1. (河北中考)如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ()


A
B
C D

1. C 解析:A. 阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,不符合题意;B. 阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,不符合题意;C. 两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,符合题意;D. 两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,不符合题意.故选 C.

2.（东营中考）如图，点D为△ABC边AB上任一点，$DE// BC$交AC于点E，连接BE，CD相交于点F，则下列等式中不成立的是（）

A.$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$
B.$\frac{DE}{BC}=\frac{DF}{FC}$
C.$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{EC}$
D.$\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{AC}$

2. C 解析:$\because DE// BC,\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC},△ DEF∽ △ CBF,△ ADE∽ △ ABC,\therefore \frac{DE}{CB}=\frac{DF}{CF}=\frac{EF}{BF},\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC},\therefore \frac{EF}{BF}=\frac{AE}{AC}$,故 A,B,D 不符合题意.故选 C.

3. 在$△ ABC$与$△ A'B'C'$中,有下列条件:①$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$; ②$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$; ③$∠ A = ∠ A'$; ④$∠ C = ∠ C'$.如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断$△ ABC ∽ △ A'B'C'$的共有（）

A.1组
B.2组
C.3组
D.4组

3. C 解析:能判断$△ ABC∽ △ A'B'C'$的有①②或②④或③④,共3组.故选 C.
归纳总结 熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键:①两角分别相等的两个三角形相似;②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;③三边成比例的两个三角形相似.

4. 如图，$DE ⊥ AB$ 于点 $E$，$AF ⊥ BC$ 于点 $F$，若 $BD=6$，$AB=8$，则 $DE:AF=$ .

4. 3:4 解析:$\because DE⊥ AB,AF⊥ BC,\therefore ∠ BED=∠ BFA=90°$.又$\because ∠ B=∠ B,\therefore △ BED∽ △ BFA,\therefore \frac{DE}{AF}=\frac{BD}{AB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$,即$DE:AF=3:4$.故答案为 3:4.

5.（常德中考）如图①,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=8$,$BC=6$,$D$是$AB$上一点,且$AD=2$,过点$D$作$DE// BC$交$AC$于点$E$,将$△ ADE$绕点$A$顺时针旋转到图②的位置,则图②中$\frac{BD}{CE}$的值为.

5. $\frac{4}{5}$ 解析:在题图①中,$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ABC=90°$,$AB=8$,$BC=6$,$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=10$.$\because DE// BC,\therefore ∠ ADE=∠ ABC=90°$,$∠ AED=∠ ACB$,$\therefore △ ADE∽ △ ABC$,$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$,$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$. 在题图②中,$\because ∠ BAC=∠ DAE$,$\therefore ∠ BAC+∠ CAD=∠ DAE+∠ CAD$,$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$,$\therefore △ ABD∽ △ ACE$,$\therefore \frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$.

6. (上海中考)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB上,且CF=BE,AE²=AQ·AB.
求证:(1)∠CAE=∠BAF;
(2)CF·FQ=AF·BQ.

6. (1)$\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C$. $\because CF=BE,\therefore CF-EF=BE-EF$,即 $CE=BF$. 在 $△ ACE$ 和 $△ ABF$ 中,$\because AC=AB,∠ C=∠ B$,$CE=BF$,$\therefore △ ACE≌ △ ABF(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ CAE=∠ BAF$.
(2)$\because △ ACE≌ △ ABF$,$\therefore AE=AF$.$\because AE^2=AQ· AB$,$AC=AB$,$\therefore \frac{AE}{AQ}=\frac{AC}{AF}$. 由(1)知 $∠ CAE=∠ BAF$,$\therefore △ ACE∽ △ AFQ$,$\therefore ∠ AEC=∠ AQF$,$\therefore ∠ AEF=∠ BQF$. $\because AE=AF$,$\therefore ∠ AEF=∠ AFE$,$\therefore ∠ BQF=∠ AFE$. 又 $\because ∠ B=∠ C$,$\therefore △ CAF∽ △ BFQ$,$\therefore \frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$,即 $CF· FQ=AF· BQ$.

7. 如图,在$△ ABC$中,$CD ⊥ AB$,且$CD^2 = AD · DB$,AE平分$∠ CAB$交CD于点F,交CB于点E,$∠ EAB = ∠ B$,$CN = BE$.有以下结论:①$CF = BN$;②$∠ ACB = 90°$;③$FN // AB$;④$AD^2 = DF · DC$.其中正确的是 ()


A.①②④
B.②③④
C.①②③④
D.①③

7. C 解析:②$\because CD⊥ AB,\therefore ∠ ADC=∠ CDB=90°$.$\because CD^2=AD· DB$,$\therefore \frac{CD}{AD}=\frac{DB}{CD}$,$\therefore △ ADC∽ △ CDB$,$\therefore ∠ ACD=∠ B$.$\because ∠ B+∠ DCB=90°$,$\therefore ∠ ACD+∠ DCB=90°$,即$∠ ACB=90°$,故②正确.①$\because AE$平分$∠ CAB$,$\therefore ∠ CAE=∠ DAF$. 又$\because ∠ ACB=∠ ADC=90°$,$\therefore △ CAE∽ △ DAF$,$\therefore ∠ AFD=∠ AEC$,$\therefore ∠ CFE=∠ AEC$,$\therefore CF=CE$.$\because CN=BE$,$\therefore CE=BN$,$\therefore CF=BN$,故①正确.③$\because ∠ EAB=∠ B$,$\therefore EA=EB$,易知$∠ ACF=∠ ABC=∠ EAB=∠ EAC$,$\therefore FA=FC$.$\because CF=BN$,$\therefore FA=BN$.又$\because EA=EB$,$\therefore EF=EN$,$\therefore \frac{EF}{EA}=\frac{EN}{EB}$.又$\because ∠ FEN=∠ AEB$,$\therefore △ EFN∽ △ EAB$,$\therefore ∠ EFN=∠ EAB$,$\therefore FN// AB$,故③正确.④易证$△ ADF∽ △ CDA$,$\therefore AD^2=DF· DC$,故④正确.故选 C.