11. 若 $ p = \frac{1}{n(n+2)} + \frac{1}{(n+2)(n+4)} + \dots + \frac{1}{(n+12)(n+14)} $，则使 $ p $ 最接近 $ \frac{1}{10} $ 的正整数 $ n $ 是（）

A.3
B.4
C.5
D.6

11.B 【点拨】
∵$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}),\frac{1}{(n+2)(n+4)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+4}),…,\frac{1}{(n+12)(n+14)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n+12}-\frac{1}{n+14}),∴p=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})+\frac{1}{2}(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+4})+…+\frac{1}{2}(\frac{1}{n+12}-\frac{1}{n+14})=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+4}+…+\frac{1}{n+12}-\frac{1}{n+14})=\frac{7}{n(n+14)}$，
∴当n=3时，$p=\frac{7}{3×(3+14)}=\frac{7}{51}$，当n=4时，$p=\frac{7}{4×(4+14)}=\frac{7}{72}$，当n=5时，$p=\frac{7}{5×(5+14)}=\frac{7}{95}$，当n=6时，$p=\frac{7}{6×(6+14)}=\frac{7}{120}$，显然$\frac{7}{72}$最接近$\frac{1}{10}$。故选B。

12. 新趋势 跨学科 对于两个正数$p$和$q$有三种平均数，算术平均数$A$、几何平均数$G$、调和平均数$H$，其中$A=\dfrac{p+q}{2},G=\sqrt{pq}$. 调和平均数$H$中的“调和”二字来自于音乐. 毕达哥拉斯学派通过研究发现，如果三根琴弦的长度$p$，$H$，$q$满足$\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{H}=\dfrac{1}{H}-\dfrac{1}{q}$，再把它们绷得一样紧，并用同样的力弹拨琴弦，它们将会分别发出很调和的乐声. 我们称$p$，$H$，$q$为一组调和数，把$H$称为$p$和$q$的调和平均数. 若$A=3,G=2$，则$H$的值为.

12.$\frac{4}{3}$ 【点拨】
∵$A=\frac{p+q}{2}=3,∴p+q=6.∵G=\sqrt{pq}=2,∴pq=4.∵\frac{1}{p}-\frac{1}{H}=\frac{1}{H}-\frac{1}{q},∴\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{2}{H}$，即$\frac{p+q}{pq}=\frac{2}{H}.∴\frac{6}{4}=\frac{2}{H}.∴H=\frac{4}{3}$。

13.[2025淄博月考] 甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元.出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到x名，如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来少元.

13.$\frac{9000}{x^2-3x}$ 【点拨】由题意可知，原来人均车费为$\frac{3000}{x-3}$元，实际人均车费为$\frac{3000}{x}$元。则$\frac{3000}{x-3}-\frac{3000}{x}=\frac{3000x-3000(x-3)}{x(x-3)}=\frac{9000}{x^2-3x}$(元)，即甲厂为员工支付的人均车费可比原来少$\frac{9000}{x^2-3x}$元。

14. 2025·岳阳期中 新视角·规律探究题 对于正数$x$，规定：$f(x)=\dfrac{x}{x+1}$。
例如：$f(1)=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$，$f(2)=\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3}$，
$f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{1}{3}$。
（1）求值：$f(3)=$；$f(\dfrac{1}{3})=$；
$f(4)+f(\dfrac{1}{4})=$；
（2）猜想：$f(x)+f(\dfrac{1}{x})=$，并证明你的结论；
（3）求 $f(\dfrac{1}{2025})+f(\dfrac{1}{2024})+\dots +f(\dfrac{1}{2})+f(\dfrac{1}{1})+f(2)+\dots +f(2024)+f(2025)$ 的值。

14.【解】(1)$\frac{3}{4};\frac{1}{4};1$
(2)1
证明:$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x+1}+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+1}=\frac{x}{x+1}+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{x+1}{x}}=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$。
(3)原式$=[f(2025)+f(\frac{1}{2025})]+[f(2024)+f(\frac{1}{2024})]+…+[f(2)+f(\frac{1}{2})]+f(1)=1+1+…+1+0.5=2024×1+0.5=2024.5$。

15. 新考法 作差比较法 已知$b＞a＞0$.
(1)若$A=a^2+2b$，$B=2b-1$，试比较$A-B$与0的大小.
(2)分式$\frac{a}{b}$的分子、分母都加1，所得的分式$\frac{a+1}{b+1}$的值与$\frac{a}{b}$相比增大了还是减小了？请说明理由.
(3)将分式$\frac{a}{b}$的分子、分母都加$c$($c≠0$且$b+c≠0$)，比较所得的分式$\frac{a+c}{b+c}$的值与$\frac{a}{b}$的大小，并说明理由.

15.【解】(1)$∵A=a^2+2b,B=2b-1$，
$∴A-B=a^2+2b-(2b-1)=a^2+1＞0$。
(2)增大了。
理由:$\frac{a+1}{b+1}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+1)-a(b+1)}{b(b+1)}=\frac{b-a}{b(b+1)}$。
$∵b＞a＞0,∴b-a＞0,b(b+1)＞0$。
$∴\frac{b-a}{b(b+1)}＞0.∴\frac{a+1}{b+1}-\frac{a}{b}＞0,即\frac{a+1}{b+1}＞\frac{a}{b}$。
$∴分式\frac{a+1}{b+1}的值与\frac{a}{b}相比增大了。$
(3)当$c＞0$或$c＜-b$时，$\frac{a+c}{b+c}＞\frac{a}{b}$；当$-b＜c＜0$时，$\frac{a+c}{b+c}＜\frac{a}{b}$。理由：
$\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+c)-a(b+c)}{b(b+c)}=\frac{bc-ac}{b(b+c)}=\frac{(b-a)c}{b(b+c)}$。
$∵b＞a＞0,∴b-a＞0$。
①当$c＞0$时，$\frac{(b-a)c}{b(b+c)}＞0.∴\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}＞0.∴\frac{a+c}{b+c}＞\frac{a}{b}$。
②当$c＜0$时，
(ⅰ)若$b+c＞0$，即$-b＜c＜0$，则$\frac{(b-a)c}{b(b+c)}＜0$。
$∴\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}＜0.∴\frac{a+c}{b+c}＜\frac{a}{b}$。
(ⅱ)若$b+c＜0$，即$c＜-b$，则$\frac{(b-a)c}{b(b+c)}＞0$。
$∴\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}＞0.∴\frac{a+c}{b+c}＞\frac{a}{b}$。
综上所述，当$c＞0$或$c＜-b$时，$\frac{a+c}{b+c}＞\frac{a}{b}$；当$-b＜c＜0$时，$\frac{a+c}{b+c}＜\frac{a}{b}$。