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1. 关于二次函数$y=-x^2+1$的图象，下列说法错误的是（
A.开口向下
B.顶点坐标为$(0,1)$
C.对称轴是$y$轴
D.经过点$(-1,2)$
D
）A.开口向下
B.顶点坐标为$(0,1)$
C.对称轴是$y$轴
D.经过点$(-1,2)$
答案
1.D
2. 新考法 假设分析法 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=-mx+n^2$与二次函数$y=x^2+m$的图象可能是（
D
）答案
2.D
3. [2026合肥期中] 下列函数中，y随x的增大而减小的是（
A.$y=x^2+1$
B.$y=-x^2+1$
C.$y=2x+1$
D.$y=-2x+1$
D
）A.$y=x^2+1$
B.$y=-x^2+1$
C.$y=2x+1$
D.$y=-2x+1$
答案
3.D
4.关于二次函数 $y=-2x^2-2$，下列说法正确的是 （
A.它的图象有最低点
B.当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
C.若 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 在函数图象上，且 $x_1＞x_2＞0$，则 $y_1＞y_2$
D.当 $x=0$ 时，$y$ 有最大值 2
B
）A.它的图象有最低点
B.当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
C.若 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 在函数图象上，且 $x_1＞x_2＞0$，则 $y_1＞y_2$
D.当 $x=0$ 时，$y$ 有最大值 2
答案
4.B 【点拨】因为 $a=-2＜0$,所以该函数图象有最高点,当$x＜0$时，$y$ 随$x$ 的增大而增大,故 A 错误,B正确;二次函数$y=-2x^2-2$ 的图象的对称轴是 $y$ 轴,且 $-2＜0$,所以当$x_1＞x_2＞0$ 时,$y_2＞y_1$,故 C 错误;顶点坐标为$(0,-2)$,所以当$x=0$ 时,$y$ 有最大值,为$-2$,故 D 错误.
5. [2026 马鞍山期末] 已知二次函数 $y=3x^2 - 2$，当 $-2≤ x＜1$ 时，$y$ 的取值范围为
$-2≤y≤10$
。答案
5.$-2≤y≤10$
6. 新考法 逆向思维法 将抛物线 $ y=2x^2 +3 $ 平移后得到抛物线 $ y=2x^2 $，平移的方法可以是 （
A.向下平移3个单位长度
B.向上平移3个单位长度
C.向上平移2个单位长度
D.向下平移2个单位长度
A
）A.向下平移3个单位长度
B.向上平移3个单位长度
C.向上平移2个单位长度
D.向下平移2个单位长度
答案
6.A
7. [2025 上海] 将函数 $y=3x^2$ 的图象向下平移2个单位长度后,得到的新函数的表达式为
$y=3x^2-2$
.答案
7.$y=3x^2-2$
8. 抛物线$y=ax^2 -1(a≠0)$上有一点$P(2,2)$，平移该抛物线，使其顶点落在点$A(1,1)$处，此时点$P$落在点$Q$处，则点$Q$的坐标为
$(3,4)$
。答案
8.$(3,4)$
9. 已知抛物线 $ y = ax^2 + 8 $ 与抛物线 $ y = -4x^2 $ 的形状相同，则 $ a $ 的值为
$\pm4$
。答案
9.$\pm4$ 【点拨】$\because$ 抛物线 $y=ax^2 + 8$ 与 $y=-4x^2$ 的形状相同,但开口方向可能不同,$\therefore |a|=|-4|$.$\therefore a=4$ 或 $a=-4$.
10. ★★ 新趋势 学科内综合 如图，抛物线$y=ax^2+c$经过正方形OABC的三个顶点A,B,C，点B在y轴上，则ac的值为（
A.−1
B.−2
C.−3
D.−4
B
）A.−1
B.−2
C.−3
D.−4
答案
10.B 【点拨】连接 $AC$,交 $y$ 轴于点 $D$,如图
. 当 $x=0$ 时,$y=c$,$\therefore B(0,c)$.$\therefore OB=c$.$\because$ 四边形 $ABCO$ 是正方形,$\therefore AC=OB= 2AD = 2OD = c$, $AC⊥ OB$.$\therefore AD=\frac{c}{2},OD=\frac{c}{2}.\therefore A(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$.$\because$ 点A 在抛物线上,$\therefore \frac{c}{2}=a×\frac{c^2}{4}+c$.$\therefore$ 易得 $ac=-2$.11. 跨学科题 如图①，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平的方向反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”。抛物线的焦点位置有一种特性：如图②，抛物线上任意一点M到焦点A的距离AM的长，等于点M到一条平行于x轴的直线l的距离MN的长。若抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2 +3$，那么此抛物线的焦点坐标为（
A.$(0,3)$
B.$(0,4)$
C.$(0,\frac{7}{2})$
D.$(0,\frac{9}{2})$
C
）A.$(0,3)$
B.$(0,4)$
C.$(0,\frac{7}{2})$
D.$(0,\frac{9}{2})$
答案
11.C 【点拨】设抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 + 3$ 与 $y$ 轴的交点为 $C$,$l$ 与 $y$ 轴交于点 $B$,$A(0,a)$,$M(m,\frac{1}{2}m^2+3)$, 则 $AM^2= m^2 + (\frac{1}{2}m^2+3-a)^2$,$OA=a$. 由题可知 $AC=BC$,$AM=MN$.$\because$ 点 $C$ 为该抛物线的顶点,$\therefore C(0,3)$.$\therefore OC=3$.$\therefore BC= AC=a-3$.$\therefore OB=6-a$, 则 $N(m,6-a)$,$\therefore MN^2= (\frac{1}{2}m^2+a-3)^2$. 由 $AM=MN$, 得 $AM^2=MN^2$,$\therefore m^2+ (\frac{1}{2}m^2+3-a)^2=(\frac{1}{2}m^2+a-3)^2$, 整理,得 $m^2(2a-7)= 0$.$\because m$ 为任意实数,$\therefore 2a-7=0$, 解得 $a=\frac{7}{2}$.$\therefore$ 焦点的坐标为 $(0,\frac{7}{2})$.
