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7.(潜山期中)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(单位: m)与运行的水平距离x(单位: m)满足关系式$y=-\frac{1}{60}(x-6)^2 + 2.6$.已知球网与点O的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界与点O之间的水平距离为18 m,则下列判断正确的是 (
A.球运行的最大高度是2.43 m
B.球不会过球网
C.球会过球网但不会出界
D.球会过球网且会出界
D
)A.球运行的最大高度是2.43 m
B.球不会过球网
C.球会过球网但不会出界
D.球会过球网且会出界
答案
7.D
解析
【分析】
本题考查二次函数在抛物线运动问题中的应用，解题思路如下：首先从给定的二次函数顶点式中直接得出球运行的最大高度，判断选项A；再将球网对应的水平距离x=9代入解析式，计算对应高度后与球网高度比较，判断球能否过网；最后令y=0求解球落地时的水平距离，与球场边界距离18m比较判断是否出界，最终确定正确选项。
【解析】
1. 判断选项A：已知函数解析式为$y=-\frac{1}{60}(x-6)^2 + 2.6$，为二次函数的顶点式，顶点坐标为$(6,2.6)$，因此球运行的最大高度为2.6m，A选项错误。
2. 判断是否过球网：球网对应的水平距离为$x=9m$，将$x=9$代入解析式得：
$y=-\frac{1}{60}×(9-6)^2 + 2.6=-\frac{9}{60}+2.6=2.45m$
因为$2.45m＞2.43m$，所以球能过球网，B选项错误。
3. 判断是否出界：球落地时高度$y=0$，代入解析式得：
$0=-\frac{1}{60}(x-6)^2 + 2.6$
整理得$(x-6)^2=156$，解得$x=6+\sqrt{156}\approx18.49m$（负根不符合实际意义舍去）
因为$18.49m＞18m$，所以球会出界。
综上，球会过球网且会出界，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的性质，二次函数求值
【点评】
本题是二次函数解决运动类问题的典型题型，解题核心是结合实际场景的几何意义，将对应坐标代入函数解析式计算后比较数值即可，注意求解自变量时要结合实际意义取舍根的取值。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数在抛物线运动问题中的应用，解题思路如下：首先从给定的二次函数顶点式中直接得出球运行的最大高度，判断选项A；再将球网对应的水平距离x=9代入解析式，计算对应高度后与球网高度比较，判断球能否过网；最后令y=0求解球落地时的水平距离，与球场边界距离18m比较判断是否出界，最终确定正确选项。
【解析】
1. 判断选项A：已知函数解析式为$y=-\frac{1}{60}(x-6)^2 + 2.6$，为二次函数的顶点式，顶点坐标为$(6,2.6)$，因此球运行的最大高度为2.6m，A选项错误。
2. 判断是否过球网：球网对应的水平距离为$x=9m$，将$x=9$代入解析式得：
$y=-\frac{1}{60}×(9-6)^2 + 2.6=-\frac{9}{60}+2.6=2.45m$
因为$2.45m＞2.43m$，所以球能过球网，B选项错误。
3. 判断是否出界：球落地时高度$y=0$，代入解析式得：
$0=-\frac{1}{60}(x-6)^2 + 2.6$
整理得$(x-6)^2=156$，解得$x=6+\sqrt{156}\approx18.49m$（负根不符合实际意义舍去）
因为$18.49m＞18m$，所以球会出界。
综上，球会过球网且会出界，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的性质，二次函数求值
【点评】
本题是二次函数解决运动类问题的典型题型，解题核心是结合实际场景的几何意义，将对应坐标代入函数解析式计算后比较数值即可，注意求解自变量时要结合实际意义取舍根的取值。
【难度系数】
0.7
8.某种音乐喷泉的形状可近似看作抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18 m.音乐变化时，抛物线的顶点在直线 $ y = kx $ 上变动，从而产生一组不同的抛物线，如图所示，这组抛物线的统一形式为 $ y = ax^2 + bx $.
(1)已知 $ k = 1 $，且喷出的抛物线水线最大高度为3 m，求此时 $ a, b $ 的值；
(2)若 $ k = 1 $，喷出的水恰好达到岸边，求此时喷出的抛物线水线的最大高度.
(1)已知 $ k = 1 $，且喷出的抛物线水线最大高度为3 m，求此时 $ a, b $ 的值；
(2)若 $ k = 1 $，喷出的水恰好达到岸边，求此时喷出的抛物线水线的最大高度.
答案
(1)当 $k=1$ 时,$y=x. \because$ 抛物线的顶点在直线 $y=x$ 上,且喷出的抛物线水线最大高度为 3 m, $\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(3,3).$ 设此时抛物线的函数表达式为 $y=a(x-3)^2+3.$ 把 $(0,0)$ 代入,得 $0=9a+3$,解得 $a=-\frac{1}{3}. \therefore y=-\frac{1}{3}(x-3)^2+3=-\frac{1}{3}x^2+2x.$ $\therefore b=2.$
(2)由题意,得此时抛物线的对称轴为直线 $x=9. \because k=1$,抛物线的顶点在直线 $y=kx$ 上, $\therefore y=x=9. \therefore$ 此时喷出的抛物线水线的最大高度为 9 m.
(2)由题意,得此时抛物线的对称轴为直线 $x=9. \because k=1$,抛物线的顶点在直线 $y=kx$ 上, $\therefore y=x=9. \therefore$ 此时喷出的抛物线水线的最大高度为 9 m.
解析
【分析】
(1) 首先明确$k=1$时抛物线顶点在直线$y=x$上，抛物线的最大高度就是顶点的纵坐标，结合最大高度为3m可直接得到顶点坐标；再利用抛物线过原点的特征，设顶点式代入原点即可求出$a$，最后展开顶点式为一般式就能得到$b$的值。
(2) 喷出的水恰好到岸边说明抛物线与x轴的交点为$(0,0)$和$(18,0)$，根据抛物线对称性可求出对称轴，顶点在对称轴上同时在直线$y=x$上，代入对称轴横坐标即可得到顶点纵坐标，也就是水线最大高度。
【解析】
(1) 当$k=1$时，顶点所在直线为$y=x$。
∵抛物线水线最大高度为3m，即顶点纵坐标为3，且顶点在$y=x$上，
∴顶点坐标为$(3,3)$。
设抛物线解析式为$y=a(x-3)^2+3$，将原点$(0,0)$代入解析式得：
$0=a(0-3)^2+3$，即$0=9a+3$，
解得$a=-\frac{1}{3}$。
将顶点式展开得：$y=-\frac{1}{3}(x-3)^2+3=-\frac{1}{3}x^2+2x$，
对比$y=ax^2+bx$，可得$b=2$。
(2)
∵出水口离岸边18m，喷出的水恰好到岸边，
∴抛物线与x轴的交点为$(0,0)$和$(18,0)$，
根据抛物线对称性，对称轴为直线$x=\frac{0+18}{2}=9$，
∵顶点在对称轴上，且$k=1$时顶点在直线$y=x$上，
将$x=9$代入$y=x$得$y=9$，即顶点纵坐标为9。
【答案】
(1) $a=-\frac{1}{3}$，$b=2$；
(2) $9\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象性质，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数解决抛物线形实际问题的典型题型，解题关键是抓住顶点的位置特征，结合抛物线的对称性、过定点的条件求解，熟练掌握二次函数基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确$k=1$时抛物线顶点在直线$y=x$上，抛物线的最大高度就是顶点的纵坐标，结合最大高度为3m可直接得到顶点坐标；再利用抛物线过原点的特征，设顶点式代入原点即可求出$a$，最后展开顶点式为一般式就能得到$b$的值。
(2) 喷出的水恰好到岸边说明抛物线与x轴的交点为$(0,0)$和$(18,0)$，根据抛物线对称性可求出对称轴，顶点在对称轴上同时在直线$y=x$上，代入对称轴横坐标即可得到顶点纵坐标，也就是水线最大高度。
【解析】
(1) 当$k=1$时，顶点所在直线为$y=x$。
∵抛物线水线最大高度为3m，即顶点纵坐标为3，且顶点在$y=x$上，
∴顶点坐标为$(3,3)$。
设抛物线解析式为$y=a(x-3)^2+3$，将原点$(0,0)$代入解析式得：
$0=a(0-3)^2+3$，即$0=9a+3$，
解得$a=-\frac{1}{3}$。
将顶点式展开得：$y=-\frac{1}{3}(x-3)^2+3=-\frac{1}{3}x^2+2x$，
对比$y=ax^2+bx$，可得$b=2$。
(2)
∵出水口离岸边18m，喷出的水恰好到岸边，
∴抛物线与x轴的交点为$(0,0)$和$(18,0)$，
根据抛物线对称性，对称轴为直线$x=\frac{0+18}{2}=9$，
∵顶点在对称轴上，且$k=1$时顶点在直线$y=x$上，
将$x=9$代入$y=x$得$y=9$，即顶点纵坐标为9。
【答案】
(1) $a=-\frac{1}{3}$，$b=2$；
(2) $9\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象性质，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数解决抛物线形实际问题的典型题型，解题关键是抓住顶点的位置特征，结合抛物线的对称性、过定点的条件求解，熟练掌握二次函数基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
9.(教材P41练习T3变式)(安庆模拟)根据对某市相关的市场物价调研,预计进入夏季后的某一段时间,某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润$y_1$(千元)与进货量$x$(t)之间的函数$y_1=kx$的图象如图①所示,乙种蔬菜的销售利润$y_2$(千元)与进货量$x$(t)之间的函数$y_2=ax^2+bx$的图象如图②所示.
(1)分别求出$y_1,y_2$与$x$之间的函数关系式.
(2)如果该市场准备购进甲、乙两种蔬菜共10 t,设乙种蔬菜的进货量为$m$ t.
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和$w$(千元)与$m$(t)之间的函数关系式.当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大?最大利润是多少元?
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8 400元,则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适?
(1)分别求出$y_1,y_2$与$x$之间的函数关系式.
(2)如果该市场准备购进甲、乙两种蔬菜共10 t,设乙种蔬菜的进货量为$m$ t.
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和$w$(千元)与$m$(t)之间的函数关系式.当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大?最大利润是多少元?
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8 400元,则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适?
答案
(1)将 $(5,3)$ 代入 $y_1=kx$,得 $5k=3$,解得 $k=0.6, \therefore y_1=0.6x.$ 将 $(1,2),(5,6)$ 代入 $y_2=ax^2+bx$,得 $\begin{cases}a+b=2,\\25a+5b=6,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-0.2,\\b=2.2.\end{cases}$ $\therefore y_2=-0.2x^2+2.2x.$
(2)①由题意,得 $w=0.6(10-m)+(-0.2m^2+2.2m)=-0.2(m-4)^2+9.2. \because -0.2＜0,$ $\therefore$ 当 $m=4$ 时,$w$ 有最大值,最大值为 9.2. 此时 $10-m=6.$ 答:甲种蔬菜进货量为 6 t,乙种蔬菜进货量为 4 t 时,获得的销售利润之和最大,最大利润是 9 200 元.
②令 $-0.2(m-4)^2+9.2=8.4$,解得 $m_1=2,m_2=6. \because -2＜0, \therefore$ 当 $2≤ m≤6$ 时,$w≥8.4.$ 答:乙种蔬菜进货量应在 2~4 t 范围内合适.
(2)①由题意,得 $w=0.6(10-m)+(-0.2m^2+2.2m)=-0.2(m-4)^2+9.2. \because -0.2＜0,$ $\therefore$ 当 $m=4$ 时,$w$ 有最大值,最大值为 9.2. 此时 $10-m=6.$ 答:甲种蔬菜进货量为 6 t,乙种蔬菜进货量为 4 t 时,获得的销售利润之和最大,最大利润是 9 200 元.
②令 $-0.2(m-4)^2+9.2=8.4$,解得 $m_1=2,m_2=6. \because -2＜0, \therefore$ 当 $2≤ m≤6$ 时,$w≥8.4.$ 答:乙种蔬菜进货量应在 2~4 t 范围内合适.
解析
【分析】
(1)求函数解析式采用待定系数法：对于正比例函数$y_1=kx$，已知图象过点$(5,3)$，将点坐标代入即可求出$k$，得到$y_1$的解析式；对于二次函数$y_2=ax^2+bx$，已知图象过点$(1,2)$和$(5,6)$，将两个点坐标代入得到关于$a,b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$a,b$，得到$y_2$的解析式。
(2)①总销售利润$w$是甲种蔬菜的利润加乙种蔬菜的利润，已知乙进货量为$m$ t，则甲进货量为$(10-m)$ t，分别代入$y_1$和$y_2$的解析式，合并整理为二次函数的顶点式，结合二次函数的开口方向即可求出最大值及对应的$m$值，进而得到甲乙的进货量。
②利润之和不少于8400元即$w≥8.4$千元，先令$w=8.4$，解一元二次方程得到两个根，再结合二次函数开口向下的性质，即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1)求$y_1$的解析式：
将点$(5,3)$代入$y_1=kx$，得$5k=3$，解得$k=0.6$，$\therefore y_1=0.6x$。
求$y_2$的解析式：
将点$(1,2)$、$(5,6)$代入$y_2=ax^2+bx$，得方程组：
$\begin{cases}a+b=2\\25a+5b=6\end{cases}$
解方程组，得$\begin{cases}a=-0.2\\b=2.2\end{cases}$
$\therefore y_2=-0.2x^2+2.2x$。
(2)①由题意，乙种蔬菜进货量为$m$ t，则甲种蔬菜进货量为$(10-m)$ t，总利润$w=y_1+y_2$，代入解析式得：
$\begin{aligned}w&=0.6(10-m)+(-0.2m^2+2.2m)\\&=6-0.6m-0.2m^2+2.2m\\&=-0.2m^2+1.6m+6\\&=-0.2(m-4)^2+9.2\end{aligned}$
$\because -0.2＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当$m=4$时，$w$取得最大值，最大值为9.2千元，即9200元。
此时甲种蔬菜进货量为$10-4=6$ t。
②利润之和不少于8400元，即$w≥8.4$，令$w=8.4$，则：
$-0.2(m-4)^2+9.2=8.4$
整理得$(m-4)^2=4$，解得$m_1=2$，$m_2=6$。
$\because$二次函数$w=-0.2(m-4)^2+9.2$开口向下，
$\therefore$当$2≤ m≤6$时，$w≥8.4$，符合题意。
【答案】
(1)$y_1=0.6x$；$y_2=-0.2x^2+2.2x$
(2)①$w=-0.2(m-4)^2+9.2$；甲种蔬菜进货6t，乙种蔬菜进货4t时利润之和最大，最大利润是9200元。
②乙种蔬菜进货量应在$2\mathrm{t} ∼ 6\mathrm{t}$范围内合适。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，二次函数与不等式
【点评】
本题以实际销售利润问题为背景，综合考查了一次函数、二次函数的解析式求解，以及二次函数的最值计算和不等式的实际应用，解题时要注意单位的统一，同时结合函数图象性质分析问题，能有效提升用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1)求函数解析式采用待定系数法：对于正比例函数$y_1=kx$，已知图象过点$(5,3)$，将点坐标代入即可求出$k$，得到$y_1$的解析式；对于二次函数$y_2=ax^2+bx$，已知图象过点$(1,2)$和$(5,6)$，将两个点坐标代入得到关于$a,b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$a,b$，得到$y_2$的解析式。
(2)①总销售利润$w$是甲种蔬菜的利润加乙种蔬菜的利润，已知乙进货量为$m$ t，则甲进货量为$(10-m)$ t，分别代入$y_1$和$y_2$的解析式，合并整理为二次函数的顶点式，结合二次函数的开口方向即可求出最大值及对应的$m$值，进而得到甲乙的进货量。
②利润之和不少于8400元即$w≥8.4$千元，先令$w=8.4$，解一元二次方程得到两个根，再结合二次函数开口向下的性质，即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1)求$y_1$的解析式：
将点$(5,3)$代入$y_1=kx$，得$5k=3$，解得$k=0.6$，$\therefore y_1=0.6x$。
求$y_2$的解析式：
将点$(1,2)$、$(5,6)$代入$y_2=ax^2+bx$，得方程组：
$\begin{cases}a+b=2\\25a+5b=6\end{cases}$
解方程组，得$\begin{cases}a=-0.2\\b=2.2\end{cases}$
$\therefore y_2=-0.2x^2+2.2x$。
(2)①由题意，乙种蔬菜进货量为$m$ t，则甲种蔬菜进货量为$(10-m)$ t，总利润$w=y_1+y_2$，代入解析式得：
$\begin{aligned}w&=0.6(10-m)+(-0.2m^2+2.2m)\\&=6-0.6m-0.2m^2+2.2m\\&=-0.2m^2+1.6m+6\\&=-0.2(m-4)^2+9.2\end{aligned}$
$\because -0.2＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当$m=4$时，$w$取得最大值，最大值为9.2千元，即9200元。
此时甲种蔬菜进货量为$10-4=6$ t。
②利润之和不少于8400元，即$w≥8.4$，令$w=8.4$，则：
$-0.2(m-4)^2+9.2=8.4$
整理得$(m-4)^2=4$，解得$m_1=2$，$m_2=6$。
$\because$二次函数$w=-0.2(m-4)^2+9.2$开口向下，
$\therefore$当$2≤ m≤6$时，$w≥8.4$，符合题意。
【答案】
(1)$y_1=0.6x$；$y_2=-0.2x^2+2.2x$
(2)①$w=-0.2(m-4)^2+9.2$；甲种蔬菜进货6t，乙种蔬菜进货4t时利润之和最大，最大利润是9200元。
②乙种蔬菜进货量应在$2\mathrm{t} ∼ 6\mathrm{t}$范围内合适。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，二次函数与不等式
【点评】
本题以实际销售利润问题为背景，综合考查了一次函数、二次函数的解析式求解，以及二次函数的最值计算和不等式的实际应用，解题时要注意单位的统一，同时结合函数图象性质分析问题，能有效提升用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
