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7. [2026六安裕安区段考]如图,为了测量河两岸A,B两点的距离,过点B作BM⊥AB,在BM上取两点C,D,使得BC=CD,再过点D作BM的垂线DE,使得点E,C,A在同一条直线上.若BD=12 m,DE=8 m,CE=10 m,则A,B两点的距离是 (
A.6 m
B.8 m
C.10 m
D.12 m
B
)A.6 m
B.8 m
C.10 m
D.12 m
答案
$\because BC = DC,BD = 12\ \mathrm{m},\therefore DC = BC = 6\ \mathrm{m}.\because AB⊥ BC,ED⊥ BD,\therefore ∠ ABC = ∠ EDC = 90°$. 在$△ ABC$和$△ EDC$中,
$\begin{cases}∠ ABC = ∠ EDC,\\BC = DC,\\∠ ACB = ∠ ECD,\end{cases}$ $\therefore △ ABC≌△ EDC(\mathrm{ASA}),\therefore AB = DE = 8\ \mathrm{m}.$
$\begin{cases}∠ ABC = ∠ EDC,\\BC = DC,\\∠ ACB = ∠ ECD,\end{cases}$ $\therefore △ ABC≌△ EDC(\mathrm{ASA}),\therefore AB = DE = 8\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
要计算A、B两点的距离，可通过证明△ABC与△EDC全等，将AB转化为已知长度的线段求解。首先根据BD的长度和BC=CD的条件，先求出BC、CD的长度；再由垂直的定义得到两个直角相等，结合对顶角相等、BC=CD的条件，用ASA判定两个三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质即可得到AB的长度。
【解析】
$\because BC = DC,BD = 12\ \mathrm{m},\therefore DC = BC = \frac{1}{2}BD = 6\ \mathrm{m}$。
$\because AB⊥ BM,ED⊥ BM,\therefore ∠ ABC = ∠ EDC = 90°$。
在$△ ABC$和$△ EDC$中:
$\begin{cases}∠ ABC = ∠ EDC\\BC = DC\\∠ ACB = ∠ ECD\ (\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EDC(\mathrm{ASA})$，根据全等三角形对应边相等可得，$AB = DE = 8\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
ASA判定三角形全等、全等三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量场景中的典型应用，解题核心是结合图形特征和已知条件挖掘全等判定所需的边、角条件，通过全等将未知边转化为已知边求解，侧重考查基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.8
要计算A、B两点的距离，可通过证明△ABC与△EDC全等，将AB转化为已知长度的线段求解。首先根据BD的长度和BC=CD的条件，先求出BC、CD的长度；再由垂直的定义得到两个直角相等，结合对顶角相等、BC=CD的条件，用ASA判定两个三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质即可得到AB的长度。
【解析】
$\because BC = DC,BD = 12\ \mathrm{m},\therefore DC = BC = \frac{1}{2}BD = 6\ \mathrm{m}$。
$\because AB⊥ BM,ED⊥ BM,\therefore ∠ ABC = ∠ EDC = 90°$。
在$△ ABC$和$△ EDC$中:
$\begin{cases}∠ ABC = ∠ EDC\\BC = DC\\∠ ACB = ∠ ECD\ (\mathrm{对顶角相等})\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EDC(\mathrm{ASA})$，根据全等三角形对应边相等可得，$AB = DE = 8\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
ASA判定三角形全等、全等三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量场景中的典型应用，解题核心是结合图形特征和已知条件挖掘全等判定所需的边、角条件，通过全等将未知边转化为已知边求解，侧重考查基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.8
8. [2026天津六十一中月考]如图,已知点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=∠ACD=60°,AB=CE,则图中与BC相等的线段是 (
A.AC
B.DE
C.DC
D.AD
B
)A.AC
B.DE
C.DC
D.AD
答案
$\because ∠ B = ∠ E = ∠ ACD = 60°($见三等角,想到“一线三等角”模型,见本章专项1$),\therefore ∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 120° - ∠ ACB,∠ ECD = 180° - ∠ ACD - ∠ ACB = 120° - ∠ ACB,\therefore ∠ BAC = ∠ ECD$. 在$△ ABC$和$△ CED$中,
$\begin{cases}∠ BAC = ∠ ECD,\\AB = CE,\\∠ B = ∠ E,\end{cases}$ $\therefore △ ABC≌△ CED(\mathrm{ASA}),\therefore BC = DE.$
$\begin{cases}∠ BAC = ∠ ECD,\\AB = CE,\\∠ B = ∠ E,\end{cases}$ $\therefore △ ABC≌△ CED(\mathrm{ASA}),\therefore BC = DE.$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，存在3个均为60°的角，且点B、C、E在同一直线上，属于典型的“一线三等角”模型。第一步先推导相等的角：结合三角形内角和为180°、平角为180°的性质，可推出∠BAC与∠ECD相等；第二步结合已知条件AB=CE、∠B=∠E，刚好符合两角及其夹边对应相等的全等判定规则，可证明△ABC与△CED全等；第三步根据全等三角形对应边相等，即可找到与BC相等的线段。
【解析】
∵ $∠ B=∠ E=∠ ACD=60°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BAC=180°-∠ B-∠ ACB=120°-∠ ACB$，
根据平角为$180°$，可得$∠ ECD=180°-∠ ACD-∠ ACB=120°-∠ ACB$，
∴ $∠ BAC=∠ ECD$。
在$△ ABC$和$△ CED$中：
$\begin{cases}∠ BAC = ∠ ECD,\\AB = CE,\\∠ B = ∠ E,\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ CED(\mathrm{ASA})$，
根据全等三角形对应边相等，可得$BC=DE$。
【答案】
B
【知识点】
ASA全等判定、全等三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题依托“一线三等角”模型考查全等三角形的判定与性质，解题核心是通过角度推导得到对应相等的角，结合已知边相等证明三角形全等，熟练掌握全等判定定理是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，存在3个均为60°的角，且点B、C、E在同一直线上，属于典型的“一线三等角”模型。第一步先推导相等的角：结合三角形内角和为180°、平角为180°的性质，可推出∠BAC与∠ECD相等；第二步结合已知条件AB=CE、∠B=∠E，刚好符合两角及其夹边对应相等的全等判定规则，可证明△ABC与△CED全等；第三步根据全等三角形对应边相等，即可找到与BC相等的线段。
【解析】
∵ $∠ B=∠ E=∠ ACD=60°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BAC=180°-∠ B-∠ ACB=120°-∠ ACB$，
根据平角为$180°$，可得$∠ ECD=180°-∠ ACD-∠ ACB=120°-∠ ACB$，
∴ $∠ BAC=∠ ECD$。
在$△ ABC$和$△ CED$中：
$\begin{cases}∠ BAC = ∠ ECD,\\AB = CE,\\∠ B = ∠ E,\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ CED(\mathrm{ASA})$，
根据全等三角形对应边相等，可得$BC=DE$。
【答案】
B
【知识点】
ASA全等判定、全等三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题依托“一线三等角”模型考查全等三角形的判定与性质，解题核心是通过角度推导得到对应相等的角，结合已知边相等证明三角形全等，熟练掌握全等判定定理是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
9. [2026合肥四十二中期末]如图,在△ABC中,CP平分∠ACB,AP⊥CP于点P,已知△ABC的面积为2 cm²,则阴影部分的面积为
1
cm².答案
如图,延长$AP$交$BC$于点$D$. $\because CP$平分$∠ ACB$,$\therefore ∠ ACP = ∠ DCP.\because AP⊥ CP,\therefore ∠ APC = ∠ DPC = 90°$. 在$△ ACP$和$△ DCP$中,$\begin{cases}∠ ACP = ∠ DCP,\\CP = CP,\\∠ APC = ∠ DPC,\end{cases}$ $\therefore △ ACP≌△ DCP(\mathrm{ASA}),\therefore AP = DP,\therefore S_{△ ABP} = \frac{1}{2}S_{△ ABD},S_{△ ACP} = \frac{1}{2}S_{△ ACD},\therefore$ 阴影部分的面积为$S_{△ ABP} + S_{△ ACP} = \frac{1}{2}(S_{△ ABD} + S_{△ ACD}) = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×2 = 1(\mathrm{cm}^2).$
解析
【分析】
遇到角平分线和角平分线上的垂线组合的条件时，通常可以通过延长垂线与角的另一边相交构造全等三角形。本题先延长AP交BC于点D，首先证明△ACP和△DCP全等得到AP=DP，再利用等底同高的三角形面积相等的性质，将阴影部分面积转化为△ABC面积的一半，即可快速求解。
【解析】
如图，延长$AP$交$BC$于点$D$.
$\because CP$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ ACP = ∠ DCP$.
$\because AP⊥ CP$，$\therefore ∠ APC = ∠ DPC = 90°$.
在$△ ACP$和$△ DCP$中，
$\begin{cases}∠ ACP = ∠ DCP,\\CP = CP,\\∠ APC = ∠ DPC,\end{cases}$
$\therefore △ ACP≌△ DCP(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AP = DP$，即P为AD的中点。
根据等底同高的三角形面积相等，可得$S_{△ ABP} = \frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ ACP} = \frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
$\therefore$ 阴影部分的面积为$S_{△ ABP} + S_{△ ACP} = \frac{1}{2}(S_{△ ABD} + S_{△ ACD}) = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
已知$S_{△ ABC}=2\mathrm{cm}^2$，代入得阴影部分面积为$\frac{1}{2}×2 = 1(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$1$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；三角形面积计算
【点评】
本题是典型的构造全等三角形的题型，解题核心是根据“角平分线+垂线”的特征作延长AP的辅助线，通过全等转化线段关系，再利用等底同高的三角形面积关系完成面积转化，能有效考查学生对几何辅助线做法和面积转化方法的掌握程度。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线和角平分线上的垂线组合的条件时，通常可以通过延长垂线与角的另一边相交构造全等三角形。本题先延长AP交BC于点D，首先证明△ACP和△DCP全等得到AP=DP，再利用等底同高的三角形面积相等的性质，将阴影部分面积转化为△ABC面积的一半，即可快速求解。
【解析】
如图，延长$AP$交$BC$于点$D$.
$\because CP$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ ACP = ∠ DCP$.
$\because AP⊥ CP$，$\therefore ∠ APC = ∠ DPC = 90°$.
在$△ ACP$和$△ DCP$中，
$\begin{cases}∠ ACP = ∠ DCP,\\CP = CP,\\∠ APC = ∠ DPC,\end{cases}$
$\therefore △ ACP≌△ DCP(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AP = DP$，即P为AD的中点。
根据等底同高的三角形面积相等，可得$S_{△ ABP} = \frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ ACP} = \frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
$\therefore$ 阴影部分的面积为$S_{△ ABP} + S_{△ ACP} = \frac{1}{2}(S_{△ ABD} + S_{△ ACD}) = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
已知$S_{△ ABC}=2\mathrm{cm}^2$，代入得阴影部分面积为$\frac{1}{2}×2 = 1(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$1$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；三角形面积计算
【点评】
本题是典型的构造全等三角形的题型，解题核心是根据“角平分线+垂线”的特征作延长AP的辅助线，通过全等转化线段关系，再利用等底同高的三角形面积关系完成面积转化，能有效考查学生对几何辅助线做法和面积转化方法的掌握程度。
【难度系数】
0.7
10. [2026亳州期末]如图，已知$P(3,3)$，点$B$，$A$分别在$x$轴正半轴和$y$轴正半轴上，$∠ APB = 90°$,则$OA + OB =$
6
。答案
如图,过点$P$作$PM⊥ y$轴于点$M$,$PN⊥ x$轴于点$N$. $\because P(3,3),\therefore PN = PM = OM = ON = 3.\because x$轴$⊥ y$轴,$\therefore ∠ MON = ∠ PNO = ∠ PNB = ∠ PMO = 90°,\therefore ∠ MPN = 360° - 90° - 90° - 90° = 90°.\because ∠ APB = 90°,\therefore ∠ APB = ∠ MPN$.
$\because ∠ APM = ∠ NPM - ∠ APN,∠ BPN = ∠ APB - ∠ APN$,
$\therefore ∠ APM = ∠ BPN$. 在$△ APM$和$△ BPN$中,$\begin{cases}∠ APM = ∠ BPN,\\PM = PN,\\∠ PMA = ∠ PNB,\end{cases}$
$\therefore △ APM≌△ BPN(\mathrm{ASA}),\therefore AM = BN,\therefore OA + OB = OA + ON + BN = OA + ON + AM = ON + OM = 3 + 3 = 6.$
解析
【分析】
已知点P坐标为(3,3)，且∠APB=90°，要求OA+OB的和，可先过P作x轴、y轴的垂线，将坐标转化为线段长度；再利用直角的关系推导相等的角，证明△APM和△BPN全等，将所求线段进行转化，即可计算出OA+OB的值。
【解析】
过点$P$作$PM⊥ y$轴于点$M$，$PN⊥ x$轴于点$N$，
$\because P(3,3)$，$\therefore PN = PM = OM = ON = 3$。
$\because x$轴$⊥ y$轴，$\therefore ∠ MON = ∠ PNO = ∠ PNB = ∠ PMO = 90°$，
$\therefore ∠ MPN = 360° - 90° - 90° - 90° = 90°$。
$\because ∠ APB = 90°$，$\therefore ∠ APB = ∠ MPN$。
$\because ∠ APM = ∠ MPN - ∠ APN$，$∠ BPN = ∠ APB - ∠ APN$，
$\therefore ∠ APM = ∠ BPN$。
在$△ APM$和$△ BPN$中，
$\begin{cases}∠ APM = ∠ BPN,\\PM = PN,\\∠ PMA = ∠ PNB,\end{cases}$
$\therefore △ APM≌△ BPN(\mathrm{ASA})$，$\therefore AM = BN$。
$\therefore OA + OB = OA + ON + BN = OA + ON + AM = ON + OM = 3 + 3 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
ASA判定三角形全等、全等三角形的性质、坐标与图形性质
【点评】
本题属于坐标与几何的综合题型，核心解题思路是构造垂线得到全等三角形，将未知线段和转化为已知长度的线段之和，能有效考查学生的辅助线构造能力和全等知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
已知点P坐标为(3,3)，且∠APB=90°，要求OA+OB的和，可先过P作x轴、y轴的垂线，将坐标转化为线段长度；再利用直角的关系推导相等的角，证明△APM和△BPN全等，将所求线段进行转化，即可计算出OA+OB的值。
【解析】
过点$P$作$PM⊥ y$轴于点$M$，$PN⊥ x$轴于点$N$，
$\because P(3,3)$，$\therefore PN = PM = OM = ON = 3$。
$\because x$轴$⊥ y$轴，$\therefore ∠ MON = ∠ PNO = ∠ PNB = ∠ PMO = 90°$，
$\therefore ∠ MPN = 360° - 90° - 90° - 90° = 90°$。
$\because ∠ APB = 90°$，$\therefore ∠ APB = ∠ MPN$。
$\because ∠ APM = ∠ MPN - ∠ APN$，$∠ BPN = ∠ APB - ∠ APN$，
$\therefore ∠ APM = ∠ BPN$。
在$△ APM$和$△ BPN$中，
$\begin{cases}∠ APM = ∠ BPN,\\PM = PN,\\∠ PMA = ∠ PNB,\end{cases}$
$\therefore △ APM≌△ BPN(\mathrm{ASA})$，$\therefore AM = BN$。
$\therefore OA + OB = OA + ON + BN = OA + ON + AM = ON + OM = 3 + 3 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
ASA判定三角形全等、全等三角形的性质、坐标与图形性质
【点评】
本题属于坐标与几何的综合题型，核心解题思路是构造垂线得到全等三角形，将未知线段和转化为已知长度的线段之和，能有效考查学生的辅助线构造能力和全等知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
11. [2026池州段考]如图,在四边形ABCD中,点E为对角线BD上一点,∠A=∠BEC,AD//BC,且AD=BE.
(1)求证:△ABD≌△ECB;
(2)若BD - AD = 9,BC + BE = 21,求BD和BE的长.
(1)求证:△ABD≌△ECB;
(2)若BD - AD = 9,BC + BE = 21,求BD和BE的长.
答案
(1)证明:$\because AD// BC,\therefore ∠ ADB = ∠ EBC$.
在$△ ABD$和$△ ECB$中,$\begin{cases}∠ A = ∠ BEC,\\AD = EB,\\∠ ADB = ∠ EBC,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ECB(\mathrm{ASA}).$
(2)解:$\because △ ABD≌△ ECB,\therefore BD = BC$.
又$\because AD = BE$,
$\therefore BD - AD = BD - BE = 9,BC + BE = BD + BE = 21.$
联立,得$\begin{cases}BD - BE = 9,\\BD + BE = 21,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}BD = 15,\\BE = 6.\end{cases}$
在$△ ABD$和$△ ECB$中,$\begin{cases}∠ A = ∠ BEC,\\AD = EB,\\∠ ADB = ∠ EBC,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ECB(\mathrm{ASA}).$
(2)解:$\because △ ABD≌△ ECB,\therefore BD = BC$.
又$\because AD = BE$,
$\therefore BD - AD = BD - BE = 9,BC + BE = BD + BE = 21.$
联立,得$\begin{cases}BD - BE = 9,\\BD + BE = 21,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}BD = 15,\\BE = 6.\end{cases}$
解析
【分析】
（1）要证明△ABD≌△ECB，首先梳理已知条件：已有一组角相等∠A=∠BEC，一组边相等AD=BE，还缺一组对应相等的条件。由AD//BC，根据平行线的内错角相等，可得∠ADB=∠EBC，此时三个条件恰好符合ASA全等判定规则，即可完成证明。
（2）根据全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，可得BD=BC，结合已知AD=BE，将题目给出的BD-AD=9、BC+BE=21中的AD替换为BE、BC替换为BD，就能得到关于BD和BE的二元一次方程组，解方程组即可求出两者的长度。
【解析】
(1)证明:$\because AD// BC,\therefore ∠ ADB = ∠ EBC$.
在$△ ABD$和$△ ECB$中,$\begin{cases}∠ A = ∠ BEC,\\AD = EB,\\∠ ADB = ∠ EBC,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ECB(\mathrm{ASA}).$
(2)解:$\because △ ABD≌△ ECB,\therefore BD = BC$.
又$\because AD = BE$,
$\therefore BD - AD = BD - BE = 9,BC + BE = BD + BE = 21.$
联立,得$\begin{cases}BD - BE = 9,\\BD + BE = 21,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}BD = 15,\\BE = 6.\end{cases}$
【答案】
(1) $△ ABD≌△ ECB$得证；(2) $BD=15$，$BE=6$
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定与性质，二元一次方程组的应用
【点评】
本题属于几何基础综合题，第一问条件指向明确，侧重考查平行线性质和全等判定定理的基础应用；第二问需要利用全等性质完成等量代换，将几何条件转化为代数方程求解，体现了数形结合的思想，整体侧重基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABD≌△ECB，首先梳理已知条件：已有一组角相等∠A=∠BEC，一组边相等AD=BE，还缺一组对应相等的条件。由AD//BC，根据平行线的内错角相等，可得∠ADB=∠EBC，此时三个条件恰好符合ASA全等判定规则，即可完成证明。
（2）根据全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，可得BD=BC，结合已知AD=BE，将题目给出的BD-AD=9、BC+BE=21中的AD替换为BE、BC替换为BD，就能得到关于BD和BE的二元一次方程组，解方程组即可求出两者的长度。
【解析】
(1)证明:$\because AD// BC,\therefore ∠ ADB = ∠ EBC$.
在$△ ABD$和$△ ECB$中,$\begin{cases}∠ A = ∠ BEC,\\AD = EB,\\∠ ADB = ∠ EBC,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ECB(\mathrm{ASA}).$
(2)解:$\because △ ABD≌△ ECB,\therefore BD = BC$.
又$\because AD = BE$,
$\therefore BD - AD = BD - BE = 9,BC + BE = BD + BE = 21.$
联立,得$\begin{cases}BD - BE = 9,\\BD + BE = 21,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}BD = 15,\\BE = 6.\end{cases}$
【答案】
(1) $△ ABD≌△ ECB$得证；(2) $BD=15$，$BE=6$
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定与性质，二元一次方程组的应用
【点评】
本题属于几何基础综合题，第一问条件指向明确，侧重考查平行线性质和全等判定定理的基础应用；第二问需要利用全等性质完成等量代换，将几何条件转化为代数方程求解，体现了数形结合的思想，整体侧重基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
12. 推理能力 在$△ ABC$中，$∠ B=60°$，$D$，$E$分别为$AB$，$BC$上的点，且$AE$，$CD$交于点$F$.
(1)如图1，若$AE$，$CD$为$△ ABC$的角平分线.
①求$∠ AFC$的度数；
②若$AD=3$，$CE=2$，求$AC$的长.
(2)如图2，若$∠ EAC = ∠ DCA = 30°$，求证：$AD = CE$.
(1)如图1，若$AE$，$CD$为$△ ABC$的角平分线.
①求$∠ AFC$的度数；
②若$AD=3$，$CE=2$，求$AC$的长.
(2)如图2，若$∠ EAC = ∠ DCA = 30°$，求证：$AD = CE$.
答案
解题思路:(1)①根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算. ②在$AC$上截取$AG = AD = 3$,连接$FG$,证明$△ ADF≌△ AGF,△ CGF≌△ CEF$,则$AC = AG + GC = AD + CE$. (2)在$FE$上截取$FH = FD$,连接$CH$,证明$△ ADF≌△ CHF$,则$AD = CH$. 再由三角形的外角的性质得$∠ CEH = ∠ CHE$,易得$CE = CH$,故$AD = CE$.
(1)解:①$\because AE,CD$为$△ ABC$的角平分线,
$\therefore ∠ FAC = \frac{1}{2}∠ BAC,∠ FCA = \frac{1}{2}∠ BCA$.
$\because ∠ B = 60°,\therefore ∠ BAC + ∠ BCA = 120°$,
$\therefore ∠ AFC = 180° - ∠ FAC - ∠ FCA = 180° - \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ BCA) = 120°.$
②如图1,在$AC$上截取$AG = AD = 3$,连接$FG$.
$\because AE,CD$为$△ ABC$的角平分线,
$\therefore ∠ FAC = ∠ FAD,∠ FCA = ∠ FCE$.
$\because ∠ AFC = 120°,\therefore ∠ AFD = ∠ CFE = 60°$.
在$△ ADF$和$△ AGF$中,$\begin{cases}AD = AG,\\∠ DAF = ∠ GAF,\\AF = AF,\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ AGF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ AFG = ∠ AFD = 60°$,
$\therefore ∠ GFC = 60° = ∠ CFE$.
在$△ CGF$和$△ CEF$中,$\begin{cases}∠ GFC = ∠ EFC,\\CF = CF,\\∠ GCF = ∠ ECF,\end{cases}$
$\therefore △ CGF≌△ CEF(\mathrm{ASA}),\therefore CG = CE = 2$,
$\therefore AC = AG + GC = 3 + 2 = 5.$
(2)证明:如图2,在$FE$上截取$FH = FD$,连接$CH$.
$\because ∠ FAC = ∠ FCA = 30°,\therefore FA = FC$.
在$△ ADF$和$△ CHF$中,$\begin{cases}AF = CF,\\∠ AFD = ∠ CFH,\\DF = HF,\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ CHF(\mathrm{SAS}),\therefore AD = CH,∠ DAF = ∠ HCF$.
$\because ∠ CEH = ∠ B + ∠ DAF = 60° + ∠ DAF$,
$∠ CHE = ∠ HFC + ∠ HCF = 60° + ∠ HCF$,
$\therefore ∠ CEH = ∠ CHE,\therefore CE = CH,\therefore AD = CE.$
解析
【分析】
(1)①已知AE、CD是△ABC的角平分线，∠B=60°，先由三角形内角和定理求出∠BAC+∠BCA的度数，再根据角平分线的定义得到∠FAC与∠FCA分别是∠BAC、∠BCA的一半，即可求出∠FAC+∠FCA的度数，最后在△AFC中利用内角和定理计算∠AFC的度数。
②已知AD和CE的长度，要计算AC的长，可采用截长补短的思路：在AC上截取AG=AD，先通过SAS证明△ADF≌△AGF，得到对应角相等，再结合∠AFC的度数推导角的等量关系，通过ASA证明△CGF≌△CEF，得到CG=CE，即可得AC=AG+GC=AD+CE。
(2)要证AD=CE，可构造全等三角形转化线段：在FE上截取FH=FD，先由等角对等边得FA=FC，再通过SAS证明△ADF≌△CHF，得到AD=CH，最后利用三角形外角的性质证明∠CEH=∠CHE，由等角对等边得CE=CH，等量代换即可得证。
【解析】
(1)解:①$\because AE,CD$为$△ ABC$的角平分线,
$\therefore ∠ FAC = \frac{1}{2}∠ BAC,∠ FCA = \frac{1}{2}∠ BCA$.
$\because ∠ B = 60°,\therefore ∠ BAC + ∠ BCA = 120°$,
$\therefore ∠ AFC = 180° - ∠ FAC - ∠ FCA = 180° - \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ BCA) = 120°.$
②如图1,在$AC$上截取$AG = AD = 3$,连接$FG$.
$\because AE,CD$为$△ ABC$的角平分线,
$\therefore ∠ FAC = ∠ FAD,∠ FCA = ∠ FCE$.
$\because ∠ AFC = 120°,\therefore ∠ AFD = ∠ CFE = 60°$.
在$△ ADF$和$△ AGF$中,$\begin{cases}AD = AG,\\∠ DAF = ∠ GAF,\\AF = AF,\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ AGF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ AFG = ∠ AFD = 60°$,
$\therefore ∠ GFC = 60° = ∠ CFE$.
在$△ CGF$和$△ CEF$中,$\begin{cases}∠ GFC = ∠ EFC,\\CF = CF,\\∠ GCF = ∠ ECF,\end{cases}$
$\therefore △ CGF≌△ CEF(\mathrm{ASA}),\therefore CG = CE = 2$,
$\therefore AC = AG + GC = 3 + 2 = 5.$
(2)证明:如图2,在$FE$上截取$FH = FD$,连接$CH$.
$\because ∠ FAC = ∠ FCA = 30°,\therefore FA = FC$.
在$△ ADF$和$△ CHF$中,$\begin{cases}AF = CF,\\∠ AFD = ∠ CFH,\\DF = HF,\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ CHF(\mathrm{SAS}),\therefore AD = CH,∠ DAF = ∠ HCF$.
$\because ∠ CEH = ∠ B + ∠ DAF = 60° + ∠ DAF$,
$∠ CHE = ∠ HFC + ∠ HCF = 60° + ∠ HCF$,
$\therefore ∠ CEH = ∠ CHE,\therefore CE = CH,\therefore AD = CE.$
【答案】
(1)①$\boldsymbol{120°}$；②$\boldsymbol{5}$
(2)已证得$\boldsymbol{AD=CE}$
【知识点】
角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形综合题，将角平分线性质、三角形内角和、全等三角形判定与性质、等腰三角形判定等知识点融合考查，解题关键是掌握截长补短法构造全等三角形，将分散的线段、角的条件集中转化，能够有效锻炼几何逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
(1)①已知AE、CD是△ABC的角平分线，∠B=60°，先由三角形内角和定理求出∠BAC+∠BCA的度数，再根据角平分线的定义得到∠FAC与∠FCA分别是∠BAC、∠BCA的一半，即可求出∠FAC+∠FCA的度数，最后在△AFC中利用内角和定理计算∠AFC的度数。
②已知AD和CE的长度，要计算AC的长，可采用截长补短的思路：在AC上截取AG=AD，先通过SAS证明△ADF≌△AGF，得到对应角相等，再结合∠AFC的度数推导角的等量关系，通过ASA证明△CGF≌△CEF，得到CG=CE，即可得AC=AG+GC=AD+CE。
(2)要证AD=CE，可构造全等三角形转化线段：在FE上截取FH=FD，先由等角对等边得FA=FC，再通过SAS证明△ADF≌△CHF，得到AD=CH，最后利用三角形外角的性质证明∠CEH=∠CHE，由等角对等边得CE=CH，等量代换即可得证。
【解析】
(1)解:①$\because AE,CD$为$△ ABC$的角平分线,
$\therefore ∠ FAC = \frac{1}{2}∠ BAC,∠ FCA = \frac{1}{2}∠ BCA$.
$\because ∠ B = 60°,\therefore ∠ BAC + ∠ BCA = 120°$,
$\therefore ∠ AFC = 180° - ∠ FAC - ∠ FCA = 180° - \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ BCA) = 120°.$
②如图1,在$AC$上截取$AG = AD = 3$,连接$FG$.
$\because AE,CD$为$△ ABC$的角平分线,
$\therefore ∠ FAC = ∠ FAD,∠ FCA = ∠ FCE$.
$\because ∠ AFC = 120°,\therefore ∠ AFD = ∠ CFE = 60°$.
在$△ ADF$和$△ AGF$中,$\begin{cases}AD = AG,\\∠ DAF = ∠ GAF,\\AF = AF,\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ AGF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ AFG = ∠ AFD = 60°$,
$\therefore ∠ GFC = 60° = ∠ CFE$.
在$△ CGF$和$△ CEF$中,$\begin{cases}∠ GFC = ∠ EFC,\\CF = CF,\\∠ GCF = ∠ ECF,\end{cases}$
$\therefore △ CGF≌△ CEF(\mathrm{ASA}),\therefore CG = CE = 2$,
$\therefore AC = AG + GC = 3 + 2 = 5.$
(2)证明:如图2,在$FE$上截取$FH = FD$,连接$CH$.
$\because ∠ FAC = ∠ FCA = 30°,\therefore FA = FC$.
在$△ ADF$和$△ CHF$中,$\begin{cases}AF = CF,\\∠ AFD = ∠ CFH,\\DF = HF,\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ CHF(\mathrm{SAS}),\therefore AD = CH,∠ DAF = ∠ HCF$.
$\because ∠ CEH = ∠ B + ∠ DAF = 60° + ∠ DAF$,
$∠ CHE = ∠ HFC + ∠ HCF = 60° + ∠ HCF$,
$\therefore ∠ CEH = ∠ CHE,\therefore CE = CH,\therefore AD = CE.$
【答案】
(1)①$\boldsymbol{120°}$；②$\boldsymbol{5}$
(2)已证得$\boldsymbol{AD=CE}$
【知识点】
角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形综合题，将角平分线性质、三角形内角和、全等三角形判定与性质、等腰三角形判定等知识点融合考查，解题关键是掌握截长补短法构造全等三角形，将分散的线段、角的条件集中转化，能够有效锻炼几何逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
