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11. 如图，C是线段AB上一点，AC＜BC，M，N分别是AB，BC的中点。若AC=8，NB=5，则线段MN的长为
4
。答案
11.4 解析:因为N是BC的中点,NB=5,所以$BC=2NB=10$.因为AC=8,所以$AB=AC+BC=18$.因为M是AB的中点,所以$BM=\frac{1}{2}AB=9$,所以$MN=BM-NB=4$.
12. 如图，已知线段$AB:BC:CD=2:3:4$，E，F分别是AB，CD的中点，且$EF=12\ \mathrm{cm}$，则线段$AD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
答案
12.18 解析:因为线段$AB:BC:CD=2:3:4$,所以设$AB=2x\ \mathrm{cm}$,则$BC=3x\ \mathrm{cm}$,$CD=4x\ \mathrm{cm}$.因为E,F分别是AB,CD的中点,所以$BE=\frac{1}{2}AB=x\ \mathrm{cm}$,$CF=\frac{1}{2}CD=2x\ \mathrm{cm}$.因为$EF=12\ \mathrm{cm}$,且$BE+BC+CF=EF$,所以$x+3x+2x=12$,解得$x=2$,所以$AB=4\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,$CD=8\ \mathrm{cm}$,所以$AD=AB+BC+CD=18\ \mathrm{cm}$.
13. (2026·江苏苏州期末)把一根绳子对折成一条线段AB，P是AB上一点，且AP = $\frac{1}{2}$PB，从点P处把绳子剪断。若剪断后的各段绳子中最长的为40 cm，则这根绳子的原长为
120或60
cm。答案
13.120或60 解析:分类讨论如下:① 当点A是对折点时,$PB=40\ \mathrm{cm}$,则$AP=\frac{1}{2}PB=20\ \mathrm{cm}$,所以$AB=AP+PB=60\ \mathrm{cm}$,所以这根绳子的原长为$60×2=120(\mathrm{cm})$;② 当点B是对折点时,$PB=40×\frac{1}{2}=20(\mathrm{cm})$,则$AP=\frac{1}{2}PB=10\ \mathrm{cm}$,所以$AB=AP+PB=30\ \mathrm{cm}$,所以这根绳子的原长为$30×2=60(\mathrm{cm})$.综上所述,这根绳子的原长为120 cm或60 cm.
14. 有一无弹性细线，拉直时测得细线OP长为8 cm，现进行如下操作：① 在细线上任取一点A；② 将细线折叠，使点O与点A重合，记折点为点B；③ 将细线折叠，使点P与点A重合，记折点为点C.
（1）如图，BC的长为
（2）继续进行折叠，使点B与点C重合，并把点B和与其重叠的点C处的细线剪开，使细线分成长为a，b，c的三段（$a ＜ b ＜ c$）.若$a:b=1:3$，求细线未剪开时OA的长.
（1）如图，BC的长为
4
cm；（2）继续进行折叠，使点B与点C重合，并把点B和与其重叠的点C处的细线剪开，使细线分成长为a，b，c的三段（$a ＜ b ＜ c$）.若$a:b=1:3$，求细线未剪开时OA的长.
答案
14. (1)4
(2) 因为$a＜b＜c$,细线剪开后分成OB,BC,CP三段,所以$BC=c$.当$OB=a$时,$CP=b$.因为$OB+CP=4\ \mathrm{cm}$,所以$a+b=4\ \mathrm{cm}$.因为$a:b=1:3$,所以$a=1\ \mathrm{cm}$,$b=3\ \mathrm{cm}$,所以$OA=2a=2\ \mathrm{cm}$;当$OB=b$时,$CP=a$,同理可得$OA=2b=6\ \mathrm{cm}$.故细线未剪开时OA的长为2 cm或6 cm.
(2) 因为$a＜b＜c$,细线剪开后分成OB,BC,CP三段,所以$BC=c$.当$OB=a$时,$CP=b$.因为$OB+CP=4\ \mathrm{cm}$,所以$a+b=4\ \mathrm{cm}$.因为$a:b=1:3$,所以$a=1\ \mathrm{cm}$,$b=3\ \mathrm{cm}$,所以$OA=2a=2\ \mathrm{cm}$;当$OB=b$时,$CP=a$,同理可得$OA=2b=6\ \mathrm{cm}$.故细线未剪开时OA的长为2 cm或6 cm.
15. 如图，C为线段AB上一点，点D在线段AC上，且$AD=\frac{2}{3}AC$，E为BC的中点.
（1）若$AC=6$，$BE=1$，求线段AB，DE的长；
（2）试说明：$AB+BD=4DE$.
（1）若$AC=6$，$BE=1$，求线段AB，DE的长；
（2）试说明：$AB+BD=4DE$.
答案
15. (1) 因为E为BC的中点,且$BE=1$,所以$BC=2BE=2$,$CE=BE=1$.因为$AC=6$,所以$AB=AC+BC=8$.因为$AD=\frac{2}{3}AC$,所以$CD=AC-AD=\frac{1}{3}AC=2$,所以$DE=CD+CE=3$.
(2) 因为$AB=AC+BC$,$BD=BC+CD$,所以$AB+BD=AC+2BC+CD$.因为$CD=\frac{1}{3}AC$,E为BC的中点,所以$AC=3CD$,$BC=2CE$,所以$AB+BD=3CD+4CE+CD=4(CD+CE)=4DE$.
(2) 因为$AB=AC+BC$,$BD=BC+CD$,所以$AB+BD=AC+2BC+CD$.因为$CD=\frac{1}{3}AC$,E为BC的中点,所以$AC=3CD$,$BC=2CE$,所以$AB+BD=3CD+4CE+CD=4(CD+CE)=4DE$.
16. 如图,某客运公司所运营的公路AB段有四个车站,依次是A,C,D,B.现计划在AB段建一个加油站M,要求使A,B,C,D站离加油站M的总路程最短,则加油站M的位置在（
A.A,C两站之间
B.C,D两站之间
C.B,D两站之间
D.无法确定
B
）A.A,C两站之间
B.C,D两站之间
C.B,D两站之间
D.无法确定
答案
16.B 解析:如图①,当加油站M的位置在A,C两站之间时,A,B,C,D站离加油站的总路程为$AM+MC+MD+MB=AB+CD+2MC$;如图②,当加油站M的位置在C,D两站之间时,A,B,C,D站离加油站的总路程为$CM+MD+AM+MB=AB+CD$;如图③,当加油站M的位置在B,D两站之间时,A,B,C,D站离加油站的总路程为$AM+MB+CM+DM=AB+CD+2MD$.故总路程最短时,加油站M的位置在C,D两站之间.
17. 如图，数轴上O，A两点之间的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A₁处，第2次从点A₁跳动到A₁O的中点A₂处，第3次从点A₂跳动到A₂O的中点A₃处，按照这样的规律继续跳动到点A₄，A₅，A₆，…，Aₙ(n≥3，n是整数)处，那么线段AₙA的长为
$4-\frac{1}{2^{n-2}}$
。答案
17.$4-\frac{1}{2^{n-2}}$ 解析:由题意,得$OA=4$,$OA_1=\frac{1}{2}OA=2$,$OA_2=\frac{1}{2}OA_1=1$,$OA_3=\frac{1}{2}OA_2=\frac{1}{2}$,$OA_4=\frac{1}{2}OA_3=\frac{1}{2^2}$,…,依此类推,得$OA_n=\frac{1}{2^{n-2}}(n≥3,n是整数)$,所以$A_nA=OA-OA_n=4-\frac{1}{2^{n-2}}$.
