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1.（重庆中考）若$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为$3:2$，则对应高的比为（
A.$3:2$
B.$3:5$
C.$9:4$
D.$4:9$
A
）A.$3:2$
B.$3:5$
C.$9:4$
D.$4:9$
答案
A 解析:
∵ $△ ABC∽△ DEF$,相似比为$3:2$,$\therefore$ 对应高的比为$3:2$.故选 A.
∵ $△ ABC∽△ DEF$,相似比为$3:2$,$\therefore$ 对应高的比为$3:2$.故选 A.
2. 若两个相似三角形对应高之比是$9:16$,则它们的对应角平分线之比为 （
A.$9:16$
B.$16:9$
C.$3:4$
D.$4:3$
A
）A.$9:16$
B.$16:9$
C.$3:4$
D.$4:3$
答案
A 解析:
∵ 两个相似三角形对应高之比是$9:16$,$\therefore$ 它们的相似比为$9:16$,$\therefore$ 它们的对应角平分线之比为$9:16$.故选 A.
∵ 两个相似三角形对应高之比是$9:16$,$\therefore$ 它们的相似比为$9:16$,$\therefore$ 它们的对应角平分线之比为$9:16$.故选 A.
3. 如图,A,B,C,P,Q及甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点,如果$△ RPQ ∽ △ ABC$,那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的 (
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
B
)A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
B 解析:观察题图可知,$△ ABC$中$BC$边上的高将$BC$分成$1:2$的两部分,则$△ RPQ$中$PQ$边上的高也应将$PQ$分成$1:2$的两部分,故排除甲、丙. $\because △ RPQ ∽ △ ABC$,$\therefore \frac{△ RPQ 的高}{△ ABC 的高}=\frac{PQ}{BC}$,即$\frac{△ RPQ 的高}{3}=\frac{6}{3}$,$\therefore △ RPQ$的高为6,故排除丁.故点$R$应是甲、乙、丙、丁四点中的乙.故选 B.
4. 顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形对应高的比是
1:2
.答案
1:2 解析:
∵ 顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形相似,且相似三角形对应高的比等于相似比.又
∵ 顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形的三边的长等于原三角形对应边的一半,$\therefore$ 顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形对应高的比是$1:2$.
∵ 顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形相似,且相似三角形对应高的比等于相似比.又
∵ 顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形的三边的长等于原三角形对应边的一半,$\therefore$ 顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形对应高的比是$1:2$.
5. 两个相似三角形一组对应高的长分别是2 cm和5 cm,若在这两个三角形的一组对应中线中,较短的中线是3 cm,那么较长的中线是
7.5
cm.答案
7.5 解析:
∵ 两个相似三角形一组对应高的长分别是2 cm和5 cm,$\therefore$ 两个相似三角形的相似比为$2:5$,$\therefore$ 两个相似三角形对应中线的比为$2:5$.设较长的中线是$x$ cm,则$\frac{3}{x}=\frac{2}{5}$,$\therefore x=7.5$.故答案为7.5.
∵ 两个相似三角形一组对应高的长分别是2 cm和5 cm,$\therefore$ 两个相似三角形的相似比为$2:5$,$\therefore$ 两个相似三角形对应中线的比为$2:5$.设较长的中线是$x$ cm,则$\frac{3}{x}=\frac{2}{5}$,$\therefore x=7.5$.故答案为7.5.
6.《墨经》中有这样的记录:“景到,在午有端,与景长,说在端.”如图所示的小孔成像实验中,若物距为10 cm,像距为15 cm,蜡烛火焰的高度是3 cm,则蜡烛火焰倒立的像的高度是
4.5 cm
.答案
4.5 cm 解析:设蜡烛火焰倒立的像的高度是$x$ cm,由相似三角形性质得到:$\frac{10}{15}=\frac{3}{x}$.解得$x=4.5$,经检验,符合题意;即蜡烛火焰倒立的像的高度是4.5 cm.
7. 如图, 已知$△ ABC ∽ △ DEF$, $∠ A = 80°$, $∠ E = 70°$, $AB = 5\ \mathrm{cm}$, $DE = 2.5\ \mathrm{cm}$, $BC = 10\ \mathrm{cm}$, $DF = 4.5\ \mathrm{cm}$.
(1) 求$∠ B$, $∠ C$, $∠ D$, $∠ F$的度数;
(2) $AC =$
(3) $△ ABC$和$△ DEF$的相似比为
(4) 若$AG$, $DH$分别为$△ ABC$和$△ DEF$的高, 则$AG: DH =$
(5) 若$△ ABC$中$∠ C$的平分线长为$a$, 求$△ DEF$中$∠ F$的平分线长.
(1) 求$∠ B$, $∠ C$, $∠ D$, $∠ F$的度数;
(2) $AC =$
9
$\mathrm{cm}$, $EF =$ 5
$\mathrm{cm}$;(3) $△ ABC$和$△ DEF$的相似比为
2:1
;(4) 若$AG$, $DH$分别为$△ ABC$和$△ DEF$的高, 则$AG: DH =$
2:1
;(5) 若$△ ABC$中$∠ C$的平分线长为$a$, 求$△ DEF$中$∠ F$的平分线长.
答案
(1)
∵ $△ ABC∽△ DEF$,$∠ A = 80°$,$∠ E = 70°$,$\therefore ∠ D = ∠ A = 80°$,$∠ B = ∠ E = 70°$,$∠ C = ∠ F = 30°$.
(2)9 5 解析:
∵ $△ ABC∽△ DEF$,$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$,即$\frac{5}{2.5}=\frac{10}{EF}=\frac{AC}{4.5}$,$\therefore AC=9\ \mathrm{cm}$,$EF=5\ \mathrm{cm}$.
(3)2:1 解析:$△ ABC$和$△ DEF$的相似比为$AB:DE=2:1$.
(4)2:1 解析:若$AG$,$DH$分别为$△ ABC$和$△ DEF$的高,则$AG:DH=2:1$.
(5)设$△ DEF$中$∠ F$的平分线的长是$b$,$\because △ ABC∽△ DEF$,$△ ABC$中$∠ C$的平分线长为$a$,$\therefore a:b=AB:DE=2:1$,$\therefore b=\frac{1}{2}a$,$\therefore △ DEF$中$∠ F$的平分线长是$\frac{1}{2}a$.
∵ $△ ABC∽△ DEF$,$∠ A = 80°$,$∠ E = 70°$,$\therefore ∠ D = ∠ A = 80°$,$∠ B = ∠ E = 70°$,$∠ C = ∠ F = 30°$.
(2)9 5 解析:
∵ $△ ABC∽△ DEF$,$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$,即$\frac{5}{2.5}=\frac{10}{EF}=\frac{AC}{4.5}$,$\therefore AC=9\ \mathrm{cm}$,$EF=5\ \mathrm{cm}$.
(3)2:1 解析:$△ ABC$和$△ DEF$的相似比为$AB:DE=2:1$.
(4)2:1 解析:若$AG$,$DH$分别为$△ ABC$和$△ DEF$的高,则$AG:DH=2:1$.
(5)设$△ DEF$中$∠ F$的平分线的长是$b$,$\because △ ABC∽△ DEF$,$△ ABC$中$∠ C$的平分线长为$a$,$\therefore a:b=AB:DE=2:1$,$\therefore b=\frac{1}{2}a$,$\therefore △ DEF$中$∠ F$的平分线长是$\frac{1}{2}a$.
8.（淄博中考）如图，在$△ ABC$中，$AD$，$BE$分别是$BC$，$AC$边上的中线，且$AD ⊥ BE$，垂足为$F$，设$BC = a$，$AC = b$，$AB = c$，则下列关系式成立的是（
A.$a^2 + b^2 = 5c^2$
B.$a^2 + b^2 = 4c^2$
C.$a^2 + b^2 = 3c^2$
D.$a^2 + b^2 = 2c^2$
A
）A.$a^2 + b^2 = 5c^2$
B.$a^2 + b^2 = 4c^2$
C.$a^2 + b^2 = 3c^2$
D.$a^2 + b^2 = 2c^2$
答案
A 解析:如图,连接$DE$,设$EF=x$,$DF=y$.
∵ $AD$,$BE$分别是$BC$,$AC$边上的中线,$\therefore DE$为$△ ABC$的中位线,$\therefore DE// AB$,$DE=\frac{1}{2}AB$,$\therefore △ DEF∽△ ABF$,$\therefore \frac{EF}{BF}=\frac{DF}{AF}=\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$,$\therefore AF=2DF=2y$,$BF=2EF=2x$.
∵ $AD ⊥ BE$,$\therefore ∠ AFB=∠ AFE=∠ BFD=90°$.在$\mathrm{Rt}△ AFB$中,$BF^2+AF^2=AB^2$,即$4x^2+4y^2=c^2$ ①,在$\mathrm{Rt}△ AEF$中,$EF^2+AF^2=AE^2$,即$x^2+4y^2=\frac{1}{4}b^2$ ②,在$\mathrm{Rt}△ BFD$中,$BF^2+DF^2=BD^2$,即$4x^2+y^2=\frac{1}{4}a^2$ ③,②+③得$5x^2+5y^2=\frac{1}{4}(a^2+b^2)$,$\therefore 4x^2+4y^2=\frac{1}{5}(a^2+b^2)$ ④,①-④得$c^2-\frac{1}{5}(a^2+b^2)=0$,即$a^2+b^2=5c^2$.故选 A.
