+40°,
∴∠B−∠C=40°.
∴∠DAE=1/2×40°=20°.
(3)∠DAE=1/2 n.
解析
【分析】
本题是三角形内角和、角平分线、高的性质的综合应用类题目，解题遵循从特殊到一般的推导逻辑：
1. 明确核心数量关系：∠DAE = ∠BAE - ∠BAD，只需分别求出两个角的度数或表达式即可求解；
2. 求∠BAE：先用三角形内角和为180°求出∠BAC，再利用角平分线的性质得到∠BAE为∠BAC的一半；
3. 求∠BAD：利用AD是高可得△ABD为直角三角形，直角三角形两锐角和为90°，即可求出∠BAD；
4. 代入差式得到∠DAE的结果，前两问代入具体角度计算，第三问直接替换∠B-∠C为n即可。
【解析】
(1) 根据三角形内角和定理：
∵ 在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴ ∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−72°−30°=78°，
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE=1/2∠BAC=1/2×78°=39°，
∵ AD是BC边上的高，即AD⊥BC，
∴ ∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD=180°−∠ADB−∠B=180°−90°−72°=18°，
∴ ∠DAE=∠BAE−∠BAD=39°−18°=21°。
(2) 先推导通用表达式：
∵ ∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴ ∠BAC=180°−∠B−∠C，
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE=1/2∠BAC=1/2(180°−∠B−∠C)=90°−1/2(∠B+∠C)，
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD=180°−∠ADB−∠B=90°−∠B，
∴ ∠DAE=∠BAE−∠BAD=90°−1/2(∠B+∠C)−(90°−∠B)=1/2(∠B−∠C)，
已知∠B=∠C+40°，即∠B−∠C=40°，
代入得∠DAE=1/2×40°=20°。
(3) 由(2)推导的通用公式∠DAE=1/2(∠B−∠C)，已知∠B−∠C=n，
代入可得∠DAE=1/2 n。
【答案】
(1) $\boldsymbol{21°}$；(2) $\boldsymbol{20°}$；(3) $\boldsymbol{∠ DAE=\dfrac{1}{2}n}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题从具体角度计算到通用公式推导，层层递进，考查三角形核心性质的综合运用，解题的关键是理清各角之间的和差关系，推导得到的∠DAE等于∠B与∠C差值一半的结论，可用于快速解决同类角度计算问题。
【难度系数】
0.7
本题是三角形内角和、角平分线、高的性质的综合应用类题目，解题遵循从特殊到一般的推导逻辑：
1. 明确核心数量关系：∠DAE = ∠BAE - ∠BAD，只需分别求出两个角的度数或表达式即可求解；
2. 求∠BAE：先用三角形内角和为180°求出∠BAC，再利用角平分线的性质得到∠BAE为∠BAC的一半；
3. 求∠BAD：利用AD是高可得△ABD为直角三角形，直角三角形两锐角和为90°，即可求出∠BAD；
4. 代入差式得到∠DAE的结果，前两问代入具体角度计算，第三问直接替换∠B-∠C为n即可。
【解析】
(1) 根据三角形内角和定理：
∵ 在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴ ∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−72°−30°=78°，
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE=1/2∠BAC=1/2×78°=39°，
∵ AD是BC边上的高，即AD⊥BC，
∴ ∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD=180°−∠ADB−∠B=180°−90°−72°=18°，
∴ ∠DAE=∠BAE−∠BAD=39°−18°=21°。
(2) 先推导通用表达式：
∵ ∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴ ∠BAC=180°−∠B−∠C，
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE=1/2∠BAC=1/2(180°−∠B−∠C)=90°−1/2(∠B+∠C)，
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD=180°−∠ADB−∠B=90°−∠B，
∴ ∠DAE=∠BAE−∠BAD=90°−1/2(∠B+∠C)−(90°−∠B)=1/2(∠B−∠C)，
已知∠B=∠C+40°，即∠B−∠C=40°，
代入得∠DAE=1/2×40°=20°。
(3) 由(2)推导的通用公式∠DAE=1/2(∠B−∠C)，已知∠B−∠C=n，
代入可得∠DAE=1/2 n。
【答案】
(1) $\boldsymbol{21°}$；(2) $\boldsymbol{20°}$；(3) $\boldsymbol{∠ DAE=\dfrac{1}{2}n}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题从具体角度计算到通用公式推导，层层递进，考查三角形核心性质的综合运用，解题的关键是理清各角之间的和差关系，推导得到的∠DAE等于∠B与∠C差值一半的结论，可用于快速解决同类角度计算问题。
【难度系数】
0.7
