例 1 以下列长度的三条线段为边,能组成直角三角形的是 ()
A. $ 3,4,6 $ B. $ 2,5,7 $ C. $ 1,2,3 $ D. $ 6,8,10 $

解析：A. $ \because 3 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = 25 $,$ 6 ^ { 2 } = 36 $,$ \therefore 3 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } \neq 6 ^ { 2 } $,$ \therefore $ 不能组成直角三角形,故 A 不符合题意；B. $ \because 2 ^ { 2 } + 5 ^ { 2 } = 29 $,$ 7 ^ { 2 } = 49 $,$ \therefore 2 ^ { 2 } + 5 ^ { 2 } \neq 7 ^ { 2 } $,$ \therefore $ 不能组成直角三角形,故 B 不符合题意；C. $ \because 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } = 5 $,$ 3 ^ { 2 } = 9 $,$ \therefore 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } \neq 3 ^ { 2 } $,$ \therefore $ 不能组成直角三角形,故 C 不符合题意；D. $ \because 6 ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } = 100 $,$ 10 ^ { 2 } = 100 $,$ \therefore 6 ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } = 10 ^ { 2 } $,$ \therefore $ 能组成直角三角形,故 D 符合题意. 故选：D.

例 2 下面各组数中,是勾股数的是 ()
A. $ 1,7,6 $ B. $ 3 ^ { 2 }, 4 ^ { 2 }, 5 ^ { 2 } $ C. $ 1,3,2 $ D. $ 5,12,13 $

解析：A. $ 1 ^ { 2 } + 6 ^ { 2 } \neq 7 ^ { 2 } $,则不构成勾股数,故本选项不符合题意；B. $ ( 3 ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( 4 ^ { 2 } ) ^ { 2 } \neq ( 5 ^ { 2 } ) ^ { 2 } $,则不构成勾股数,故本选项不符合题意；C. $ 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } \neq 3 ^ { 2 } $,则不构成勾股数,故本选项不符合题意；D. $ 5 ^ { 2 } + 12 ^ { 2 } = 13 ^ { 2 } $,构成勾股数,故本选项符合题意. 故选：D.

例 3 如图,等腰三角形 $ ABD $ 的腰长为 $ 13 \mathrm { cm } $,底边 $ B D = 10 \mathrm { cm } $,$ C $ 为其内部一点,且 $ B C = 8 \mathrm { cm } $,$ C D = 6 \mathrm { cm } $.


(1)判断 $ \triangle B C D $ 的形状并说明理由.
(2)求阴影部分的面积.

解析：(1)$ \triangle B C D $ 是直角三角形. 理由如下：在 $ \triangle B C D $ 中,$ C D = 6 $,$ B C = 8 $,$ B D = 10 $,$ \therefore C D ^ { 2 } + B C ^ { 2 } = 6 ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } = 100 = 10 ^ { 2 } = B D ^ { 2 } $,$ \therefore \triangle B C D $ 是直角三角形. (2)由(1)知,$ \triangle B C D $ 是直角三角形,且 $ \angle C = 90 ^ { \circ } $,$ \therefore S _ { \triangle B C D } = \frac { 1 } { 2 } \cdot B C \cdot C D = 24 $,过点 $ A $ 作 $ A E \perp B D $ 于 $ E $,根据等腰三角形“三线合一”可知,点 $ E $ 为 $ B D $ 中点,$ \therefore B E = D E = 5 $,在 $ \mathrm { Rt } \triangle A D E $ 中,根据勾股定理得：$ A E ^ { 2 } = A D ^ { 2 } - D E ^ { 2 } $,$ \therefore A E = 12 $,$ \therefore S _ { \triangle A B D } = \frac { 1 } { 2 } \cdot B D \cdot A E = 60 $,$ \therefore $ 阴影部分面积为 $ = S _ { \triangle A B D } - S _ { \triangle B C D } = 36 ( \mathrm { cm } ^ { 2 } ) $.