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12.(2024,盐城,21)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,AE//BF,AE=BF.若,则AB=CD.
请从①CE//DF;②CE=DF;③∠E=∠F这三个选项中选择一个作为条件(填序号),使结论成立,并说明理由.
请从①CE//DF;②CE=DF;③∠E=∠F这三个选项中选择一个作为条件(填序号),使结论成立,并说明理由.
答案
12.解:选择①.理由如下：
$\because AE// BF,$
$\therefore ∠A=∠FBD.$
$\because CE// DF,$
$\therefore ∠ACE=∠D.$
在$△ AEC$和$△ BFD$中,$\begin{cases}∠ACE=∠D,\\∠A=∠FBD,\\AE=BF,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌ △ BFD(\mathrm{AAS}).$
$\therefore AC=BD.$
$\therefore AC-BC=BD-BC.$
$\therefore AB=CD.$
选择③.理由如下：
$\because AE// BF,\therefore ∠A=∠FBD.$
在$△ AEC$和$△ BFD$中,$\begin{cases}∠A=∠FBD,\\AE=BF,\\∠E=∠F,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌ △ BFD(\mathrm{ASA}).$
$\therefore AC=BD.$
$\therefore AC-BC=BD-BC.$
$\therefore AB=CD.$
$\because AE// BF,$
$\therefore ∠A=∠FBD.$
$\because CE// DF,$
$\therefore ∠ACE=∠D.$
在$△ AEC$和$△ BFD$中,$\begin{cases}∠ACE=∠D,\\∠A=∠FBD,\\AE=BF,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌ △ BFD(\mathrm{AAS}).$
$\therefore AC=BD.$
$\therefore AC-BC=BD-BC.$
$\therefore AB=CD.$
选择③.理由如下：
$\because AE// BF,\therefore ∠A=∠FBD.$
在$△ AEC$和$△ BFD$中,$\begin{cases}∠A=∠FBD,\\AE=BF,\\∠E=∠F,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌ △ BFD(\mathrm{ASA}).$
$\therefore AC=BD.$
$\therefore AC-BC=BD-BC.$
$\therefore AB=CD.$
解析
【分析】
要证明AB=CD，观察点A、B、C、D在同一直线上，可得AB=AC-BC，CD=BD-BC，因此只需证明AC=BD即可。AC和BD分别是△AEC和△BFD的边，因此问题转化为证明△AEC≌△BFD。已知AE//BF，可推出∠A=∠FBD，又已知AE=BF，只需补充合适的条件满足全等判定定理即可：若选①CE//DF，可得∠ACE=∠D，可通过AAS判定两三角形全等；若选③∠E=∠F，可通过ASA判定两三角形全等；若选②CE=DF，属于SSA，无法判定三角形全等，因此可选①或③作为补充条件。
【解析】
选择①时，理由如下：
$\because AE// BF,$
$\therefore ∠A=∠FBD$（两直线平行，同位角相等）。
$\because CE// DF,$
$\therefore ∠ACE=∠D$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ AEC$和$△ BFD$中,
$\begin{cases}∠ACE=∠D,\\∠A=∠FBD,\\AE=BF,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BFD(\mathrm{AAS})$。
$\therefore AC=BD$（全等三角形对应边相等）。
$\therefore AC-BC=BD-BC$，即$AB=CD$。
选择③时，理由如下：
$\because AE// BF,\therefore ∠A=∠FBD$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ AEC$和$△ BFD$中,
$\begin{cases}∠A=∠FBD,\\AE=BF,\\∠E=∠F,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BFD(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AC=BD$（全等三角形对应边相等）。
$\therefore AC-BC=BD-BC$，即$AB=CD$。
【答案】
①（或③），理由见解析。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是条件开放型题目，核心是通过证明三角形全等得到边的等量关系，解题时要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，需结合已知条件选择符合全等判定定理的条件，注重对基础定理的理解和应用。
【难度系数】
0.7
要证明AB=CD，观察点A、B、C、D在同一直线上，可得AB=AC-BC，CD=BD-BC，因此只需证明AC=BD即可。AC和BD分别是△AEC和△BFD的边，因此问题转化为证明△AEC≌△BFD。已知AE//BF，可推出∠A=∠FBD，又已知AE=BF，只需补充合适的条件满足全等判定定理即可：若选①CE//DF，可得∠ACE=∠D，可通过AAS判定两三角形全等；若选③∠E=∠F，可通过ASA判定两三角形全等；若选②CE=DF，属于SSA，无法判定三角形全等，因此可选①或③作为补充条件。
【解析】
选择①时，理由如下：
$\because AE// BF,$
$\therefore ∠A=∠FBD$（两直线平行，同位角相等）。
$\because CE// DF,$
$\therefore ∠ACE=∠D$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ AEC$和$△ BFD$中,
$\begin{cases}∠ACE=∠D,\\∠A=∠FBD,\\AE=BF,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BFD(\mathrm{AAS})$。
$\therefore AC=BD$（全等三角形对应边相等）。
$\therefore AC-BC=BD-BC$，即$AB=CD$。
选择③时，理由如下：
$\because AE// BF,\therefore ∠A=∠FBD$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ AEC$和$△ BFD$中,
$\begin{cases}∠A=∠FBD,\\AE=BF,\\∠E=∠F,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BFD(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AC=BD$（全等三角形对应边相等）。
$\therefore AC-BC=BD-BC$，即$AB=CD$。
【答案】
①（或③），理由见解析。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是条件开放型题目，核心是通过证明三角形全等得到边的等量关系，解题时要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，需结合已知条件选择符合全等判定定理的条件，注重对基础定理的理解和应用。
【难度系数】
0.7
1.如图,已知点E在△ABC的外部,点D在BC边上,DE交AC于点F.若∠1=∠2=∠3,AC=AE,则有(
A.△ABD≌△AFD
B.△AFE≌△ADC
C.△AEF≌△DFC
D.△ABC≌△ADE
(第1题) (第2题)
D
).A.△ABD≌△AFD
B.△AFE≌△ADC
C.△AEF≌△DFC
D.△ABC≌△ADE
(第1题) (第2题)
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先从已知的等角条件入手推导全等所需的对应角相等：首先由∠1=∠2，两角同时加公共角∠DAC可得一组对应角相等；再结合∠2=∠3和对顶角相等，利用三角形内角和推出另一组对应角相等，最后结合已知等边，用全等判定定理验证选项即可。
【解析】
1. 推导∠BAC=∠DAE：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即$∠ BAC=∠ DAE$。
2. 推导∠E=∠C：
在△AFE和△DFC中，∠2=∠3，且$∠ AFE=∠ DFC$（对顶角相等），
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ E=180°-∠2-∠ AFE$，$∠ C=180°-∠3-∠ DFC$，
∴$∠ E=∠ C$。
3. 判定全等三角形：
在△ABC和△ADE中：
$\begin{cases}∠ BAC=∠ DAE \\AC=AE \\∠ C=∠ E\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ ADE$（ASA），D选项符合，其余选项均无足够全等判定条件，排除。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等判定，三角形内角和，对顶角性质
【点评】
本题核心考查全等三角形的判定，解题关键是通过角的和差、三角形内角和性质推导全等所需的对应角相等，需要熟练掌握全等判定定理，灵活结合角的性质转化条件。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等角条件入手推导全等所需的对应角相等：首先由∠1=∠2，两角同时加公共角∠DAC可得一组对应角相等；再结合∠2=∠3和对顶角相等，利用三角形内角和推出另一组对应角相等，最后结合已知等边，用全等判定定理验证选项即可。
【解析】
1. 推导∠BAC=∠DAE：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即$∠ BAC=∠ DAE$。
2. 推导∠E=∠C：
在△AFE和△DFC中，∠2=∠3，且$∠ AFE=∠ DFC$（对顶角相等），
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ E=180°-∠2-∠ AFE$，$∠ C=180°-∠3-∠ DFC$，
∴$∠ E=∠ C$。
3. 判定全等三角形：
在△ABC和△ADE中：
$\begin{cases}∠ BAC=∠ DAE \\AC=AE \\∠ C=∠ E\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ ADE$（ASA），D选项符合，其余选项均无足够全等判定条件，排除。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等判定，三角形内角和，对顶角性质
【点评】
本题核心考查全等三角形的判定，解题关键是通过角的和差、三角形内角和性质推导全等所需的对应角相等，需要熟练掌握全等判定定理，灵活结合角的性质转化条件。
【难度系数】
0.7
2.如图，$AB⊥ CD$，$CE⊥ AF$，$BF⊥ ED$. 若$AB=CD$，$CE=8$，$BF=6$，$AD=10$，则$EF$的长为(
A.4
B.3.5
C.3
D.2.5
A
).A.4
B.3.5
C.3
D.2.5
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手：一是由AB⊥CD和CE⊥AD可推出∠A和∠D都是∠C的余角，利用同角的余角相等得到∠A=∠D；二是CE⊥AF、BF⊥ED可得两个直角相等，结合已知AB=CD，可通过AAS证明△ABF和△DCE全等，得到对应边AF=CE、DE=BF；最后观察线段和差关系，AF+DE的和等于AD与EF的和，代入数值即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB=∠DEC=90°，
∴∠C+∠D=90°，
又
∵AB⊥CD，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠D（同角的余角相等）。
在△ABF和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}∠AFB=∠DEC \\∠A=∠D \\AB=CD\end{array} $
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AF=CE=8，DE=BF=6。
∵AF + DE = (AE + EF) + (EF + FD) = AE + EF + FD + EF = AD + EF，
∴EF = AF + DE - AD，
代入数值：EF = 8 + 6 - 10 = 4。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形应用的常规题型，解题核心是通过垂直关系推导等角，证明三角形全等得到对应边的长度，再结合线段的和差关系求解，能有效训练几何逻辑推理能力和图形观察能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直条件入手：一是由AB⊥CD和CE⊥AD可推出∠A和∠D都是∠C的余角，利用同角的余角相等得到∠A=∠D；二是CE⊥AF、BF⊥ED可得两个直角相等，结合已知AB=CD，可通过AAS证明△ABF和△DCE全等，得到对应边AF=CE、DE=BF；最后观察线段和差关系，AF+DE的和等于AD与EF的和，代入数值即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB=∠DEC=90°，
∴∠C+∠D=90°，
又
∵AB⊥CD，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠D（同角的余角相等）。
在△ABF和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}∠AFB=∠DEC \\∠A=∠D \\AB=CD\end{array} $
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AF=CE=8，DE=BF=6。
∵AF + DE = (AE + EF) + (EF + FD) = AE + EF + FD + EF = AD + EF，
∴EF = AF + DE - AD，
代入数值：EF = 8 + 6 - 10 = 4。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形应用的常规题型，解题核心是通过垂直关系推导等角，证明三角形全等得到对应边的长度，再结合线段的和差关系求解，能有效训练几何逻辑推理能力和图形观察能力。
【难度系数】
0.7
