12. [2026厦门校级模拟] 如图，菱形OABC的顶点O,A,C在抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2，则菱形OABC的面积是（）

A.$2\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$

12.C

13. 新题型 规律探究题 如图,分别过点$P_i(i,0)(i=1,2,\dots,2026)$作$x$轴的垂线,交直线$y=x$于点$A_i$,交抛物线$y=-x^2(x＞0)$于点$B_i$,则$\frac{1}{A_1B_1}+\frac{1}{A_2B_2}+\dots+\frac{1}{A_{2026}B_{2026}}$的值为（）

A.$\frac{2026}{2027}$
B.$\frac{2025}{2026}$
C.$\frac{1}{2026×2027}$
D.$\frac{1}{2025×2026}$

13.A

14. 已知$△ ABC$的三个顶点为$A(-1,-1)$，$B(-1,3)$，$C(-3,-3)$，将$△ ABC$向右平移$m(m＞0)$个单位长度后，$△ ABC$某一边的中点恰好落在二次函数$y=-2x^2$的图象上，则$m$的值为。

14.1或2或3

15. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线的表达式是$y_1=x^2$,直线$l$的表达式是$y_2=-\dfrac{1}{4}$,点$F(0,\dfrac{1}{4})$,点$P$是该抛物线上的动点,连接$PF$,过点$P$作$PN⊥ l$于点$N$.
(1)求证:$PF=PN$;

(2)设点$E(-2,6)$,求$PE+PF$的最小值及此时点$P$的坐标.

15.(1)证明：设点P的坐标为$(x,x^2)$，
则$PF=\sqrt{x^2+(x^2-\frac{1}{4})^2}=\sqrt{(x^2+\frac{1}{4})^2}=x^2+\frac{1}{4}$，
$PN$是点P到直线$y=-\frac{1}{4}$的距离，即$PN=x^2-(-\frac{1}{4})=x^2+\frac{1}{4}$，
因此$PF=PN$。
(2)由(1)知$PF=PN$，因此$PE+PF=PE+PN$，当E、P、N三点共线，即PN垂直直线l且过点E时，$PE+PN$最小，最小值为点E到直线$y=-\frac{1}{4}$的距离：$6-(-\frac{1}{4})=\frac{25}{4}$，此时点P的横坐标与点E的横坐标相同，为-2，代入$y=x^2$得$y=4$，即点P坐标为$(-2,4)$。

16. [重庆自主招生] 在平面直角坐标系中,已知点A在y轴正半轴上.
(1)如图①,已知菱形ABCD的顶点B,C,D在二次函数$y=x^2$的图象上,且$AD⊥y$轴,则菱形的边长为;
(2)如图②,已知正方形ABCD的顶点B,D在二次函数$y=x^2$的图象上,点B,D在y轴的右侧,且点B在点D的左侧,设点B,D的横坐标分别为m,n,探究$n-m$是否为定值.

16.(1)2
(2)n-m是定值，值为1。