9 当$3≤ x≤ 5$时，二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2 +k$的最小值是3，则k的值为（）

A.5
B.$-5$
C.1
D.$-1$

9. C

【分析】
首先明确二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2 +k$是顶点式，先判断开口方向：$a=\frac{1}{2}＞0$，所以抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，根据二次函数增减性，在对称轴右侧（即$x＞1$时），$y$随$x$的增大而增大。题目给出的$x$取值范围是$3≤x≤5$，全部在对称轴右侧，因此该区间内函数的最小值出现在$x$取最小值3的位置，将$x=3$、$y=3$代入解析式即可求出$k$的值。
【解析】
解：
∵二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2 +k$中，$a=\frac{1}{2}＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
∵$3≤x≤5$，该区间全部在$x＞1$的范围内，
∴当$x=3$时，$y$取得最小值3，
将$x=3$，$y=3$代入解析式得：
$3=\frac{1}{2}×(3-1)^2 +k$
计算得：$3=\frac{1}{2}×4 +k$，即$3=2+k$，
解得$k=1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是先根据开口方向、对称轴判断给定自变量区间内的最值对应点，再代入求值，掌握顶点式二次函数的增减性规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8

10 已知二次函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$，且经过点$(3,0)$，将二次函数的图象向右平移$m(m＞0)$个单位长度，经过点$(1,-\dfrac{15}{4})$，在平移后的图象对应的二次函数中，当$n-2≤ x≤ n+1$时，取得最小值$-3$，则$n$的值是（）

A.$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{9}{2}$
B.$\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{9}{2}$
C.1
D.$-\dfrac{1}{2}$

10. A 【解析】 $\because$ 二次函数图象的顶点为$(1,-4),\therefore$ 可设函数解析式为 $y=a(x-1)^2-4,$将 $(3,0)$ 代入,得 $a=1,$即 $y=(x-1)^2-4.$ 将图象向右平移 $m$ 个单位长度后,对应的函数解析式为 $y=(x-1-m)^2-4,$将 $(1,-\dfrac{15}{4})$ 代入,得 $-\dfrac{15}{4}=(1-1-m)^2-4,$解得 $m=\dfrac{1}{2}$(负值舍去). $\therefore$ 平移后的图象对应的函数解析式为 $y=(x-\dfrac{3}{2})^2-4,$图象的对称轴为直线 $x=\dfrac{3}{2},$顶点坐标为 $(\dfrac{3}{2},-4).$ 令 $(x-\dfrac{3}{2})^2-4=-3,$解得 $x=\dfrac{1}{2}$ 或 $x=\dfrac{5}{2}.\because$ 当 $n-2≤x≤n+1$ 时,函数取得最小值,为 $-3,\therefore n+1=\dfrac{1}{2}$ 或 $n-2=\dfrac{5}{2},$解得 $n=-\dfrac{1}{2}$ 或 $n=\dfrac{9}{2}.$

【分析】
解题思路可分为四步：第一步，已知二次函数顶点坐标，优先设顶点式解析式，代入已知经过的点求出参数a，得到原二次函数解析式；第二步，根据函数图象“左加右减”的平移规律，写出向右平移m个单位后的解析式，代入平移后经过的点求出m的值，得到平移后的二次函数解析式；第三步，平移后的二次函数开口向上，顶点处最小值为-4，题目给定区间内最小值为-3，说明该区间不包含对称轴，此时最小值在区间端点处取得，先求解函数值为-3时对应的x的两个值；第四步，分两种情况讨论：区间整体在对称轴左侧时，最小值在区间右端点，区间整体在对称轴右侧时，最小值在区间左端点，分别列方程求解n即可。
【解析】
∵ 二次函数图象的顶点为$(1,-4)$，
∴ 设二次函数解析式为 $y=a(x-1)^2-4$，
将点$(3,0)$代入解析式，得 $0=a(3-1)^2-4$，解得 $a=1$，
∴ 原二次函数解析式为 $y=(x-1)^2-4$。
将该函数图象向右平移$m(m＞0)$个单位长度，根据“左加右减”的平移规律，平移后解析式为 $y=(x-1-m)^2-4$，
∵ 平移后的图象经过点$(1,-\dfrac{15}{4})$，代入得：
$-\dfrac{15}{4}=(1-1-m)^2-4$，即 $m^2=\dfrac{1}{4}$，
∵ $m＞0$，
∴ $m=\dfrac{1}{2}$，
∴ 平移后的二次函数解析式为 $y=(x-\dfrac{3}{2})^2-4$，
该函数开口向上，对称轴为直线$x=\dfrac{3}{2}$，顶点处最小值为$-4$。
令$y=-3$，则 $(x-\dfrac{3}{2})^2-4=-3$，
解得 $x_1=\dfrac{1}{2}$，$x_2=\dfrac{5}{2}$。
∵ 当$n-2≤ x≤ n+1$时，函数最小值为$-3＞-4$，说明该区间不包含对称轴$x=\dfrac{3}{2}$，最小值在区间端点取得：
① 若区间在对称轴左侧，最小值在右端点$x=n+1$处，故$n+1=\dfrac{1}{2}$，解得$n=-\dfrac{1}{2}$；
② 若区间在对称轴右侧，最小值在左端点$x=n-2$处，故$n-2=\dfrac{5}{2}$，解得$n=\dfrac{9}{2}$。
综上，$n$的值为$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{9}{2}$。
【答案】A
【知识点】二次函数顶点式；二次函数图象平移；二次函数区间最值
【点评】本题综合考查二次函数的相关性质，解题的关键是先求出平移后的函数解析式，再根据区间最小值大于顶点最小值判断区间与对称轴的位置关系，分类讨论求解，注意不要漏解。
【难度系数】0.6

11 已知二次函数$y=-(x-1)^2+2$，当$t＜x＜5$时，y随x的增大而减小，则实数t的取值范围是。

11. $1≤ t＜5$

【分析】
首先，题目给出的是顶点式的二次函数，我们可以先从解析式直接确定抛物线的开口方向、对称轴，进而得到函数的增减区间。题目要求$t＜x＜5$时$y$随$x$的增大而减小，说明这个开区间要完全落在函数的单调递减区间内，同时还要保证区间有效（左端点小于右端点），结合这两个条件就能求出$t$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-1)^2+2$：
1. 由$a=-1＜0$，可知抛物线开口向下；
2. 函数为顶点式，可得对称轴为直线$x=1$；
3. 开口向下的抛物线，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，即$x≥1$时$y$随$x$的增大而减小；
4. 已知$t＜x＜5$时$y$随$x$的增大而减小，说明区间$(t,5)$完全在$x≥1$的范围内，因此$t≥1$；
5. 同时区间$t＜x＜5$需有意义，因此$t＜5$；
综上，$t$的取值范围是$1≤t＜5$。
【答案】
$1≤ t＜5$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；含参区间的取值限制
【点评】
本题是二次函数增减性的典型应用，解题核心是先明确函数的开口方向和对称轴，确定增减区间后再对应给定的自变量范围推导参数取值，注意不要遗漏区间有意义的隐含条件，避免出现$t≥5$的错误。
【难度系数】
0.7

12 小明同学在用描点法画二次函数$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的图象时，列出表格如下：

则表中$m$的值是.

12. 6

【分析】
本题可利用二次函数的对称性求解，解题思路如下：首先，二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象是抛物线，关于对称轴$x=h$对称，纵坐标相等的两个点一定关于对称轴对称。第一步，观察表格找到纵坐标相等的两个点，计算出对称轴；第二步，根据对称轴找到$x=-1$的对称点，对称点的函数值就是$m$的值。
【解析】
解：$\because$ 二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象关于对称轴$x=h$对称，
由表格可知，$x=0$和$x=2$时，对应的函数值$y$均为3，
$\therefore$ 该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$。
设$x=-1$关于直线$x=1$对称的点的横坐标为$x_0$，
则$\frac{-1+x_0}{2}=1$，解得$x_0=3$。
由表格得$x=3$时，$y=6$，根据对称性可知$x=-1$对应的函数值与$x=3$相等，即$m=6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数顶点式的性质
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用，解题核心是利用二次函数的对称性，无需求出完整的函数解析式，只需通过等函数值的点确定对称轴，即可快速求出未知函数值，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8

13 [2025 浙江]在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y=(x-m)^2 +k$ 的图象经过点 $A(m+1,0)$。
（1）求 $k$ 的值；
（2）若该函数图象上有两点 $(t,y_1),(t+2,y_2)$，且 $y_1 - y_2 = -4$，求 $y_1 + y_2$ 的值。

13. (1) $\because$ 二次函数 $y=(x-m)^2 +k$ 的图象经过点 $A(m+1,0),\therefore (m+1-m)^2+k=0,$解得 $k=-1$
(2) 由题意,得 $y_1-y_2=(t-m)^2-1-(t+2-m)^2+1=-4(t-m+1)=-4,$ $\therefore t-m=0.\therefore y_1+y_2=(t-m)^2-1+(t+2-m)^2-1=2$

【分析】
（1）要计算k的值，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将点A的横、纵坐标代入二次函数解析式，化简后即可求出k的值。
（2）先将（1）中求得的k值代入原解析式，分别写出$y_1$、$y_2$的代数式，先利用$y_1-y_2=-4$的已知条件化简等式，求出t与m的关系，再将该关系代入$y_1+y_2$的代数式计算，即可得到结果。
【解析】
（1）
∵ 二次函数 $y=(x-m)^2 +k$ 的图象经过点 $A(m+1,0)$，
∴ 将$x=m+1$，$y=0$代入解析式得：
$(m+1-m)^2+k=0$，
化简得$1+k=0$，
解得 $k=-1$。
（2）由（1）可知二次函数解析式为$y=(x-m)^2 -1$，
将两点坐标分别代入解析式得：
$y_1=(t-m)^2 -1$，$y_2=(t+2-m)^2 -1$，
∵ $y_1 - y_2 = -4$，
∴ $(t-m)^2 -1 -[(t+2-m)^2 -1] = -4$，
设$a=t-m$，则等式可化简为：
$a^2 - (a+2)^2 = -4$，
展开得$a^2 - a^2 -4a -4 = -4$，
解得$a=0$，即$t-m=0$，
代入$y_1+y_2$得：
$y_1+y_2=(t-m)^2 -1 + (t+2-m)^2 -1 = 0 -1 +4 -1 = 2$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{k=-1}$；（2）$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征 2.整式的化简求值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查函数图象与解析式的对应关系，解题过程侧重基础运算能力的应用，掌握二次函数的基本性质和整式化简方法即可快速求解，能很好地巩固相关基础知识点。
【难度系数】
0.85

14 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $ y = a(x - m)^2 - 3(a ＞ 0) $ 上有 $ A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) $ 两点.
(1) 若对于 $ x_1 = -1, x_2 = 3 $，有 $ y_1 = y_2 $，求该抛物线的顶点坐标；
(2) 对于任意实数 $ m $，当 $ m - 2 ＜ x_1 ＜ m - 1, x_2 ＞ m + 2 $ 时，都有 $ y_1 · y_2 ＜ 0 $，求 $ a $ 的值.

14. (1) 由题意,得抛物线的顶点坐标为 $(m,-3),\because x_1=-1,x_2=3,$有 $ y_1=y_2,\therefore m=\dfrac{-1+3}{2}=1. \therefore$ 该抛物线的顶点坐标为 $(1,-3)$
(2) $\because$ 抛物线的对称轴是直线 $ x=m,m-2＜x_1＜m-1,x_2＞m+2,\therefore $ 点 $ A $ 在对称轴的左侧,点 $ B $ 在对称轴的右侧. 设点 $ A(x_1,y_1) $ 关于对称轴的对称点为 $ A'(x_1',y_1) $,则易得 $ m+1＜x_1'＜m+2. \because$ 点 $ A',B $ 在对称轴右侧,且 $ m+1＜x_1'＜m+2＜x_2,a＞0,\therefore y_1＜y_2. \because y_1 · y_2＜0,\therefore y_1＜0,y_2＞0. \therefore$ 当 $ x=m+2 $ 时, $ y=0. $ 把 $ (m+2,0) $ 代入 $ y=a(x-m)^2-3, $ 得 $ a(m+2-m)^2-3=0, $ 解得 $ a=\dfrac{3}{4} $

【分析】
（1）已知抛物线为顶点式，其顶点坐标为$(m,-3)$，要求顶点坐标只需先求出$m$的值。抛物线上纵坐标相等的两点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值，而该抛物线的对称轴是直线$x=m$，代入$x_1=-1$、$x_2=3$即可求出$m$，进而得到顶点坐标。
（2）首先根据两点横坐标与$m$的大小关系，判断出点$A$在对称轴左侧，点$B$在对称轴右侧，利用对称性得到点$A$关于对称轴的对称点$A'$的横坐标范围，结合$a＞0$时对称轴右侧$y$随$x$增大而增大的性质，可得$y_1＜y_2$。由$y_1·y_2＜0$可知$y_1$为负、$y_2$为正，因此边界点$x=m+2$处的函数值恰好为0，将该点代入解析式即可求出$a$的值。
【解析】
(1) 抛物线$y = a(x - m)^2 - 3$的顶点坐标为$(m,-3)$，对称轴为直线$x=m$。
∵$x_1=-1$，$x_2=3$时$y_1=y_2$，
∴A、B两点关于对称轴对称，
∴对称轴$x=m=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-1+3}{2}=1$，
∴该抛物线的顶点坐标为$(1,-3)$。
(2)
∵抛物线对称轴为直线$x=m$，且$m - 2 ＜ x_1 ＜ m - 1$，$x_2 ＞ m + 2$，
∴点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧。
设点A关于对称轴的对称点为$A'(x_1',y_1)$，则$x_1'=2m - x_1$，
由$m-2＜x_1＜m-1$，可得$m+1＜x_1'＜m+2$。
∵$a＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴右侧y随x的增大而增大，
又
∵$m+1＜x_1'＜m+2＜x_2$，
∴$y_1=y_{A'}＜y_2$。
∵$y_1·y_2＜0$，
∴$y_1＜0$，$y_2＞0$，
则当$x=m+2$时，$y=0$。
将$(m+2,0)$代入$y = a(x - m)^2 - 3$，得：
$a(m+2 - m)^2 - 3 = 0$，即$4a-3=0$，
解得$a=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\boxed{(1,-3)}$；(2) $\boxed{a=\dfrac{3}{4}}$
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数的增减性
3. 待定系数法求参数
【点评】
本题围绕二次函数顶点式的性质展开考查，解题的核心是利用对称性确定对称点的位置，结合开口方向和增减性判断函数值的正负关系，找到临界位置的函数值是突破第二问的关键，能有效检验对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6