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9. (海南中考改编)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,点E,F在AD边上,BF和CE交于点G,若$EF=\frac{1}{2}AD$,则图中阴影部分的面积为
35
.答案
35 解析:如图,过点$G$作$GN⊥ AD$于点$N$,延长$NG$交$BC$于点$M$.
∵ 四边形$ABCD$是矩形,$\therefore AD=BC$,$AD// BC$.
∵ $EF=\frac{1}{2}AD$,$\therefore EF=\frac{1}{2}BC$.
∵ $AD // BC$,$NG ⊥ AD$,$\therefore △ EFG∽△ CBG$,$GM⊥ BC$,$\therefore GN:GM=EF:BC=1:2$.又
∵ $MN=AB=6$,$\therefore GN=2$,$GM=4$,$\therefore S_{△ BCG}=\frac{1}{2}×10×4=20$,$S_{△ EFG}=\frac{1}{2}×5×2=5$.又$S_{矩形ABCD}=6×10=60$,$\therefore S_{阴影}=60-20-5=35$.
10. (滨州中考)如图,在矩形$ABCD$中,$AB=20$,$BC=10$,点$P$为边$AB$上一动点,$DP$交$AC$于点$Q$.
(1)求证:$△ APQ ∽ △ CDQ$.
(2)点$P$从点$A$出发沿边$AB$以每秒1个单位的速度向点$B$移动.
①设移动时间为$t$秒,则当$t$的值为
②在①的条件下,试求$S_{△ APQ}+S_{△ DCQ}$的值.
(1)求证:$△ APQ ∽ △ CDQ$.
(2)点$P$从点$A$出发沿边$AB$以每秒1个单位的速度向点$B$移动.
①设移动时间为$t$秒,则当$t$的值为
5
时,$DP ⊥ AC$;②在①的条件下,试求$S_{△ APQ}+S_{△ DCQ}$的值.
答案
(1)
∵ 四边形$ABCD$是矩形,$\therefore AB // CD$,$\therefore ∠ QPA=∠ QDC$,$∠ QAP=∠ QCD$,$\therefore △ APQ∽△ CDQ$.
(2)①5 解析:当$DP ⊥ AC$时,$∠ QCD+∠ QDC=90°$.
∵ $∠ ADQ+∠ QDC=90°$,$\therefore ∠ DCA=∠ ADP$.又
∵ $∠ ADC=∠ DAP=90°$,$\therefore △ ADC∽△ PAD$,$\therefore \frac{AD}{PA}=\frac{DC}{AD}$,$\therefore \frac{10}{PA}=\frac{20}{10}$,解得$PA=5$,$\therefore t=5$.
②设$△ APQ$的边$AP$上的高为$h$,则$△ QDC$的边$DC$上的高为$10-h$.
∵ $△ APQ∽△ CDQ$,$\therefore \frac{h}{10-h}=\frac{AP}{DC}$.由①得$AP=5$,$\therefore \frac{h}{10-h}=\frac{5}{20}$,解得$h=2$,经检验,$h=2$是分式方程的解,$\therefore S_{△ APQ}+S_{△ DCQ}=\frac{1}{2}× AP× h+\frac{1}{2}× DC×(10-h)=\frac{1}{2}×5×2+\frac{1}{2}×20×(10-2)=5+80=85$.
∵ 四边形$ABCD$是矩形,$\therefore AB // CD$,$\therefore ∠ QPA=∠ QDC$,$∠ QAP=∠ QCD$,$\therefore △ APQ∽△ CDQ$.
(2)①5 解析:当$DP ⊥ AC$时,$∠ QCD+∠ QDC=90°$.
∵ $∠ ADQ+∠ QDC=90°$,$\therefore ∠ DCA=∠ ADP$.又
∵ $∠ ADC=∠ DAP=90°$,$\therefore △ ADC∽△ PAD$,$\therefore \frac{AD}{PA}=\frac{DC}{AD}$,$\therefore \frac{10}{PA}=\frac{20}{10}$,解得$PA=5$,$\therefore t=5$.
②设$△ APQ$的边$AP$上的高为$h$,则$△ QDC$的边$DC$上的高为$10-h$.
∵ $△ APQ∽△ CDQ$,$\therefore \frac{h}{10-h}=\frac{AP}{DC}$.由①得$AP=5$,$\therefore \frac{h}{10-h}=\frac{5}{20}$,解得$h=2$,经检验,$h=2$是分式方程的解,$\therefore S_{△ APQ}+S_{△ DCQ}=\frac{1}{2}× AP× h+\frac{1}{2}× DC×(10-h)=\frac{1}{2}×5×2+\frac{1}{2}×20×(10-2)=5+80=85$.
11. 如图①,$AD$是$△ ABC$的高,点$E,F$分别在边$AB,AC$上,且$EF// BC$.由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论:$\frac{AG}{AD}=\frac{EF}{BC}$.
(1)如图②,在$△ ABC$中,$BC=6$,$BC$边上的高为$8$,在$△ ABC$内放一个正方形$MNGH$,使其一边$GH$在$BC$上,点$M,N$分别在边$AB,AC$上,则正方形$MNGH$的边长为
(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上,布置一个腰长为$100\ \mathrm{cm}$,底边长为$120\ \mathrm{cm}$的等腰三角形展台.现需将展台用平行于底边的隔板,每间隔$10\ \mathrm{cm}$分隔出一层,再将每一层尽可能多地分隔成若干个开口为正方形的长方体格子,要求每个格子内放置一瓶葡萄酒,平面设计图如图③所示,将底边$BC$的长度看作是第0层隔板的长度.
①在分隔的过程中发现,当隔板厚度忽略不计时,每层平行于底边的隔板长度(单位:$\mathrm{cm}$)随着层数(单位:层)的变化而变化.请完成下表:
|层数/层|0|1|2|3|…|
|----|----|----|----|----|----|
|隔板长度/$\mathrm{cm}$|120|
②在①的条件下,请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒.
(1)如图②,在$△ ABC$中,$BC=6$,$BC$边上的高为$8$,在$△ ABC$内放一个正方形$MNGH$,使其一边$GH$在$BC$上,点$M,N$分别在边$AB,AC$上,则正方形$MNGH$的边长为
$\frac{24}{7}$
.(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上,布置一个腰长为$100\ \mathrm{cm}$,底边长为$120\ \mathrm{cm}$的等腰三角形展台.现需将展台用平行于底边的隔板,每间隔$10\ \mathrm{cm}$分隔出一层,再将每一层尽可能多地分隔成若干个开口为正方形的长方体格子,要求每个格子内放置一瓶葡萄酒,平面设计图如图③所示,将底边$BC$的长度看作是第0层隔板的长度.
①在分隔的过程中发现,当隔板厚度忽略不计时,每层平行于底边的隔板长度(单位:$\mathrm{cm}$)随着层数(单位:层)的变化而变化.请完成下表:
|层数/层|0|1|2|3|…|
|----|----|----|----|----|----|
|隔板长度/$\mathrm{cm}$|120|
105
|90
|75
|…|②在①的条件下,请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒.
答案
(1)$\frac{24}{7}$ 解析:如图①,过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$,交$MN$于点$E$,
由题目的结论得$\frac{AE}{AD}=\frac{MN}{BC}$,设正方形$MNGH$的边长为$x$,则$\frac{8-x}{8}=\frac{x}{6}$,解得$x=\frac{24}{7}$.故答案为$\frac{24}{7}$.(2)①105 90 75 解析:如图②,过点$D$作$AD⊥ BC$于点$D$,
又∵ $AB=AC=100\ \mathrm{cm}$,$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=60\ \mathrm{cm}$,$\therefore AD=\sqrt{100^2-60^2}=80(\mathrm{cm})$.设第1层、第2层、第3层隔板的长度分别为$y_1\ \mathrm{cm}$,$y_2\ \mathrm{cm}$,$y_3\ \mathrm{cm}$,则$\frac{y_1}{120}=\frac{80-10}{80}$,解得$y_1=105$.$\frac{y_2}{120}=\frac{80-20}{80}$,解得$y_2=90$.$\frac{y_3}{120}=\frac{80-30}{80}$,解得$y_3=75$.故答案为105,90,75.
②该展台最多可以摆放40瓶葡萄酒. 解析:第$n$层隔板的长度为$y_n\ \mathrm{cm}$,则$\frac{y_n}{120}=\frac{80-10n}{80}$,得$y_n=120-15n$,因此得$y_4=60$,$y_5=45$,$y_6=30$,$y_7=15$,$\therefore$ 最多可摆7层,$105÷10=10.5$,第1层可摆10瓶,第2层可摆$90÷10=9$(瓶),$75÷10=7.5$,第3层可摆7瓶,第4层可摆$60÷10=6$(瓶),$45÷10=4.5$,第5层可摆4瓶,第6层可摆$30÷10=3$(瓶),$15÷10=1.5$,第7层可摆1瓶,共$10+9+7+6+4+3+1=40$(瓶),$\therefore$ 该展台最多可以摆放40瓶葡萄酒.
