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4.已知一个三角形的两条边长分别是1 cm和2 cm，一个内角为$40°$.
(1)请你借助下面所给的图①画出一个满足题设条件的三角形.
(2)你是否还能画出既满足题设条件，又与(1)中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在所给图②上作出一个这样的三角形；若不能，请你说明理由.
(提示:请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，不要求写作法，但要保留作图痕迹)
(1)请你借助下面所给的图①画出一个满足题设条件的三角形.
(2)你是否还能画出既满足题设条件，又与(1)中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在所给图②上作出一个这样的三角形；若不能，请你说明理由.
(提示:请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，不要求写作法，但要保留作图痕迹)
答案
4.解:(1)如图①所示.
(2)如图②所示.
解析
【分析】
(1) 我们可借助SAS的思路构造三角形：先固定已知的40°角，在角的两条边上分别截取1cm、2cm长的线段，连接两条线段的另一端点，即可得到符合题设的三角形，此时40°角为两条已知边的夹角。
(2) 结合三角形全等的判定条件可知，SSA不能判定两个三角形全等，因此我们可以构造40°角不是已知两边夹角的三角形：固定40°角，在角的其中一条边上截取1cm长的线段，以该线段远离角顶点的端点为圆心、2cm为半径画弧，弧与角的另一条边会交于一点，连接该点与1cm线段的端点，所得三角形同样满足题设条件，但和(1)中的三角形不全等。
【解析】
(1) 在图①的40°角的水平边上截取长度为1cm的线段，斜边上截取长度为2cm的线段，连接两个截点，标注好对应的边长和角度，即为所求三角形。
(2) 能画出不全等的三角形。在图②的40°角的水平边上截取长度为1cm的线段，记角的顶点为A，该线段的另一个端点为B；以点B为圆心、2cm长为半径画弧，弧与40°角的斜边交于点C，连接BC，所得△ABC中AB=1cm，BC=2cm，∠A=40°，该三角形与(1)中三角形不全等。
【答案】
(1)如图①所示.
(2)如图②所示.
【知识点】
尺规作图、三角形全等的判定、全等三角形的概念
【点评】
本题将动手作图和全等判定的知识点相结合，通过构造两种符合条件但不全等的三角形，直观体现了“SSA”不能作为三角形全等判定依据的特点，既锻炼了学生的作图实践能力，也加深了学生对三角形全等判定条件的理解。
【难度系数】
0.7
(1) 我们可借助SAS的思路构造三角形：先固定已知的40°角，在角的两条边上分别截取1cm、2cm长的线段，连接两条线段的另一端点，即可得到符合题设的三角形，此时40°角为两条已知边的夹角。
(2) 结合三角形全等的判定条件可知，SSA不能判定两个三角形全等，因此我们可以构造40°角不是已知两边夹角的三角形：固定40°角，在角的其中一条边上截取1cm长的线段，以该线段远离角顶点的端点为圆心、2cm为半径画弧，弧与角的另一条边会交于一点，连接该点与1cm线段的端点，所得三角形同样满足题设条件，但和(1)中的三角形不全等。
【解析】
(1) 在图①的40°角的水平边上截取长度为1cm的线段，斜边上截取长度为2cm的线段，连接两个截点，标注好对应的边长和角度，即为所求三角形。
(2) 能画出不全等的三角形。在图②的40°角的水平边上截取长度为1cm的线段，记角的顶点为A，该线段的另一个端点为B；以点B为圆心、2cm长为半径画弧，弧与40°角的斜边交于点C，连接BC，所得△ABC中AB=1cm，BC=2cm，∠A=40°，该三角形与(1)中三角形不全等。
【答案】
(1)如图①所示.
(2)如图②所示.
【知识点】
尺规作图、三角形全等的判定、全等三角形的概念
【点评】
本题将动手作图和全等判定的知识点相结合，通过构造两种符合条件但不全等的三角形，直观体现了“SSA”不能作为三角形全等判定依据的特点，既锻炼了学生的作图实践能力，也加深了学生对三角形全等判定条件的理解。
【难度系数】
0.7
5.如图,在△AFD和△CEB中,点A,E,F,C在同一条直线上,有下面四个论断:①AD=CB;②AE=CF;③∠B=∠D;④AD//BC.
请用其中三个作为条件,余下一个作为结论,编一道数学问题,并写出解答过程.
请用其中三个作为条件,余下一个作为结论,编一道数学问题,并写出解答过程.
答案
5.解:(答案不唯一)已知$AD=CB,∠ B=∠ D$,$AD// BC$.
求证$AE=CF$.
证明:$\because AD// BC,\therefore∠ A=∠ C$.
在$△ ADF$和$△ CBE$中,$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\AD=CB,\\∠ D=∠ B,\end{cases}$
$\therefore△ ADF≌△ CBE(\mathrm{ASA})$.
$\therefore AF=CE$.
$\therefore AF-EF=CE-EF$,即$AE=CF$.
求证$AE=CF$.
证明:$\because AD// BC,\therefore∠ A=∠ C$.
在$△ ADF$和$△ CBE$中,$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\AD=CB,\\∠ D=∠ B,\end{cases}$
$\therefore△ ADF≌△ CBE(\mathrm{ASA})$.
$\therefore AF=CE$.
$\therefore AF-EF=CE-EF$,即$AE=CF$.
解析
【分析】
本题属于开放类几何题，可先选取3个论断作为已知条件，剩余1个作为待证结论。我们以选①③④作为条件、求证②为例梳理思路：首先由AD//BC可利用平行线的内错角相等性质得到∠A=∠C，结合已知的AD=CB、∠D=∠B，刚好满足ASA的全等三角形判定条件，可证△ADF与△CBE全等，再根据全等三角形对应边相等得到AF=CE，最后利用线段的和差关系，两边同时减去公共线段EF，即可推导出AE=CF。
【解析】
(答案不唯一)已知$AD=CB,∠ B=∠ D$,$AD// BC$，求证$AE=CF$。
证明：$\because AD// BC$，
$\therefore∠ A=∠ C$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ADF$和$△ CBE$中,
$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\AD=CB,\\∠ D=∠ B,\end{cases}$
$\therefore△ ADF≌△ CBE(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AF=CE$（全等三角形对应边相等）。
$\therefore AF-EF=CE-EF$，即$AE=CF$。
【答案】
(答案不唯一)已知$AD=CB,∠ B=∠ D$,$AD// BC$，求证$AE=CF$，证明过程如下：
$\because AD// BC,\therefore∠ A=∠ C$。
在$△ ADF$和$△ CBE$中,$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\AD=CB,\\∠ D=∠ B,\end{cases}$
$\therefore△ ADF≌△ CBE(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AF=CE$。
$\therefore AF-EF=CE-EF$,即$AE=CF$。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是开放性几何题，需要灵活组合条件推导结论，核心考查全等三角形判定与性质的应用，解题时要注意挖掘图形中的隐含关系（如本题的公共线段EF），有助于提升逻辑推理和条件组合分析的能力。
【难度系数】
0.7
本题属于开放类几何题，可先选取3个论断作为已知条件，剩余1个作为待证结论。我们以选①③④作为条件、求证②为例梳理思路：首先由AD//BC可利用平行线的内错角相等性质得到∠A=∠C，结合已知的AD=CB、∠D=∠B，刚好满足ASA的全等三角形判定条件，可证△ADF与△CBE全等，再根据全等三角形对应边相等得到AF=CE，最后利用线段的和差关系，两边同时减去公共线段EF，即可推导出AE=CF。
【解析】
(答案不唯一)已知$AD=CB,∠ B=∠ D$,$AD// BC$，求证$AE=CF$。
证明：$\because AD// BC$，
$\therefore∠ A=∠ C$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ADF$和$△ CBE$中,
$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\AD=CB,\\∠ D=∠ B,\end{cases}$
$\therefore△ ADF≌△ CBE(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AF=CE$（全等三角形对应边相等）。
$\therefore AF-EF=CE-EF$，即$AE=CF$。
【答案】
(答案不唯一)已知$AD=CB,∠ B=∠ D$,$AD// BC$，求证$AE=CF$，证明过程如下：
$\because AD// BC,\therefore∠ A=∠ C$。
在$△ ADF$和$△ CBE$中,$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\AD=CB,\\∠ D=∠ B,\end{cases}$
$\therefore△ ADF≌△ CBE(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AF=CE$。
$\therefore AF-EF=CE-EF$,即$AE=CF$。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是开放性几何题，需要灵活组合条件推导结论，核心考查全等三角形判定与性质的应用，解题时要注意挖掘图形中的隐含关系（如本题的公共线段EF），有助于提升逻辑推理和条件组合分析的能力。
【难度系数】
0.7
