8. (广东中考)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为.

(第8题) (第9题)

8. 15 解析:如图,由题意可知 $AD=DC=10$,$CG=CE=GF=6$,$∠ CEF=∠ EFG=90°$,$GH=4$,$\therefore CH=10=AD$. 又 $\because ∠ D=∠ DCH=90°$,$∠ AJD=∠ HJC$,$\therefore △ ADJ ≌ △ HCJ\ (\mathrm{AAS})$,$\therefore CJ=DJ=5$,$\therefore EJ=1$.$\because GI// CJ$,$\therefore △ HGI∽ △ HCJ$,$\therefore \frac{GI}{CJ}=\frac{GH}{CH}=\frac{2}{5}$,$\therefore GI=2$,$\therefore FI=4$,$\therefore S_{\mathrm{梯形}EJIF}=\frac{1}{2}(EJ+FI)· EF=15$.

9. (苏州中考)如图,在矩形ABCD中,将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后,BC的对应边B'C'交CD边于点G.连接BB',CC'.若AD=7,CG=4,AB'=B'G,则$\frac{CC'}{BB'}$=.

9. $\frac{\sqrt{74}}{5}$ 解析:如图,连接 $AC$,$AG$,$AC'$,由旋转可得 $AB=AB'$,$AC=AC'$,$∠ BAB'=∠ CAC'$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AB'}{AC'}$,$\therefore △ ACC'∽ △ ABB'$,$\therefore \frac{CC'}{BB'}=\frac{AC}{AB}$.
$\because AB'=B'G$,$∠ AB'G=∠ ABC=90°$,$\therefore △ AB'G$是等腰直角三角形,$\therefore AG=\sqrt{2}AB'$.设 $AB=AB'=x$,则 $AG=\sqrt{2}x$,$DG=x-4$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADG$ 中,$AD^2+DG^2=AG^2$,$\therefore 7^2+(x-4)^2=(\sqrt{2}x)^2$,解得 $x_1=5$,$x_2=-13$(舍去),$\therefore AB=5$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}$,$\therefore \frac{CC'}{BB'}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{74}}{5}$.

10.（玉林中考）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D,C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE=a.
(1)求BF的长(用含a的代数式表示)；
(2)连接EF交AB于点G，连接GC，当GC//AE时，求证：四边形AGCE是菱形.

10. (1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore ∠ ADE=∠ ABF=∠ BAD=90°$,$\therefore ∠ DAE+∠ BAE=90°$. $\because AF⊥ AE$,$\therefore ∠ BAF+∠ BAE=90°$,$\therefore ∠ DAE=∠ BAF$,$\therefore △ ADE∽ △ ABF$,$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BF}$,即 $\frac{4}{8}=\frac{a}{BF}$,$\therefore BF=2a$.
(2)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore AG// CE$. 又 $\because GC// AE$,$\therefore$ 四边形 $AGCE$ 是平行四边形,$\therefore AG=CE=8-a$,$\therefore BG=AB-AG=8-(8-a)=a$. 在 $\mathrm{Rt}△ BGF$ 中,$GF^2=a^2+(2a)^2=5a^2$,在 $\mathrm{Rt}△ CEF$ 中,$EF^2=(2a+4)^2+(8-a)^2=5a^2+80$,在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$AE^2=4^2+a^2=16+a^2$. 如图,过点 $G$ 作 $GM⊥ AF$ 于点 $M$. $\because AF⊥ AE$,$\therefore GM// AE$,$\therefore ∠ FMG=∠ FAE$,$∠ FGM=∠ FEA$,$\therefore △ MGF∽ △ AEF$,$\therefore \frac{GM}{AE}=\frac{GF}{EF}$,$\therefore \frac{GM^2}{AE^2}=\frac{GF^2}{EF^2}$,$\therefore \frac{GM^2}{16+a^2}=\frac{5a^2}{5a^2+80}$,$\therefore GM=a$,$\therefore GM=BG$. 又 $\because GM⊥ AF$,$GB⊥ FC$,$\therefore FG$ 是 $∠ AFB$ 的平分线,$\therefore EA=EC$,$\therefore$ 平行四边形 $AGCE$ 是菱形.

11. (2024·成都中考)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$是$△ ABC$的一条角平分线,$E$为$AD$中点,连接$BE$.若$BE=BC$,$CD=2$,则$BD=$.

11. $\frac{\sqrt{17}+1}{2}$ 解析:如图,连接 $CE$,过点 $E$ 作 $EF⊥ CD$ 于点 $F$,设 $BD=x$,$EF=m$.
$\because ∠ ACB=90°$,$E$ 为 $AD$ 中点,$\therefore CE=AE=DE$,$EF// AC$,$\therefore ∠ EAC=∠ ECA$,$∠ ECD=∠ EDC$,$EF$ 是 $△ ADC$ 的中位线,$\therefore ∠ CED=2∠ CAE$,$AC=2EF=2m$. 又 $CD=2$,$\therefore CF=DF=\frac{1}{2}CD=1$,$CB=2+x$.$\because BE=BC$,$\therefore ∠ BEC=∠ ECB$,则 $∠ BEC=∠ EDC$. 又 $∠ BCE=∠ ECD$,$\therefore △ CBE∽ △ CED$,$\therefore \frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CE}$,$∠ CBE=∠ CED=2∠ CAE$,$\therefore CE^2=CD· CB=2(2+x)=4+2x$,则 $m^2=EF^2=CE^2-CF^2=3+2x$.
$\because AD$ 是 $△ ABC$ 的一条角平分线,$\therefore ∠ CAB=2∠ CAE=∠ CBE$. 又 $∠ ACB=∠ BFE=90°$,$\therefore △ CAB∽ △ FBE$,$\therefore \frac{AC}{EF}=\frac{BC}{BF}$,$\therefore \frac{2m}{m}=\frac{x+2}{x+1}$,$\therefore 2m^2=(x+1)(x+2)$,$\therefore 2(3+2x)=(x+1)(x+2)$,即 $x^2-x-4=0$,解得 $x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$(负值已舍去).
故答案为 $\frac{\sqrt{17}+1}{2}$.

12. (2024·资阳中考)(1)【观察发现】如图①,在△ABC中,点D在边BC上.若∠BAD=∠C,证明:AB²=BD·BC.
(2)【灵活运用】如图②,在△ABC中,∠BAC=60°,点D为边BC的中点,CA=CD=2,点E在AB上,连接AD,DE.若∠AED=∠CAD,BE的长为.
(3)【拓展延伸】如图③,在菱形ABCD中,AB=5,点E,F分别在边AD,CD上,∠ABC=2∠EBF,延长AD,BF相交于点G.若BE=4,DG=6,求FG的长.

12. (1) $\because ∠ BAD=∠ C$,$∠ ABD=∠ CBA$,$\therefore △ ABD∽ △ CBA$,$\therefore \frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BA}$,$\therefore AB^2=BD· BC$.
(2) $\frac{\sqrt{13}-1}{3}$ 解析:如图①,过点 $C$ 作 $CF⊥ AB$ 于点 $F$,过点 $D$ 作 $DG⊥ AB$ 于点 $G$,则 $∠ AFC=∠ AGD=90°$, $\therefore CF// DG$.
$\because ∠ BAC=60°$,$\therefore ∠ ACF=30°$,$\therefore AF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}× 2=1$,$\therefore CF=\sqrt{AC^2-AF^2}=\sqrt{3}$.$\because D$ 为边 $BC$ 的中点,$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=2$.$\because CF// DG$,$\therefore △ BDG∽ △ BCF$,$\therefore \frac{DG}{CF}=\frac{BG}{BF}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}$, $\therefore DG=\frac{1}{2}CF=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\therefore BG=\sqrt{BD^2-DG^2}=\sqrt{2^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{\sqrt{13}}{2}$,$\therefore BF=2BG=\sqrt{13}$,$\therefore AB=AF+BF=1+\sqrt{13}$.$\because AC=CD$,$\therefore ∠ CAD=∠ CDA$.$\because ∠ AED=∠ CAD$,$\therefore ∠ AED=∠ CDA$,$\therefore ∠ AED+∠ BED=∠ ADC+∠ ADB=180°$,$\therefore ∠ BED=∠ ADB$. 又 $\because ∠ DBE=∠ ABD$,$\therefore △ BED∽ △ BDA$,$\therefore \frac{BE}{BD}=\frac{BD}{AB}$,即 $\frac{BE}{2}=\frac{2}{1+\sqrt{13}}$,解得 $BE=\frac{\sqrt{13}-1}{3}$.
(3) 连接 $BD$,如图②所示.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为菱形,$\therefore ∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC$,$AD=AB=BC=5$, $AD// BC$.
$\because ∠ ABC=2∠ EBF$,$\therefore ∠ ABD=∠ CBD=∠ EBF$,$\therefore ∠ EBF-∠ DBF=∠ CBD-∠ DBF$,即 $∠ DBE=∠ CBF$.$\because AD// BC$,$\therefore ∠ CBF=∠ G$,$\therefore ∠ DBE=∠ G$.又 $\because ∠ DEB=∠ BEG$,$\therefore △ BED∽ △ GEB$,$\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{BE}{EG}$.
$\because DG=6$,$\therefore EG=DE+6$,$\therefore \frac{DE}{4}=\frac{4}{DE+6}$,解得 $DE=2$(负值已舍去),$\therefore EG=2+6=8$,$AE=AD-DE=3$.$\because AE^2+BE^2=3^2+4^2=5^2=AB^2$,$\therefore △ ABE$ 为直角三角形, $∠ AEB=90°$,$\therefore ∠ BEG=180°-90°=90°$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BEG$ 中,根据勾股定理得 $BG=\sqrt{BE^2+EG^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$,$\therefore BF=BG-FG=4\sqrt{5}-FG$.$\because AD// BC$,$\therefore △ DFG∽ △ CFB$,$\therefore \frac{FG}{BF}=\frac{DG}{BC}$,即 $\frac{FG}{4\sqrt{5}-FG}=\frac{6}{5}$,解得 $FG=\frac{24\sqrt{5}}{11}$.