4. 如图,在四边形ABCD中,各个顶点的坐标分别是$(-2,8),(-11,6),(-14,0),(0,0)$.
(1) 求四边形ABCD的面积.
(2) 如果各个顶点的纵坐标保持不变,横坐标增加2,所得的四边形面积是多少?
(3) 你有什么发现?

解：
(1) 过点A作$AE ⊥ x$轴，垂足为E，过点B作$BF ⊥ x$轴，垂足为F。
由各顶点坐标可得：
$CF = |-11 - (-14)| = 3$，$BF = 6$，
$EF = |-2 - (-11)| = 9$，$AE = 8$，
$ED = |0 - (-2)| = 2$。
四边形ABCD的面积为：
$\begin{aligned}S_{ABCD}&=S_{△ BCF}+S_{\mathrm{梯形}ABFE}+S_{△ AED}\\&=\frac{1}{2} × 3 × 6 + \frac{1}{2} × (6+8) × 9 + \frac{1}{2} × 2 × 8\\&=9 + 63 + 8\\&=80\end{aligned}$
(2) 各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，相当于将四边形ABCD沿x轴向右平移2个单位，平移不改变图形的形状和大小，因此所得四边形的面积为80。
(3) 发现：将图形沿x轴方向平移，图形的面积保持不变，平移变换不改变图形的形状与大小。

【分析】
(1) 四边形ABCD是不规则图形，计算面积可采用割补法：过A、B两点向x轴作垂线，将四边形分割为两个直角三角形和一个梯形，分别计算各规则图形的面积再求和即可得到四边形的总面积。
(2) 横坐标增加2、纵坐标不变，对应的图形变换是沿x轴向右平移2个单位，根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小，因此平移后的四边形面积和原面积相等。
(3) 结合前两问的计算结果，总结坐标平移和图形面积之间的规律即可。
【解析】
(1) 过点A作$AE ⊥ x$轴，垂足为E，过点B作$BF ⊥ x$轴，垂足为F。
由各顶点坐标可得：
$CF = |-11 - (-14)| = 3$，$BF = 6$，
$EF = |-2 - (-11)| = 9$，$AE = 8$，
$ED = |0 - (-2)| = 2$。
四边形ABCD的面积为：
$\begin{aligned}S_{ABCD}&=S_{△ BCF}+S_{\mathrm{梯形}ABFE}+S_{△ AED}\\&=\frac{1}{2} × 3 × 6 + \frac{1}{2} × (6+8) × 9 + \frac{1}{2} × 2 × 8\\&=9 + 63 + 8\\&=80\end{aligned}$
(2) 各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，相当于将四边形ABCD沿x轴向右平移2个单位，平移不改变图形的形状和大小，因此所得四边形的面积为80。
(3) 发现：将图形沿x轴方向平移，图形的面积保持不变，平移变换不改变图形的形状与大小。
【答案】
(1) $\boxed{80}$；(2) $\boxed{80}$；(3) 将图形沿x轴方向平移，图形的面积保持不变，平移不改变图形的形状和大小。
【知识点】
割补法求面积，坐标与平移，平移的性质
【点评】
本题考查坐标平面内不规则图形的面积计算和平移的性质，解题关键是掌握割补法的应用，能把不规则图形转化为规则图形计算面积，同时理解坐标变化对应的平移规律，熟记平移的基本性质。
【难度系数】
0.7

5. 在平面直角坐标系中，对于点$P(a,b)$和$Q(c,d)$，给出如下的定义：点$P(a,b),Q(c,d)$的横坐标差的绝对值和它们的纵坐标差的绝对值中较小的一个(若它们相等，则取其中任意一个)称为$P,Q$两点的“近距”，记为$d(P,Q)$.即：若$|a−c|≤|b−d|$，则$d(P,Q)=|a−c|$；若$|a−c|＞|b−d|$，则$d(P,Q)=|b−d|$.
(1) 请你直接写出$A(−3,0),B(−1,4)$的“近距”$d(A,B)=$.
(2) 在条件(1)下，将线段$AB$向右平移4个单位长度至线段$CD$，其中点$A,B$分别对应点$C,D$.若在坐标轴上存在点$E$，使$d(D,E)=\sqrt{2}$，请求出点$E$的坐标.

解：
(1) 对于$A(-3,0)$，$B(-1,4)$，
$|-3 - (-1)|=2$，$|0-4|=4$，
因为$2＜4$，所以$d(A,B)=2$。
(2) 线段$AB$向右平移4个单位长度，点$B(-1,4)$平移后得到点$D$，
则$D$的坐标为$(-1+4,4)$，即$D(3,4)$。
分两种情况讨论点$E$的位置：
① 当点$E$在$x$轴上时，设$E(x,0)$，
横坐标差的绝对值为$|x-3|$，纵坐标差的绝对值为$|4-0|=4$。
若$|x-3|≤4$，则$d(D,E)=|x-3|=\sqrt{2}$，
解得$x=3+\sqrt{2}$或$x=3-\sqrt{2}$，均满足$|x-3|≤4$；
若$|x-3|＞4$，则$d(D,E)=4≠\sqrt{2}$，不符合要求。
此时$E$的坐标为$(3+\sqrt{2},0)$，$(3-\sqrt{2},0)$。
② 当点$E$在$y$轴上时，设$E(0,y)$，
横坐标差的绝对值为$|0-3|=3$，纵坐标差的绝对值为$|y-4|$。
若$3＞|y-4|$，则$d(D,E)=|y-4|=\sqrt{2}$，
解得$y=4+\sqrt{2}$或$y=4-\sqrt{2}$，均满足$3＞|y-4|$；
若$3≤|y-4|$，则$d(D,E)=3≠\sqrt{2}$，不符合要求。
此时$E$的坐标为$(0,4+\sqrt{2})$，$(0,4-\sqrt{2})$。
综上，点$E$的坐标为$(3+\sqrt{2},0)$、$(3-\sqrt{2},0)$、$(0,4+\sqrt{2})$、$(0,4-\sqrt{2})$。

【分析】
(1) 首先明确“近距”的计算规则：分别计算两点横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值，取较小值作为两点的近距。先算A(-3,0)和B(-1,4)的横、纵坐标差的绝对值，比较大小后即可得到结果。
(2) 先根据平移“右加左减，纵坐标不变”的规律，算出点B平移后对应点D的坐标。由于点E在坐标轴上，分E在x轴、E在y轴两种情况讨论：每种情况先设出E的坐标，再分别计算D、E横、纵坐标差的绝对值，结合$d(D,E)=\sqrt{2}$的条件列方程求解，排除不符合要求的解，即可得到所有符合条件的E点坐标。
【解析】
(1) 对于点$A(-3,0)$，$B(-1,4)$，
横坐标差的绝对值：$|-3 - (-1)|=2$，
纵坐标差的绝对值：$|0-4|=4$，
∵$2＜4$，
∴$d(A,B)=2$。
(2)
∵线段AB向右平移4个单位长度得到线段CD，点$B(-1,4)$对应点D，
∴点D的横坐标为$-1+4=3$，纵坐标不变为4，即$D(3,4)$。
分两种情况讨论点E的位置：
① 当点E在x轴上时，设$E(x,0)$，
横坐标差的绝对值为$|x-3|$，纵坐标差的绝对值为$|4-0|=4$：
若$|x-3|≤4$，则$d(D,E)=|x-3|=\sqrt{2}$，解得$x=3+\sqrt{2}$或$x=3-\sqrt{2}$，均满足$|x-3|≤4$，符合要求；
若$|x-3|＞4$，则$d(D,E)=4≠\sqrt{2}$，不符合要求，舍去。
此时E的坐标为$(3+\sqrt{2},0)$，$(3-\sqrt{2},0)$。
② 当点E在y轴上时，设$E(0,y)$，
横坐标差的绝对值为$|0-3|=3$，纵坐标差的绝对值为$|y-4|$：
若$3＞|y-4|$，则$d(D,E)=|y-4|=\sqrt{2}$，解得$y=4+\sqrt{2}$或$y=4-\sqrt{2}$，均满足$3＞|y-4|$，符合要求；
若$3≤|y-4|$，则$d(D,E)=3≠\sqrt{2}$，不符合要求，舍去。
此时E的坐标为$(0,4+\sqrt{2})$，$(0,4-\sqrt{2})$。
综上，点E的坐标为$(3+\sqrt{2},0)$、$(3-\sqrt{2},0)$、$(0,4+\sqrt{2})$、$(0,4-\sqrt{2})$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $\boxed{(3+\sqrt{2},0)}$、$\boxed{(3-\sqrt{2},0)}$、$\boxed{(0,4+\sqrt{2})}$、$\boxed{(0,4-\sqrt{2})}$
【知识点】
新定义运算，坐标平移，绝对值方程
【点评】
本题结合新定义考查坐标平移的性质与分类讨论思想，解题的关键是准确理解“近距”的计算规则，分类讨论时要做到不重不漏，既考查了对新定义的理解应用能力，也能锻炼学生分类讨论的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7