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1. [2025泰州期中] 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$在$BC$上,且$AD=BD$.
(1)求证:$∠ ADB=∠ BAC$;
(2)若$E$为$BC$的中点,$∠ DAE=36°$,求$∠ EAC$的度数.
(1)求证:$∠ ADB=∠ BAC$;
(2)若$E$为$BC$的中点,$∠ DAE=36°$,求$∠ EAC$的度数.
答案
1. (1)【证明】
∵AB=AC,AD=BD,
∴∠C=∠B,∠DAB=∠B.
又
∵∠ADB=180°−∠B−∠DAB=180°−2∠B,
∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−2∠B.
∴∠ADB=∠BAC.
(2)【解】
∵AB=AC,E为BC的中点,
∴∠AED=90°.
又
∵∠DAE=36°,
∴∠ADE=90°−∠DAE=90°−36°=54°.
又
∵∠ADE=∠DAB+∠B=2∠B,
∴∠B=27°,即∠C=∠B=27°.
∵∠AED=90°,
∴∠EAC=∠AED−∠C=90°−27°=63°.
∵AB=AC,AD=BD,
∴∠C=∠B,∠DAB=∠B.
又
∵∠ADB=180°−∠B−∠DAB=180°−2∠B,
∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−2∠B.
∴∠ADB=∠BAC.
(2)【解】
∵AB=AC,E为BC的中点,
∴∠AED=90°.
又
∵∠DAE=36°,
∴∠ADE=90°−∠DAE=90°−36°=54°.
又
∵∠ADE=∠DAB+∠B=2∠B,
∴∠B=27°,即∠C=∠B=27°.
∵∠AED=90°,
∴∠EAC=∠AED−∠C=90°−27°=63°.
2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD=DB$，$DE⊥ AB$于点$E$，若$BC=10$，且$△ BDC$的周长为24，求$AE$的长。
答案
2.【解】
∵△BDC 的周长 = BD + BC + CD = 24, 且BC=10,
∴BD+CD=14.
又
∵AD=BD,
∴AC=AD+CD=BD+CD=14.
又
∵AB=AC,
∴AB=14.
∵AD=DB,DE⊥AB,
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=7.
∵△BDC 的周长 = BD + BC + CD = 24, 且BC=10,
∴BD+CD=14.
又
∵AD=BD,
∴AC=AD+CD=BD+CD=14.
又
∵AB=AC,
∴AB=14.
∵AD=DB,DE⊥AB,
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=7.
3. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$CE ⊥ AE$于点$E$，$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC$，点$E$在$△ ABC$外。
求证：$∠ ACE=∠ B$。
求证：$∠ ACE=∠ B$。
答案
3.【证明】如图,过点 A 作 AD⊥BC于点 D.
∵AB=AC,
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC.
又
∵∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC,
∴∠CAD=∠CAE.
∵AD⊥BC,CE⊥AE,
∴∠AEC=∠ADC=90°.
在△ACD 和△ACE 中,
$\begin{cases}∠ADC=∠AEC,\\∠CAD=∠CAE,\\AC=AC,\end{cases}$
∴△ACD≌△ACE.
∴∠ACD=∠ACE.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACD.
∴∠ACE=∠B.
4.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=AC$,$D$为$BC$的中点,$E,F$分别是$AB,AC$上的点,且$BE=AF$.求证:$DE=DF$.
答案
4.【证明】如图,连接 AD.
∵ AB = AC, D 为 BC 的中点,∠BAC = 90°,
∴ AD ⊥ BC,
∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°,∠B=∠C=$\frac{1}{2}$×(180°−90°)=45°.
∴∠BAD=∠DAC=∠B.
∴BD=AD.
又
∵BE=AF,
∴△BDE≌△ADF.
∴DE=DF.
5. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$CD⊥ AB$于点$D$. 求证：$∠ BAC=2∠ DCB$. 
答案
5.【证明】过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,则∠AEB=90°.
∴∠BAE+∠B=90°.
∵AB = AC,AE ⊥ BC,
∴AE 平分∠BAC.
∴∠BAC=2∠BAE.
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°.
∴∠DCB+∠B=90°.
∴∠BAE=∠DCB.
∴∠BAC=2∠DCB.
∴∠BAE+∠B=90°.
∵AB = AC,AE ⊥ BC,
∴AE 平分∠BAC.
∴∠BAC=2∠BAE.
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°.
∴∠DCB+∠B=90°.
∴∠BAE=∠DCB.
∴∠BAC=2∠DCB.
