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11.一块麦田有a公顷，甲收割机单独收完这块麦田用b小时，让乙收割机单独来收这块麦田，结果比甲收割机多用1小时收割完，这两台收割机共同来收割这块麦田需要
$\frac{b(b+1)}{2b+1}$
小时完成。答案
11.$\frac{b(b+1)}{2b+1}$ 【点拨】由题意，得$a÷(\frac{a}{b}+\frac{a}{b+1})=a÷[\frac{a(b+1)+ab}{b(b+1)}]=a·\frac{b(b+1)}{2ab+a}=\frac{b(b+1)}{2b+1}$，即两台收割机共同来收割这块麦田需要$\frac{b(b+1)}{2b+1}$小时完成.
12. 若设 $ A = \dfrac{a - 2}{1 + 2a + a^2} ÷ ( a - \dfrac{3a}{a + 1} ) $，当 $ a = 3 $ 时，记此时 $ A $ 的值为 $ f(3) $；当 $ a = 4 $ 时，记此时 $ A $ 的值为 $ f(4) $；….
解关于 $ x $ 的不等式：$ \dfrac{x - 2}{2} - \dfrac{7 - x}{4} ≤ f(3) + f(4) + \dots + f(11) $，并将解集在数轴上表示出来.
解关于 $ x $ 的不等式：$ \dfrac{x - 2}{2} - \dfrac{7 - x}{4} ≤ f(3) + f(4) + \dots + f(11) $，并将解集在数轴上表示出来.
答案
12.【解】$A=\frac{a-2}{(a+1)^2}÷\frac{a^2-2a}{a+1}=\frac{a-2}{(a+1)^2}·\frac{a+1}{a(a-2)}=\frac{1}{a(a+1)}.$
$\because f(a)=\frac{1}{a(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1},$
$\therefore f(3)+f(4)+\dots+f(11)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\dots+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}=\frac{1}{3}-\frac{1}{12}=\frac{1}{4}.$
$\therefore \frac{x-2}{2}-\frac{7-x}{4}≤\frac{1}{4}.$ 解得$x≤4.$
$\therefore$原不等式的解集是$x≤4.$
在数轴上表示如图所示。
13. [2025福州校级期中]【阅读理解】
阅读下面的解题过程:已知$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$,求$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$知$x≠0$,$\therefore \frac{x^2 + 1}{x} = 3$,即$x + \frac{1}{x} = 3$.①
$\therefore \frac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$.②
故$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值为$\frac{1}{7}$.
(1)第②步$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$运用了公式:
【类比探究】
(2)上题的解法叫做“倒数法”,请你利用“倒数法”解决下面的问题:
已知$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = -2$,求$\frac{x^2}{x^4 + 5x^2 + 1}$的值.
【拓展延伸】
(3)已知$\frac{ab}{a + b} = \frac{1}{15}$,$\frac{bc}{b + c} = \frac{1}{17}$,$\frac{ac}{a + c} = \frac{1}{16}$.求$\frac{abc}{ab + bc + ac}$的值.
阅读下面的解题过程:已知$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$,求$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$知$x≠0$,$\therefore \frac{x^2 + 1}{x} = 3$,即$x + \frac{1}{x} = 3$.①
$\therefore \frac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$.②
故$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值为$\frac{1}{7}$.
(1)第②步$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$运用了公式:
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
;(要求:用含$a,b$的式子表示)【类比探究】
(2)上题的解法叫做“倒数法”,请你利用“倒数法”解决下面的问题:
已知$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = -2$,求$\frac{x^2}{x^4 + 5x^2 + 1}$的值.
【拓展延伸】
(3)已知$\frac{ab}{a + b} = \frac{1}{15}$,$\frac{bc}{b + c} = \frac{1}{17}$,$\frac{ac}{a + c} = \frac{1}{16}$.求$\frac{abc}{ab + bc + ac}$的值.
答案
13.【解】(1)$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
(2)由$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = -2$知$x≠0$,$\therefore \frac{x^2 - 3x + 1}{x}=-\frac{1}{2},$
$\therefore x-3+\frac{1}{x}=-\frac{1}{2},$$\therefore x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2},$
$\therefore \frac{x^4 + 5x^2 + 1}{x^2}=x^2+5+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2+5=(\frac{5}{2})^2+3=\frac{37}{4},$
$\therefore \frac{x^2}{x^4 + 5x^2 + 1}=\frac{4}{37}.$
(3)易知$abc≠0$,$\because \frac{ab}{a+b}=\frac{1}{15}$,$\frac{bc}{b+c}=\frac{1}{17}$,$\frac{ac}{a+c}=\frac{1}{16},$
$\therefore \frac{a+b}{ab}=15$,$\frac{b+c}{bc}=17$,$\frac{a+c}{ac}=16,$
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=15$,$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=17$,$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=16,$
$\therefore 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=15+17+16=48,$
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=24,$
$\therefore \frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=24,$
$\therefore \frac{abc}{ab+bc+ac}=\frac{1}{24}.$
(2)由$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = -2$知$x≠0$,$\therefore \frac{x^2 - 3x + 1}{x}=-\frac{1}{2},$
$\therefore x-3+\frac{1}{x}=-\frac{1}{2},$$\therefore x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2},$
$\therefore \frac{x^4 + 5x^2 + 1}{x^2}=x^2+5+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2+5=(\frac{5}{2})^2+3=\frac{37}{4},$
$\therefore \frac{x^2}{x^4 + 5x^2 + 1}=\frac{4}{37}.$
(3)易知$abc≠0$,$\because \frac{ab}{a+b}=\frac{1}{15}$,$\frac{bc}{b+c}=\frac{1}{17}$,$\frac{ac}{a+c}=\frac{1}{16},$
$\therefore \frac{a+b}{ab}=15$,$\frac{b+c}{bc}=17$,$\frac{a+c}{ac}=16,$
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=15$,$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=17$,$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=16,$
$\therefore 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=15+17+16=48,$
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=24,$
$\therefore \frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=24,$
$\therefore \frac{abc}{ab+bc+ac}=\frac{1}{24}.$
