3.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H.已知EH=EB=5,CH=2,则AE的长为.

3.7

【分析】
首先从已知的垂直条件出发推导相等的角：AD⊥BC、CE⊥AB，可得多个直角，根据同角的余角相等，可推出∠EAH=∠ECB；结合已知EH=EB，即可用AAS证明△AEH和△CEB全等，全等三角形对应边相等，可知AE=CE，再根据已知的EH、CH长度求出CE的长，就能得到AE的长度。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEH=∠CEB=∠ADB=90°，
∴∠EAH + ∠B = 90°，∠ECB + ∠B = 90°，
∴∠EAH = ∠ECB（同角的余角相等）。
在△AEH和△CEB中：
$\{\begin{array}{l}∠EAH=∠ECB \\∠AEH=∠CEB \\EH=EB\end{array} $
∴△AEH≌△CEB（AAS），
∴AE=CE。
∵CE=EH + CH=5 + 2=7，
∴AE=7。
【答案】
7
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题是三角形全等应用的典型题目，解题核心是通过垂直关系推导等角，找到全等三角形，再利用全等的性质转化线段求解，对逻辑推导能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.7

4.如图,在$△ ACD$中,$∠ CAD=90°$,$AC=4$,$AD=6$,$AB// CD$,$E$是$CD$上一点,$BE$交$AD$于点$F$.若$AB=DE$,则图中阴影部分的面积为.

4.12
【提示】$\because AB// CD,$
$\therefore ∠B=∠FED,∠FAB=∠D.$
又$AB=DE$,可证$△ ABF≌ △ DEF(\mathrm{ASA}),$
$\therefore S_{△ ABF}=S_{△ DEF}.$
$\because ∠CAD=90°,AC=4,AD=6,$
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{四边形}ACEF}+S_{△ ABF}=S_{\mathrm{四边形}ACEF}+S_{△ DEF}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×4×6=12.$

【分析】
解题时先梳理已知条件：首先由AB//CD可得到两组内错角相等，结合给出的AB=DE，可尝试证明△ABF和△DEF全等；全等后两个三角形面积相等，就能将阴影部分的面积进行等量转化，把不规则的阴影面积转化为直角三角形ACD的面积，最后用直角三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ $AB// CD$，
∴ $∠B=∠FED$，$∠FAB=∠D$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABF$和$△ DEF$中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠FED \\AB=DE \\∠FAB=∠D\end{array} $
∴ $△ ABF≌△ DEF(\mathrm{ASA})$，
∴ $S_{△ ABF}=S_{△ DEF}$。
∵ $∠CAD=90°$，$AC=4$，$AD=6$，
∴ 阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{四边形}ACEF}+S_{△ ABF}=S_{\mathrm{四边形}ACEF}+S_{△ DEF}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× AD=\frac{1}{2}×4×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用全等三角形实现面积的等量代换，将不规则的阴影面积转化为易求的规则图形面积，是全等三角形在面积计算中的典型应用，掌握全等判定方法和转化思想是解题的关键。
【难度系数】
0.7

5.两块大小相同的含$30°$角的直角三角尺，按图①所示位置摆放，由此抽象出的几何图形如图②所示，两条相等的直角边$AC$，$C_1A_1$在同一条直线上.
(1)图中有多少对全等三角形？将它们写出来.
(2)选出其中一对全等三角形进行证明($△ ABC ≌ △ A_1B_1C_1$除外).

5.解:(1)图中共有3对全等三角形,分别是$△ ABC≌ △ A_1B_1C_1,△ B_1EO≌ △ BFO,△ AC_1E≌ △ A_1CF.$
(2)以$△ AC_1E≌ △ A_1CF$为例：
$\because AC=A_1C_1,$
$\therefore AC-C_1C=A_1C_1-C_1C.$
$\therefore AC_1=A_1C.$
$\because ∠A=∠A_1=30°,∠AC_1E=∠A_1CF=90°,$
$\therefore △ AC_1E≌ △ A_1CF(\mathrm{ASA}).$

【分析】
(1) 找全等三角形的思路：首先两块大小相同的含30°角的直角三角尺本身全等，即$△ ABC≌ △ A_1B_1C_1$；其次观察线段关系，$AC=A_1C_1$，减去公共线段$C_1C$可得$AC_1=A_1C$，结合$∠ A=∠ A_1$、$∠ AC_1E=∠ A_1CF=90°$，可判定$△ AC_1E≌ △ A_1CF$；最后由前两组全等可得$B_1E=BF$，结合对顶角相等、$∠ B_1=∠ B=60°$，可判定$△ B_1EO≌ △ BFO$，共3对全等三角形。
(2) 证明全等的思路：以$△ AC_1E≌ △ A_1CF$为例，先利用等式性质推导对应边相等，再结合两组对应角相等，即可用ASA判定定理完成证明。
【解析】
(1) 逐一识别全等三角形：
首先两块三角尺完全相同，故$△ ABC≌ △ A_1B_1C_1$；
由$AC=A_1C_1$，得$AC-C_1C=A_1C_1-C_1C$，即$AC_1=A_1C$，又$∠ A=∠ A_1=30°$，$∠ AC_1E=∠ A_1CF=90°$，故$△ AC_1E≌ △ A_1CF$；
由$△ AC_1E≌ △ A_1CF$得$EC_1=FC$，结合$B_1C_1=BC$，得$B_1E=BF$，又$∠ B_1=∠ B=60°$，$∠ B_1OE=∠ BOF$，故$△ B_1EO≌ △ BFO$。
因此共有3对全等三角形。
(2) 以证明$△ AC_1E≌ △ A_1CF$为例：
$\because$ 两块三角尺大小相同，$\therefore AC=A_1C_1$，
$\therefore AC-C_1C=A_1C_1-C_1C$，即$AC_1=A_1C$，
又$\because ∠A=∠A_1=30°,∠AC_1E=∠A_1CF=90°$，
在$△ AC_1E$和$△ A_1CF$中：
$\begin{cases}∠A=∠A_1 \\AC_1=A_1C \\∠AC_1E=∠A_1CF\end{cases}$
$\therefore △ AC_1E≌ △ A_1CF(\mathrm{ASA})$。
【答案】
(1) 图中共有3对全等三角形,分别是$△ ABC≌ △ A_1B_1C_1,△ B_1EO≌ △ BFO,△ AC_1E≌ △ A_1CF.$
(2) 以$△ AC_1E≌ △ A_1CF$为例：
$\because AC=A_1C_1,$
$\therefore AC-C_1C=A_1C_1-C_1C.$
$\therefore AC_1=A_1C.$
$\because ∠A=∠A_1=30°,∠AC_1E=∠A_1CF=90°,$
$\therefore △ AC_1E≌ △ A_1CF(\mathrm{ASA}).$
【知识点】
全等三角形的判定、等式的性质、直角的性质
【点评】
本题以常见的三角尺摆放为背景，考查全等三角形的识别与证明，需要学生结合图形挖掘隐含的等边、等角条件，能有效锻炼学生的图形观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7