1. [2026宣城四校期末] 如图，$△ ABC$与$△ DEF$的边$BC$,$EF$在同一条直线上，$AB// DE$，且$BE = CF$，若要用“ASA”判定$△ ABC≌△ DEF$，则需添加的一个条件是（）


A.$∠ ACB = ∠ DFE$
B.$AC = DF$
C.$∠ A = ∠ D$
D.$AB = DE$

$\because AB// DE,\therefore ∠ B = ∠ DEF.\because BE = CF,\therefore BE + EC = CF + EC$,即$BC = EF$. 若要用“ASA”判定$△ ABC≌△ DEF$,需要找另一对角,且这对角的一条边分别是$BC$和$EF$,则$∠ ACB = ∠ DFE$符合题意.

【分析】
要解决这道题，首先明确需用“ASA”判定三角形全等，先回忆ASA判定定理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。接下来先从已知条件推导已有的相等量：①由AB//DE，根据平行线的同位角相等，可得∠B=∠DEF；②由BE=CF，两条线段同时加公共线段EC，可得BE+EC=CF+EC，即BC=EF。此时已有一组对应角相等、该组角的夹边BC=EF，根据ASA要求，还缺夹边的另一组对应角相等，即∠ACB=∠DFE，即可选出正确选项。
【解析】
解：
∵AB//DE，根据两直线平行，同位角相等，
∴∠B=∠DEF。
又
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF。
若用“ASA”判定△ABC≌△DEF，需满足两角及夹边对应相等，当前已有∠B=∠DEF、夹边BC=EF，还需补充夹边的另一组对应角相等，即∠ACB=∠DFE，符合ASA的判定要求。
其余选项中，B选项AC=DF属于SSA，不能判定全等；C选项∠A=∠D属于AAS判定条件；D选项AB=DE属于SAS判定条件，均不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；全等三角形ASA判定；线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用类题目，解题关键是先梳理已知条件推导出已有的相等边、角，再结合ASA判定中“两角夹一边”的要求补充缺失条件，要注意区分不同全等判定定理的适用条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8

2. [2025镇江中考]如图,已知$△ ABC ≌ △ DEF$,边BC与EF,DF分别交于点O,M,AC与EF交于点N,OB=OE.求证:$△ MOF ≌ △ NOC$.

证明:$\because △ ABC≌△ DEF,\therefore BC = EF,∠ C = ∠ F$.
$\because OB = OE,\therefore BC - OB = EF - OE$,即$OC = OF$.
在$△ MOF$和$△ NOC$中,$\begin{cases}∠ MOF = ∠ NOC(对顶角相等),\\OF = OC,\\∠ F = ∠ C,\end{cases}$
$\therefore △ MOF≌△ NOC(\mathrm{ASA}).$

【分析】
要证明△MOF≌△NOC，首先观察两个三角形的特征：二者有一组对顶角∠MOF和∠NOC相等，因此可优先考虑用角边角（ASA）定理证明全等，接下来只需推导得到一组对应角相等，以及对顶角的夹边相等即可。首先根据已知△ABC≌△DEF，由全等三角形的性质可得对应角∠C=∠F、对应边BC=EF；再结合已知OB=OE，利用等式的性质，用BC减去OB、EF减去OE，即可得到OC=OF，此时已经满足ASA的判定条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
证明：$\because △ ABC≌△ DEF,\therefore BC = EF,∠ C = ∠ F$.
$\because OB = OE,\therefore BC - OB = EF - OE$,即$OC = OF$.
在$△ MOF$和$△ NOC$中,
$\begin{cases}∠ MOF = ∠ NOC(\mathrm{对顶角相等}),\\OF = OC,\\∠ F = ∠ C,\end{cases}$
$\therefore △ MOF≌△ NOC(\mathrm{ASA}).$
【答案】
证明：$\because △ ABC≌△ DEF,\therefore BC = EF,∠ C = ∠ F$.
$\because OB = OE,\therefore BC - OB = EF - OE$,即$OC = OF$.
在$△ MOF$和$△ NOC$中,$\begin{cases}∠ MOF = ∠ NOC(对顶角相等),\\OF = OC,\\∠ F = ∠ C,\end{cases}$
$\therefore △ MOF≌△ NOC(\mathrm{ASA}).$
【知识点】
全等三角形的性质；对顶角相等；ASA判定全等
【点评】
本题是全等三角形性质与判定的基础综合题，解题核心是先从已知的全等关系中提取可用的边角条件，再结合已知线段相等推导待证全等三角形的对应边相等，考察对全等相关基础知识点的应用能力，解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.8

3. 教材P110T4变式 [2026六安九中月考]有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，小明想按原来的大小在玻璃店再定制一块，需要带的两块可以是 ()


A.①②
B.②③
C.②④
D.①④

D

【分析】
要定制和原大小完全相同的三角形玻璃，本质是要得到与原三角形全等的三角形，需结合全等三角形的判定定理分析各碎片保留的原三角形信息：首先明确能确定唯一三角形的判定条件（如ASA、SAS、SSS等），逐一判断选项中两块碎片是否保留了足够的角、边信息：①碎片保留了原三角形的一个完整底角，以及该角相邻两条边的部分；④碎片保留了原三角形的完整顶角，以及顶角相邻两条边的部分，二者拼接后可得到两个完整角及两角的夹边，符合ASA判定要求，其余组合均缺少足够的角或边信息，无法还原原三角形。
【解析】
解：定制和原大小一致的三角形玻璃，即需要构造与原三角形全等的三角形，结合全等三角形判定定理分析各选项：
A选项：①②组合，②为中间碎片，未保留原三角形的完整边和完整外角信息，无法确定原三角形的边长和其余角的大小，不符合要求；
B选项：②③组合，同样缺少原三角形的完整角和完整边信息，无法还原原三角形，不符合要求；
C选项：②④组合，仅能确定原三角形的顶角，缺少另一个完整的角和夹边信息，无法确定唯一的原三角形，不符合要求；
D选项：①保留了原三角形左下角的完整内角，以及左侧边、底边的部分；④保留了原三角形的完整顶角，以及左右两侧腰的部分。将①和④的拼接边对齐，可得到原三角形的两个内角（顶角、左下角角），以及这两个角的夹边（原三角形左侧边）的完整长度，根据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）”，可确定唯一和原三角形全等的三角形，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
ASA判定全等三角形，全等三角形的实际应用
【点评】
这道题是全等三角形在生活中的典型应用，解题核心是明确还原原三角形需要保留至少两个完整内角，以及两个内角的夹边信息，结合全等判定定理即可快速判断。
【难度系数】
0.7

4. [2025滨州期末]如图，$AD ⊥ BC$于点$D$，$BE ⊥ AC$于点$E$，$DC = EC = 4\ \mathrm{cm}$，$AC = 6\ \mathrm{cm}$，则$BD$的长为$\mathrm{cm}$.

$\because AD⊥ BC,BE⊥ AC,\therefore ∠ ADC = ∠ BEC = 90°$. 在$△ ACD$和$△ BCE$中,$\begin{cases}∠ C = ∠ C,\\DC = EC,\\∠ ADC = ∠ BEC,\end{cases}$ $\therefore △ ACD≌△ BCE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore BC = AC = 6\ \mathrm{cm},\therefore BD = BC - CD = 6 - 4 = 2(\mathrm{cm}).$

【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，可得两个直角相等，再观察图形找到公共角$∠ C$，结合已知的$DC=EC$，满足“两角及其夹边分别相等”的全等判定条件，即可证明$△ ACD$和$△ BCE$全等；再根据全等三角形对应边相等得到$BC$的长度，最后用$BC$的长度减去$DC$的长度就能求出$BD$的长。
【解析】
$\because AD⊥ BC,BE⊥ AC$，$\therefore ∠ ADC=∠ BEC=90°$。
在$△ ACD$和$△ BCE$中，
$\begin{cases}∠ C=∠ C,\\DC=EC,\\∠ ADC=∠ BEC,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ BCE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BC=AC=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BD=BC-CD=6-4=2(\mathrm{cm})$。
【答案】
$2$
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形的性质；垂直的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查全等三角形的判定与性质的应用，解题的关键是准确找到证明三角形全等的条件，通过全等转换边的长度关系进而求解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8

5. [2024 攀枝花中考] 如图，AB // CD，AE // CF，BF = DE. 求证:AB = CD.

证明:$\because AB// CD,AE// CF$,
$\therefore ∠ B = ∠ D,∠ AEB = ∠ CFD$.
$\because BF = DE,\therefore BF + EF = DE + EF$,即$BE = DF$.
在$△ ABE$和$△ CDF$中,$\begin{cases}∠ B = ∠ D,\\BE = DF,\\∠ AEB = ∠ CFD,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CDF(\mathrm{ASA}),\therefore AB = CD.$

【分析】
要证AB=CD，通常可证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知AB在△ABE中，CD在△CDF中，因此只需证明△ABE≌△CDF即可。首先由AB//CD，根据平行线的内错角相等可得∠B=∠D；由AE//CF同理可得∠AEB=∠CFD。再结合已知BF=DE，给两条线段同时加上公共部分EF，可得BE=DF，此时两个三角形满足两角及其夹边对应相等，符合ASA全等判定条件，证得全等后根据全等三角形对应边相等即可推出AB=CD。
【解析】
证明：
$\because AB// CD$，$AE// CF$，
$\therefore ∠ B = ∠ D$，$∠ AEB = ∠ CFD$（两直线平行，内错角相等）。
$\because BF = DE$，
$\therefore BF + EF = DE + EF$，即$BE = DF$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ B = ∠ D \\BE = DF \\∠ AEB = ∠ CFD\end{array} $
$\therefore △ ABE ≌ △ CDF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB = CD$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
证明:$\because AB// CD,AE// CF$,
$\therefore ∠ B = ∠ D,∠ AEB = ∠ CFD$.
$\because BF = DE,\therefore BF + EF = DE + EF$,即$BE = DF$.
在$△ ABE$和$△ CDF$中,$\begin{cases}∠ B = ∠ D,\\BE = DF,\\∠ AEB = ∠ CFD,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CDF(\mathrm{ASA}),\therefore AB = CD.$
【知识点】
平行线的性质；ASA判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，综合考察了平行线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过线段和差得到全等所需的对应边相等，梳理清楚角与边的对应关系即可顺利求解，有助于锻炼基础的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

6. [2026黄山期中] 如图，$∠ A = ∠ B$，点D在AC边上，AE和BD相交于点O，$∠ 1 = ∠ 2$，$AE = BE$。求证：$AC = BD$。

证明:$\because ∠ A = ∠ B,∠ AOD = ∠ BOE$,
$\therefore ∠ 2 = ∠ AEB($“8”字形模型$)$.
$\because ∠ 1 = ∠ 2,\therefore ∠ 1 = ∠ AEB$,
$\therefore ∠ 1 + ∠ AED = ∠ AEB + ∠ AED$,
$\therefore ∠ AEC = ∠ BED$.
在$△ AEC$和$△ BED$中,$\begin{cases}∠ A = ∠ B,\\AE = BE,\\∠ AEC = ∠ BED,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BED(\mathrm{ASA}),\therefore AC = BD.$

【分析】
要证明线段$AC=BD$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知，$AC$在$△ AEC$中，$BD$在$△ BED$中，已知条件已给出$∠ A=∠ B$、$AE=BE$，因此只需再证明一组对应角相等即可。首先利用对顶角相等和三角形内角和的性质，结合$∠ A=∠ B$可推出$∠ 2=∠ AEB$；再结合$∠ 1=∠ 2$，通过等式的性质给两个等角同时加上$∠ AED$，即可得到全等所需的第三个条件$∠ AEC=∠ BED$，最后利用ASA判定三角形全等，即可得到对应边相等的结论。
【解析】
证明：$\because ∠ A = ∠ B$，$∠ AOD = ∠ BOE$（对顶角相等），
$\therefore ∠ 2 = ∠ AEB$（三角形内角和为$180°$，两个角对应相等则第三个角相等）。
$\because ∠ 1 = ∠ 2$，$\therefore ∠ 1 = ∠ AEB$，
$\therefore ∠ 1 + ∠ AED = ∠ AEB + ∠ AED$（等式的性质），
$\therefore ∠ AEC = ∠ BED$。
在$△ AEC$和$△ BED$中,
$\begin{cases}∠ A = ∠ B,\\AE = BE,\\∠ AEC = ∠ BED,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BED(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AC = BD$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$AC=BD$
【知识点】
ASA判定三角形全等，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础应用题型，解题核心是通过角的等量代换得到全等判定所需的对应角相等，需要学生熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，同时学会挖掘图形中的隐含条件进行推导。
【难度系数】
0.65