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9 当$3≤ x≤ 5$时，二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2 +k$的最小值是3，则k的值为（
A.5
B.$-5$
C.1
D.$-1$
C
）A.5
B.$-5$
C.1
D.$-1$
答案
9. C
10 已知二次函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$，且经过点$(3,0)$，将二次函数的图象向右平移$m(m＞0)$个单位长度，经过点$(1,-\dfrac{15}{4})$，在平移后的图象对应的二次函数中，当$n-2≤ x≤ n+1$时，取得最小值$-3$，则$n$的值是（
A.$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{9}{2}$
B.$\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{9}{2}$
C.1
D.$-\dfrac{1}{2}$
A
）A.$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{9}{2}$
B.$\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{9}{2}$
C.1
D.$-\dfrac{1}{2}$
答案
10. A 【解析】 $\because$ 二次函数图象的顶点为$(1,-4),\therefore$ 可设函数解析式为 $y=a(x-1)^2-4,$将 $(3,0)$ 代入,得 $a=1,$即 $y=(x-1)^2-4.$ 将图象向右平移 $m$ 个单位长度后,对应的函数解析式为 $y=(x-1-m)^2-4,$将 $(1,-\dfrac{15}{4})$ 代入,得 $-\dfrac{15}{4}=(1-1-m)^2-4,$解得 $m=\dfrac{1}{2}$(负值舍去). $\therefore$ 平移后的图象对应的函数解析式为 $y=(x-\dfrac{3}{2})^2-4,$图象的对称轴为直线 $x=\dfrac{3}{2},$顶点坐标为 $(\dfrac{3}{2},-4).$ 令 $(x-\dfrac{3}{2})^2-4=-3,$解得 $x=\dfrac{1}{2}$ 或 $x=\dfrac{5}{2}.\because$ 当 $n-2≤x≤n+1$ 时,函数取得最小值,为 $-3,\therefore n+1=\dfrac{1}{2}$ 或 $n-2=\dfrac{5}{2},$解得 $n=-\dfrac{1}{2}$ 或 $n=\dfrac{9}{2}.$
11 已知二次函数$y=-(x-1)^2+2$，当$t＜x＜5$时，y随x的增大而减小，则实数t的取值范围是
$1≤ t＜5$
。答案
11. $1≤ t＜5$
12 小明同学在用描点法画二次函数$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的图象时，列出表格如下：
则表中$m$的值是
则表中$m$的值是
6
.答案
12. 6
13 [2025 浙江]在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y=(x-m)^2 +k$ 的图象经过点 $A(m+1,0)$。
（1）求 $k$ 的值；
（2）若该函数图象上有两点 $(t,y_1),(t+2,y_2)$，且 $y_1 - y_2 = -4$，求 $y_1 + y_2$ 的值。
（1）求 $k$ 的值；
（2）若该函数图象上有两点 $(t,y_1),(t+2,y_2)$，且 $y_1 - y_2 = -4$，求 $y_1 + y_2$ 的值。
答案
13. (1) $\because$ 二次函数 $y=(x-m)^2 +k$ 的图象经过点 $A(m+1,0),\therefore (m+1-m)^2+k=0,$解得 $k=-1$
(2) 由题意,得 $y_1-y_2=(t-m)^2-1-(t+2-m)^2+1=-4(t-m+1)=-4,$ $\therefore t-m=0.\therefore y_1+y_2=(t-m)^2-1+(t+2-m)^2-1=2$
(2) 由题意,得 $y_1-y_2=(t-m)^2-1-(t+2-m)^2+1=-4(t-m+1)=-4,$ $\therefore t-m=0.\therefore y_1+y_2=(t-m)^2-1+(t+2-m)^2-1=2$
14 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $ y = a(x - m)^2 - 3(a ＞ 0) $ 上有 $ A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) $ 两点.
(1) 若对于 $ x_1 = -1, x_2 = 3 $，有 $ y_1 = y_2 $，求该抛物线的顶点坐标；
(2) 对于任意实数 $ m $，当 $ m - 2 ＜ x_1 ＜ m - 1, x_2 ＞ m + 2 $ 时，都有 $ y_1 · y_2 ＜ 0 $，求 $ a $ 的值.
(1) 若对于 $ x_1 = -1, x_2 = 3 $，有 $ y_1 = y_2 $，求该抛物线的顶点坐标；
(2) 对于任意实数 $ m $，当 $ m - 2 ＜ x_1 ＜ m - 1, x_2 ＞ m + 2 $ 时，都有 $ y_1 · y_2 ＜ 0 $，求 $ a $ 的值.
答案
14. (1) 由题意,得抛物线的顶点坐标为 $(m,-3),\because x_1=-1,x_2=3,$有 $ y_1=y_2,\therefore m=\dfrac{-1+3}{2}=1. \therefore$ 该抛物线的顶点坐标为 $(1,-3)$
(2) $\because$ 抛物线的对称轴是直线 $ x=m,m-2＜x_1＜m-1,x_2＞m+2,\therefore $ 点 $ A $ 在对称轴的左侧,点 $ B $ 在对称轴的右侧. 设点 $ A(x_1,y_1) $ 关于对称轴的对称点为 $ A'(x_1',y_1) $,则易得 $ m+1＜x_1'＜m+2. \because$ 点 $ A',B $ 在对称轴右侧,且 $ m+1＜x_1'＜m+2＜x_2,a＞0,\therefore y_1＜y_2. \because y_1 · y_2＜0,\therefore y_1＜0,y_2＞0. \therefore$ 当 $ x=m+2 $ 时, $ y=0. $ 把 $ (m+2,0) $ 代入 $ y=a(x-m)^2-3, $ 得 $ a(m+2-m)^2-3=0, $ 解得 $ a=\dfrac{3}{4} $
(2) $\because$ 抛物线的对称轴是直线 $ x=m,m-2＜x_1＜m-1,x_2＞m+2,\therefore $ 点 $ A $ 在对称轴的左侧,点 $ B $ 在对称轴的右侧. 设点 $ A(x_1,y_1) $ 关于对称轴的对称点为 $ A'(x_1',y_1) $,则易得 $ m+1＜x_1'＜m+2. \because$ 点 $ A',B $ 在对称轴右侧,且 $ m+1＜x_1'＜m+2＜x_2,a＞0,\therefore y_1＜y_2. \because y_1 · y_2＜0,\therefore y_1＜0,y_2＞0. \therefore$ 当 $ x=m+2 $ 时, $ y=0. $ 把 $ (m+2,0) $ 代入 $ y=a(x-m)^2-3, $ 得 $ a(m+2-m)^2-3=0, $ 解得 $ a=\dfrac{3}{4} $
