1. [母题 教材 P155练习T1] 化简$(a - \dfrac{1}{a}) ÷ \dfrac{a - 1}{a}$的结果为（）

A.$a - 1$
B.$a + 1$
C.$\dfrac{1}{a - 1}$
D.$\dfrac{1}{a + 1}$

1.B

2. 下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题,每小题20分,他能得的分数是 ()
①$\frac{x^2 -1}{x -1}=x+1$；
②$3 - x · \frac{2}{3 - x}=2$；
③$1 ÷ \frac{a}{b} · \frac{b}{a}=1$；
④$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}=\frac{x + y}{xy}$；
⑤$( \frac{x}{x +1} -x ) ÷ \frac{x^2 -x}{x +1} = \frac{x -x^2 +x}{x +1} ÷ \frac{x^2 -x}{x +1} = \frac{x(2 -x)}{x +1} · \frac{x +1}{x(x -1)}=\frac{2 -x}{x -1}$；

A.40分
B.60分
C.80分
D.100分

2.A 【点拨】①$\frac{x^2 -1}{x -1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$，故①正确；②$3 - x · \frac{2}{3 - x}=3-\frac{2x}{3-x}=\frac{9-3x-2x}{3-x}=\frac{9-5x}{3-x}$，故②错误；③$1 ÷ \frac{a}{b} · \frac{b}{a}=1·\frac{b}{a}·\frac{b}{a}=\frac{b^2}{a^2}$，故③错误；④$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}=\frac{x + y}{xy}$，故④正确；⑤$( \frac{x}{x +1} -x ) ÷ \frac{x^2 -x}{x +1} = \frac{x-x(x+1)}{x+1}·\frac{x+1}{x(x-1)}=\frac{x-x^2-x}{x(x-1)}=\frac{-x^2}{x(x-1)}=\frac{x}{1-x}$，故⑤错误。故正确的是①④，涂涂的得分为40分。故选A.

3. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分，则破损部分的式子可能是（）


A.$\frac{x-3}{x-1}$
B.$\frac{x+3}{x-1}$
C.$\frac{x^2 - x + 1}{x^2 - x}$
D.$\frac{x^2 + 5x + 1}{x^2 - x}$

3.A

4. 我们常用一个大写字母来表示一个代数式，已知$A=x-\dfrac{2x-1}{x}, B=\dfrac{x-1}{x}$，则化简$A÷ B$的结果为。

4.$x-1$

5. 新视角 结论开放题 小明在化简式子$\frac{m}{m-2} - \frac{2}{m-2} · □$时，发现最终结果是整式，则□表示的式子可以是。

5.$(m-1)$(答案不唯一)

6. 计算：
(1) $\dfrac{a^2}{a-1} - a - 1$；
(2) $( \dfrac{2x}{x+1} - \dfrac{x}{x+1} ) ÷ \dfrac{x}{x^2 - 1}$。

6.【解】(1)原式=$\frac{a^2}{a-1}-\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}$
$=\frac{a^2}{a-1}-\frac{a^2-1}{a-1}=\frac{a^2-a^2+1}{a-1}=\frac{1}{a-1}.$
(2)原式=$\frac{2x-x}{x+1}×\frac{(x+1)(x-1)}{x}$
$=\frac{x}{x+1}×\frac{(x+1)(x-1)}{x}=x-1.$

7. $\boldsymbol{母题}$·2025·广州海珠区期中 教材P156习题T4 先化简：$\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 + 2x} ÷ ( \dfrac{4}{x+2} - 1 )$，再从$-2≤ x≤2$的整数中选一个合适的$x$值代入求值。

7.【解】$\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 + 2x} ÷ ( \frac{4}{x+2} - 1 ) = \frac{(x-2)^2}{x(x+2)} ÷ \frac{4-x-2}{x+2} = \frac{(x-2)^2}{x(x+2)} ÷ \frac{2-x}{x+2} = \frac{(x-2)^2}{x(x+2)}×\frac{x+2}{2-x}=-\frac{x-2}{x}.$
$\because -2≤x≤2$且$x$为整数，$\therefore x=±2,±1,0.$ $\because$易得$x≠0$且$x≠±2$，$\therefore$当$x=1$时，原式$=-\frac{1-2}{1}=1.$
当$x=-1$时，原式$=-\frac{-1-2}{-1}=-3.$

8. [2025 菏泽期中] 若$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{a - b}$，则$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} - 2$的值是（）

A.$1$
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

8.B 【点拨】$\because \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}$，$\therefore \frac{b-a}{ab}=\frac{1}{a-b}$，$\therefore \frac{(a-b)^2}{ab}=-1$，$\therefore \frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=-1$，$\therefore \frac{a}{b}-2+\frac{b}{a}=-1$，即$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}-2=-1.$

9. 已知$a$为整数，且$\frac{a+1}{a-3} - \frac{a-3}{a+2} ÷ \frac{a^2 -6a +9}{a^2 -4}$为正整数，则所有符合条件的$a$的值的和是（）

A.0
B.12
C.10
D.8

9.C 【点拨】$\frac{a+1}{a-3}-\frac{a-3}{a+2}÷\frac{a^2-6a+9}{a^2-4}=\frac{a+1}{a-3}-\frac{a-3}{a+2}·\frac{(a+2)(a-2)}{(a-3)^2}=\frac{a+1}{a-3}-\frac{a-2}{a-3}=\frac{3}{a-3}.$ $\because a$为整数，且分式的值为正整数，$\therefore a-3=1$或3。$\therefore a=4$或6。$\therefore$所有符合条件的$a$的值的和是$4+6=10.$

10. [2025湖州模拟]新定义:若两个分式A与B的差为n(n为正整数),则称A是B的“n差分式”.例如:$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=1$,则称分式$\frac{x}{x-1}$是分式$\frac{1}{x-1}$的“1差分式”.根据以上定义,下列选项中说法错误的是 ()

A.$\frac{4x+3}{x+2}$是$\frac{x-3}{x+2}$的“3差分式”
B.若a的值为-3,则$\frac{12+x}{3+2x}$是$\frac{ax+6}{3+2x}$的“2差分式”
C.若$\frac{2ab}{a^2-4b^2}$是$\frac{a}{a-2b}$的“1差分式”,则$a^2=3b^2$
D.若a与b互为倒数,则$\frac{5a}{a+b^2}$是$\frac{-5b}{a^2+b}$的“5差分式”

10.C 【点拨】A选项，$\frac{4x+3}{x+2}-\frac{x-3}{x+2}=\frac{3x+6}{x+2}=3$，说法正确，故本选项不符合题意；B选项，当$a=-3$时，$\frac{12+x}{3+2x}-\frac{ax+6}{3+2x}=\frac{12+x}{3+2x}-\frac{-3x+6}{3+2x}=\frac{4x+6}{3+2x}=2$，说法正确，故本选项不符合题意；C选项，$\frac{2ab}{a^2-4b^2}-\frac{a}{a-2b}=\frac{2ab}{a^2-4b^2}-\frac{a(a+2b)}{(a-2b)(a+2b)}=-\frac{a^2}{a^2-4b^2}$，把$a^2=3b^2$代入，得原式$=3≠1$，说法错误，故本选项符合题意；D选项，由$a$与$b$互为倒数，得$ab=1$，则$\frac{5a}{a+b^2}-\frac{-5b}{a^2+b}=\frac{5ab}{ab+b^3}-\frac{-5ab}{a^3+ab}=\frac{5}{1+b^3}+\frac{5}{a^3+1}=\frac{5}{1+(\frac{1}{a})^3}+\frac{5}{a^3+1}=\frac{5(a^3+1)}{a^3+1}=5$，说法正确，故本选项不符合题意。故选C.