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1. 已知点 C 在线段 AB 上，$AC=2BC$，线段 DE 在线段 AB 上移动，且点 D 在点 E 的左侧.
(1) 若 $AB=18$，$DE=8$.
① 如图，当 E 为 BC 的中点时，求 AD 的长；
② 点 F(异于点 A，B，C)在线段 AB 上，$AF=3AD$，$CE + EF = 3$，求 AD 的长；
(2) 若 $AB=2DE$，且满足关系式 $AD+CE=2BE$，求 $\frac{CD}{AB}$ 的值.
备用图
(1) 若 $AB=18$，$DE=8$.
① 如图，当 E 为 BC 的中点时，求 AD 的长；
② 点 F(异于点 A，B，C)在线段 AB 上，$AF=3AD$，$CE + EF = 3$，求 AD 的长；
(2) 若 $AB=2DE$，且满足关系式 $AD+CE=2BE$，求 $\frac{CD}{AB}$ 的值.
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答案
(1) ① 因为 $AB=18,AC=2BC$，所以 $AC=\frac{2}{3}AB=12,BC=\frac{1}{3}AB=6$. 因为 E 为 BC 的中点，所以 $BE=\frac{1}{2}BC=3$. 因为 $DE=8$，所以 $AD=AB-BE-DE=7$.
② 设 $AD=x$. 因为 $AF=3AD$，所以 $AF=3x$. 因为点 F 在线段 AB 上，且异于点 A,B,C,AB=18,AC=12,所以 $3x＜18$ 且 $3x≠12$,所以 $x＜6$ 且 $x≠4$. 因为 $DE=8$,所以 $AE=AD+DE=x+8$,所以 $CE=|AE-AC|=|x-4|,EF=|AF-AE|=|2x-8|$. 因为 $CE+EF=3$,所以 $|x-4|+|2x-8|=3$,所以 $3|x-4|=3$,所以 $|x-4|=1$,所以 $x=3$ 或 5. 故 AD 的长为 3 或 5.
(2) 设 $AB=6m,AD=n$. 同①,得 $AC=4m$. 因为 $AB=2DE$,所以 $DE=\frac{1}{2}AB=3m$,所以 $AE=AD+DE=n+3m,BE=AB-AD-DE=3m-n$,所以 $CE=|AE-AC|=|n-m|$. 因为 $AD+CE=2BE$,所以 $n+|n-m|=6m-2n$. 当 $n≥m$ 时,$n+n-m=6m-2n$,所以 $n=\frac{7}{4}m$,所以 $CD=AC-AD=\frac{9}{4}m$,所以 $\frac{CD}{AB}=\frac{3}{8}$; 当 $n＜m$ 时,$n+m-n=6m-2n$,所以 $n=\frac{5}{2}m$,不合题意,舍去. 故 $\frac{CD}{AB}$ 的值为 $\frac{3}{8}$.
② 设 $AD=x$. 因为 $AF=3AD$，所以 $AF=3x$. 因为点 F 在线段 AB 上，且异于点 A,B,C,AB=18,AC=12,所以 $3x＜18$ 且 $3x≠12$,所以 $x＜6$ 且 $x≠4$. 因为 $DE=8$,所以 $AE=AD+DE=x+8$,所以 $CE=|AE-AC|=|x-4|,EF=|AF-AE|=|2x-8|$. 因为 $CE+EF=3$,所以 $|x-4|+|2x-8|=3$,所以 $3|x-4|=3$,所以 $|x-4|=1$,所以 $x=3$ 或 5. 故 AD 的长为 3 或 5.
(2) 设 $AB=6m,AD=n$. 同①,得 $AC=4m$. 因为 $AB=2DE$,所以 $DE=\frac{1}{2}AB=3m$,所以 $AE=AD+DE=n+3m,BE=AB-AD-DE=3m-n$,所以 $CE=|AE-AC|=|n-m|$. 因为 $AD+CE=2BE$,所以 $n+|n-m|=6m-2n$. 当 $n≥m$ 时,$n+n-m=6m-2n$,所以 $n=\frac{7}{4}m$,所以 $CD=AC-AD=\frac{9}{4}m$,所以 $\frac{CD}{AB}=\frac{3}{8}$; 当 $n＜m$ 时,$n+m-n=6m-2n$,所以 $n=\frac{5}{2}m$,不合题意,舍去. 故 $\frac{CD}{AB}$ 的值为 $\frac{3}{8}$.
2. 如图,线段 OC 上有 A,B 两点,满足 $OA=20\ \mathrm{cm},AB=60\ \mathrm{cm},BC=10\ \mathrm{cm}$. 在线段 CO上,点 P 从点 O 出发,向点 C 以 1 cm/s 的速度匀速运动,点 Q 从点 C 出发,向点 O 匀速运动,两点同时出发,当其中一点到达终点时,点 P,Q 同时停止运动.
（1）当点 P 在线段 AB 上且 $PA=2PB$ 时,点Q运动到的位置恰好是线段 AB 的三等分点,求点 Q 的运动速度；
（2）当点 P 运动到线段 AB 上时,分别取 OP和 AB 的中点 E,F,则 $\frac{OB-PA}{EF}$ 是否为定值？若是,求出这个值；若不是,请说明理由.
（1）当点 P 在线段 AB 上且 $PA=2PB$ 时,点Q运动到的位置恰好是线段 AB 的三等分点,求点 Q 的运动速度；
（2）当点 P 运动到线段 AB 上时,分别取 OP和 AB 的中点 E,F,则 $\frac{OB-PA}{EF}$ 是否为定值？若是,求出这个值；若不是,请说明理由.
答案
(1) 因为 $AB=60\ \mathrm{cm},PA=2PB$,所以 $PA=\frac{2}{3}AB=40\ \mathrm{cm},PB=\frac{1}{3}AB=20\ \mathrm{cm}$. 因为 $OA=20\ \mathrm{cm}$,所以 $OP=OA+PA=60\ \mathrm{cm}$,所以点 P 运动的时间为 $60÷1=60(\mathrm{s})$. 因为点 Q 运动到的位置恰好是线段 AB 的三等分点,所以分类讨论如下:① 当 Q 是靠近点 A 的三等分点时,$BQ=\frac{2}{3}AB=40\ \mathrm{cm}$. 因为 $BC=10\ \mathrm{cm}$,所以 $CQ=BQ+BC=50\ \mathrm{cm}$,所以点 Q 的运动速度为 $50÷60=\frac{5}{6}(\mathrm{cm/s})$;② 当 Q 是靠近点 B 的三等分点时,$BQ=\frac{1}{3}AB=20\ \mathrm{cm}$,所以 $CQ=BQ+BC=30\ \mathrm{cm}$,所以点 Q 的运动速度为 $\frac{30}{60}=\frac{1}{2}(\mathrm{cm/s})$. 综上所述,点 Q 的运动速度为 $\frac{5}{6}\ \mathrm{cm/s}$ 或 $\frac{1}{2}\ \mathrm{cm/s}$.
(2) 设 $PA=x\ \mathrm{cm}$. 因为 $OA=20\ \mathrm{cm}$,所以 $OP=PA+OA=(x+20)\mathrm{cm}$. 因为 E 为 OP 的中点,所以 $OE=\frac{1}{2}OP=(\frac{1}{2}x+10)\mathrm{cm}$. 因为 $AB=60\ \mathrm{cm}$,F 为 AB 的中点,所以 $OB=OA+AB=80\ \mathrm{cm},AF=\frac{1}{2}AB=30\ \mathrm{cm}$,所以 $OB-PA=(80-x)\mathrm{cm},OF=OA+AF=50\ \mathrm{cm}$,所以 $EF=OF-OE=(40-\frac{1}{2}x)\mathrm{cm}$,所以 $\frac{OB-PA}{EF}=2$. 故 $\frac{OB-PA}{EF}$ 是定值,且这个值为 2.
(2) 设 $PA=x\ \mathrm{cm}$. 因为 $OA=20\ \mathrm{cm}$,所以 $OP=PA+OA=(x+20)\mathrm{cm}$. 因为 E 为 OP 的中点,所以 $OE=\frac{1}{2}OP=(\frac{1}{2}x+10)\mathrm{cm}$. 因为 $AB=60\ \mathrm{cm}$,F 为 AB 的中点,所以 $OB=OA+AB=80\ \mathrm{cm},AF=\frac{1}{2}AB=30\ \mathrm{cm}$,所以 $OB-PA=(80-x)\mathrm{cm},OF=OA+AF=50\ \mathrm{cm}$,所以 $EF=OF-OE=(40-\frac{1}{2}x)\mathrm{cm}$,所以 $\frac{OB-PA}{EF}=2$. 故 $\frac{OB-PA}{EF}$ 是定值,且这个值为 2.
