9.已知$△ ABC$的高$AD$，$BE$所在的直线交于点$F$，若$BF=AC$，求$∠ ABC$的度数.

9. 【解】①当$∠ABC$为锐角时,如图①,
$∵AD,BE$是$△ABC$的高，
$∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°$.
$∴∠C+∠CBE=90°=∠C+∠CAD$.
$∴∠CBE=∠CAD$.
又$∵BF=AC,∴△BDF≌△ADC$.
$∴BD=AD. ∴∠ABD=45°$,即$∠ABC=45°$；
②当$∠ABC$为钝角时,如图②,
同理可证$△BDF≌△ADC$,
$∴BD=AD. ∴∠ABD=45°. ∴∠ABC=135°$.
综上所述,$∠ABC$的度数为$45°$或$135°$.

10. 已知，在$△ OPQ$中，$OP=OQ$，$OP$的垂直平分线交$OP$于点$D$，交直线$OQ$于点$E$，$∠ OEP=50°$，求$∠ POQ$的度数。

10. 【解】①如图①,当$△OPQ$为锐角三角形时,
$∵DE$垂直平分$OP$，
$∴∠ODE=∠PDE=90°,OE=PE$.
$∴∠OED=\frac{1}{2}∠OEP$.
又$∵∠OEP=50°,∴∠OED=25°$.
$∴∠EOD=90°-25°=65°$,即$∠POQ=65°$.
②如图②,当$△OPQ$为钝角三角形时,
$∵DE$垂直平分$OP$，
$∴∠ODE=∠PDE=90°,OE=PE$.
$∴∠OED=\frac{1}{2}∠OEP$.
又$∵∠OEP=50°,∴∠OED=25°$.
$∴∠POQ=90°+25°=115°$.
综上,$∠POQ$的度数为$65°$或$115°$.

11. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AC$边上的中线$BD$把$△ ABC$的周长分为24 cm和30 cm的两部分，求$BC$的长。

11. 【解】$∵BD$为$AC$边上的中线,$∴AD=DC=\frac{1}{2}AC$.
又$∵AB=AC,∴AB=2AD$.
分两种情况,①当$AB+AD=24$ cm时,$2AD+AD=24$ cm,
解得$AD=8$ cm. $∴CD=8$ cm.
$∵BC+CD=30$ cm,$∴BC=30-CD=22$ cm.
②当$AB+AD=30$ cm时,$2AD+AD=30$ cm,
解得$AD=10$ cm. $∴CD=10$ cm.
$∵BC+CD=24$ cm,$∴BC=24-CD=14$ cm.
综上,$BC$的长为14 cm或22 cm.

12.[2025北大附中期中]如图，已知$△ ABC$中，$AB=3$，$AC=5$，$BC=7$，在$△ ABC$所在平面内画一条直线，将$△ ABC$分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）


A.3条
B.4条
C.5条
D.6条

12. B 【点拨】如图所示,当$AB=AF=3$,$BA=BD=3$,$AB=AE=3$,$BG=AG$时,都能得到符合题意的等腰三角形.

13. 过等腰三角形底角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，求原等腰三角形顶角的度数.

13. 【解】分两种情况讨论：
①如图①,
当 $BC = BD = AD, AB = AC$ 时,设$∠A=α$.
$∵BD=AD,∴∠ABD=∠A=α$.
$∴∠CDB=∠ABD+∠A=2α$.
又$∵BC=BD,∴∠C=∠CDB=2α$.
又$∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2α$.
$∵∠A+∠ABC+∠C=180°$,
$∴α+2α+2α=180°$,
解得 $α=36°$,即此时原等腰三角形的顶角为 $36°$；
②如图②,
当 $AD=BD,BC=DC,AB=AC$ 时,设$∠A=β$.
$∵AD=BD,∴∠A=∠ABD=β$.
$∴∠BDC=∠A+∠ABD=2β$.
又$∵BC=DC$,
$∴∠CBD=∠BDC=2β$.
$∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=3β$.
又$∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=3β$.
$∵∠A+∠ABC+∠C=180°$,
$∴β+3β+3β=180°$,解得 $β=(\frac{180}{7})°$,即此时原等腰三角形的顶角为$(\frac{180}{7})°$.
综上,原等腰三角形顶角的度数为 $36°$或$(\frac{180}{7})°$.