登录
1.(甘肃中考)一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,建立如图所示的平面直角坐标系,水流喷出的高度$y$(m)与水平距离$x$(m)之间的关系式是 $y=-x^2 +2x +\frac{7}{4}(x＞0)$,则水流喷出的最大高度是 (
A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75 m
(第1题图)
(第3题图)
B
)A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75 m
(第1题图)
(第3题图)
答案
1.B
解析
【分析】
本题要求水流喷出的最大高度，本质是求二次函数$y=-x^2 +2x +\frac{7}{4}(x＞0)$的最大值。由于该二次函数的二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点的纵坐标即为函数的最大值，也就是水流的最大高度，可通过配方法或顶点坐标公式求解。
【解析】
方法1：配方法
对函数解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2 +2x +\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 +1+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
$\because x＞0$，$x=1$在取值范围内，且抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=1$时，$y$取最大值$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$。
方法2：顶点坐标公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点的纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{7}{4}$，代入得：
$\begin{aligned}y_{\mathrm{max}}&=\frac{4×(-1)×\frac{7}{4}-2^2}{4×(-1)}\\&=\frac{-7-4}{-4}\\&=\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的性质，解题的核心是将实际问题中的“最大高度”转化为二次函数的最值，熟练掌握二次函数求最值的常用方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
本题要求水流喷出的最大高度，本质是求二次函数$y=-x^2 +2x +\frac{7}{4}(x＞0)$的最大值。由于该二次函数的二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点的纵坐标即为函数的最大值，也就是水流的最大高度，可通过配方法或顶点坐标公式求解。
【解析】
方法1：配方法
对函数解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2 +2x +\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 +1+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
$\because x＞0$，$x=1$在取值范围内，且抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=1$时，$y$取最大值$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$。
方法2：顶点坐标公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点的纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{7}{4}$，代入得：
$\begin{aligned}y_{\mathrm{max}}&=\frac{4×(-1)×\frac{7}{4}-2^2}{4×(-1)}\\&=\frac{-7-4}{-4}\\&=\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的性质，解题的核心是将实际问题中的“最大高度”转化为二次函数的最值，熟练掌握二次函数求最值的常用方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
2.(亳州期末)标枪是一项技巧与力量相结合的田径运动.在一名运动员投掷标枪后,标枪的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,标枪的飞行高度$y$(m)与水平距离$x$(m)之间的函数关系式为$y=-\frac{1}{39}x^2+\frac{5}{3}x+\frac{22}{13}$,则标枪落地点到运动员的距离为 (
A.65 m
B.66 m
C.67 m
D.68 m
B
)A.65 m
B.66 m
C.67 m
D.68 m
答案
2.B
解析
【分析】
标枪落地时飞行高度为0，因此本题实际是求当y=0时自变量x的正数值（水平距离不能为负，负根需舍去）。解题时先令函数中y=0，将二次函数问题转化为解一元二次方程的问题，求解后取符合实际意义的正根，即可得到标枪落地点到运动员的距离。
【解析】
当标枪落地时，飞行高度$y=0$，将$y=0$代入函数关系式得：
$-\frac{1}{39}x^2+\frac{5}{3}x+\frac{22}{13}=0$
方程两边同时乘39消去分母，得：
$-x^2 + 65x + 66 = 0$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 65x - 66 = 0$
因式分解得：
$(x - 66)(x + 1) = 0$
解得：$x_1=66$，$x_2=-1$
因为水平距离$x$不能为负数，所以舍去$x=-1$，即标枪落地点到运动员的距离为66m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；解一元二次方程；抛物线实际意义
【点评】
本题考查二次函数在运动场景中的应用，解题核心是结合实际场景明确落地点对应$y=0$的数量关系，将函数问题转化为解方程问题，求解后注意结合实际意义舍去不符合要求的根即可。
【难度系数】
0.8
标枪落地时飞行高度为0，因此本题实际是求当y=0时自变量x的正数值（水平距离不能为负，负根需舍去）。解题时先令函数中y=0，将二次函数问题转化为解一元二次方程的问题，求解后取符合实际意义的正根，即可得到标枪落地点到运动员的距离。
【解析】
当标枪落地时，飞行高度$y=0$，将$y=0$代入函数关系式得：
$-\frac{1}{39}x^2+\frac{5}{3}x+\frac{22}{13}=0$
方程两边同时乘39消去分母，得：
$-x^2 + 65x + 66 = 0$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 65x - 66 = 0$
因式分解得：
$(x - 66)(x + 1) = 0$
解得：$x_1=66$，$x_2=-1$
因为水平距离$x$不能为负数，所以舍去$x=-1$，即标枪落地点到运动员的距离为66m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；解一元二次方程；抛物线实际意义
【点评】
本题考查二次函数在运动场景中的应用，解题核心是结合实际场景明确落地点对应$y=0$的数量关系，将函数问题转化为解方程问题，求解后注意结合实际意义舍去不符合要求的根即可。
【难度系数】
0.8
3.如图,小亮同学掷铅球时,铅球沿抛物线$y=a(x-3)^2+2.5$运行,其中x(m)是铅球离初始位置的水平距离,y(m)是铅球离地面的高度.若铅球掷出的水平距离OB为8 m,则铅球抛出时离地面的高度OA为
1.6
m.答案
3.1.6
解析
【分析】
本题考查二次函数在抛物线形运动问题中的应用，解题思路分为两步：① 先根据铅球落地时的坐标求出抛物线解析式中的未知系数a：已知OB=8m，说明铅球落在B点时坐标为(8,0)，将该点代入给出的顶点式解析式即可求出a的值；② 再求抛出时的高度OA：OA是铅球在初始位置x=0时的高度，将x=0代入已求出的解析式，计算得到的y值就是OA的长度。
【解析】
由题意可知，铅球落地时对应点B的坐标为$(8, 0)$。
将$B(8, 0)$代入抛物线解析式$y=a(x-3)^2+2.5$，得：
$0=a(8-3)^2+2.5$
化简得$25a+2.5=0$，解得$a=-0.1$。
因此抛物线的解析式为$y=-0.1(x-3)^2+2.5$。
要求铅球抛出时离地面的高度OA，即求$x=0$时对应的y值，将$x=0$代入解析式：
$y=-0.1×(0-3)^2+2.5=-0.1×9+2.5=-0.9+2.5=1.6$
即OA的长度为1.6m。
【答案】
1.6
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数解决实际运动问题的基础题型，核心是明确抛物线上特殊点的坐标含义，先通过已知点求出完整的函数解析式，再代入目标自变量求解对应函数值即可。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数在抛物线形运动问题中的应用，解题思路分为两步：① 先根据铅球落地时的坐标求出抛物线解析式中的未知系数a：已知OB=8m，说明铅球落在B点时坐标为(8,0)，将该点代入给出的顶点式解析式即可求出a的值；② 再求抛出时的高度OA：OA是铅球在初始位置x=0时的高度，将x=0代入已求出的解析式，计算得到的y值就是OA的长度。
【解析】
由题意可知，铅球落地时对应点B的坐标为$(8, 0)$。
将$B(8, 0)$代入抛物线解析式$y=a(x-3)^2+2.5$，得：
$0=a(8-3)^2+2.5$
化简得$25a+2.5=0$，解得$a=-0.1$。
因此抛物线的解析式为$y=-0.1(x-3)^2+2.5$。
要求铅球抛出时离地面的高度OA，即求$x=0$时对应的y值，将$x=0$代入解析式：
$y=-0.1×(0-3)^2+2.5=-0.1×9+2.5=-0.9+2.5=1.6$
即OA的长度为1.6m。
【答案】
1.6
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数解决实际运动问题的基础题型，核心是明确抛物线上特殊点的坐标含义，先通过已知点求出完整的函数解析式，再代入目标自变量求解对应函数值即可。
【难度系数】
0.8
4. 体育运动情境化如图，一名篮球运动员投篮，球沿抛物线 $y=-\dfrac{1}{5}x^2 + 3.5$ 运行，然后准确落入篮筐内。已知篮筐的中心离地面的距离为3.05 m。
(1)球在空中运行的最大高度为
(2)如果该运动员投篮时，球出手的位置离地面的高度为2.25 m，请问他距离篮筐中心的水平距离为多少米？
(1)球在空中运行的最大高度为
3.5
m；(2)如果该运动员投篮时，球出手的位置离地面的高度为2.25 m，请问他距离篮筐中心的水平距离为多少米？
答案
(1)3.5
(2)当 $y=3.05$ 时,$3.05=-\frac{1}{5}x^2+3.5$,解得 $x=\pm1.5. \because x＞0,\therefore x=1.5.$ 当 $y=2.25$ 时,$2.25=-\frac{1}{5}x^2+3.5$,解得 $x=\pm2.5. \because x＜0,\therefore x=-2.5. \therefore$ 他距离篮筐中心的水平距离为 $1.5-(-2.5)=4(\mathrm{m}).$
(2)当 $y=3.05$ 时,$3.05=-\frac{1}{5}x^2+3.5$,解得 $x=\pm1.5. \because x＞0,\therefore x=1.5.$ 当 $y=2.25$ 时,$2.25=-\frac{1}{5}x^2+3.5$,解得 $x=\pm2.5. \because x＜0,\therefore x=-2.5. \therefore$ 他距离篮筐中心的水平距离为 $1.5-(-2.5)=4(\mathrm{m}).$
解析
【分析】
(1) 所给抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{5}x^2 + 3.5$，开口向下，顶点在y轴上，二次函数开口向下时顶点处取得最大值，因此直接读取顶点纵坐标即可得到最大高度。
(2) 要求运动员到篮筐中心的水平距离，需分别求出两个位置对应的横坐标：将篮筐高度代入解析式，结合篮筐在y轴右侧的位置取正根；将出手高度代入解析式，结合出手点在y轴左侧的位置取负根，两个横坐标的差值就是水平距离。
【解析】
(1) 抛物线$y=-\dfrac{1}{5}x^2 + 3.5$的二次项系数为负，图象开口向下，顶点坐标为$(0,3.5)$，因此y的最大值为3.5，即球在空中运行的最大高度为3.5m。
(2) 求篮筐中心的横坐标：
把$y=3.05$代入解析式得$3.05=-\dfrac{1}{5}x^2+3.5$，
整理得$x^2=2.25$，解得$x=\pm1.5$，
因篮筐在y轴右侧，$x＞0$，故$x=1.5$。
求球出手位置的横坐标：
把$y=2.25$代入解析式得$2.25=-\dfrac{1}{5}x^2+3.5$，
整理得$x^2=6.25$，解得$x=\pm2.5$，
因出手点在y轴左侧，$x＜0$，故$x=-2.5$。
水平距离为$1.5-(-2.5)=4(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $\boxed{3.5}$
(2) $\boxed{4\mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题结合投篮的生活场景，考查二次函数在抛物线运动问题中的应用，解题核心是明确抛物线上点的坐标的实际意义，结合实际位置取舍方程的根，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 所给抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{5}x^2 + 3.5$，开口向下，顶点在y轴上，二次函数开口向下时顶点处取得最大值，因此直接读取顶点纵坐标即可得到最大高度。
(2) 要求运动员到篮筐中心的水平距离，需分别求出两个位置对应的横坐标：将篮筐高度代入解析式，结合篮筐在y轴右侧的位置取正根；将出手高度代入解析式，结合出手点在y轴左侧的位置取负根，两个横坐标的差值就是水平距离。
【解析】
(1) 抛物线$y=-\dfrac{1}{5}x^2 + 3.5$的二次项系数为负，图象开口向下，顶点坐标为$(0,3.5)$，因此y的最大值为3.5，即球在空中运行的最大高度为3.5m。
(2) 求篮筐中心的横坐标：
把$y=3.05$代入解析式得$3.05=-\dfrac{1}{5}x^2+3.5$，
整理得$x^2=2.25$，解得$x=\pm1.5$，
因篮筐在y轴右侧，$x＞0$，故$x=1.5$。
求球出手位置的横坐标：
把$y=2.25$代入解析式得$2.25=-\dfrac{1}{5}x^2+3.5$，
整理得$x^2=6.25$，解得$x=\pm2.5$，
因出手点在y轴左侧，$x＜0$，故$x=-2.5$。
水平距离为$1.5-(-2.5)=4(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $\boxed{3.5}$
(2) $\boxed{4\mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的实际应用，解一元二次方程
【点评】
本题结合投篮的生活场景，考查二次函数在抛物线运动问题中的应用，解题核心是明确抛物线上点的坐标的实际意义，结合实际位置取舍方程的根，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
5.已知某种礼炮的升空高度$h(\mathrm{m})$与飞行时间$t(\mathrm{s})$之间的函数关系式为$h=-\frac{5}{2}t^2 +20t +1$。若此礼炮在升到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（
A.3 s
B.4 s
C.5 s
D.6 s
B
）A.3 s
B.4 s
C.5 s
D.6 s
答案
5.B
解析
【分析】
礼炮升空高度$h$是关于飞行时间$t$的二次函数，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处$h$取得最大值，对应礼炮上升到最高处的位置，因此求引爆时间就是求该二次函数顶点的横坐标，可利用二次函数对称轴公式$t=-\frac{b}{2a}$计算。
【解析】
对于二次函数$h=-\frac{5}{2}t^2 +20t +1$，其中二次项系数$a=-\frac{5}{2}$，一次项系数$b=20$。
因为$a=-\frac{5}{2}＜0$，所以函数图象开口向下，当$t=-\frac{b}{2a}$时，$h$取得最大值，即礼炮升到最高处。
代入数值计算：
$t=-\frac{20}{2×(-\frac{5}{2})}=-\frac{20}{-5}=4(\mathrm{s})$
因此引爆需要的时间为4s。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数对称轴公式；二次函数实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的最值应用，解题的核心是将实际问题中的“最高处”转化为二次函数的顶点，掌握二次函数对称轴公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
礼炮升空高度$h$是关于飞行时间$t$的二次函数，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处$h$取得最大值，对应礼炮上升到最高处的位置，因此求引爆时间就是求该二次函数顶点的横坐标，可利用二次函数对称轴公式$t=-\frac{b}{2a}$计算。
【解析】
对于二次函数$h=-\frac{5}{2}t^2 +20t +1$，其中二次项系数$a=-\frac{5}{2}$，一次项系数$b=20$。
因为$a=-\frac{5}{2}＜0$，所以函数图象开口向下，当$t=-\frac{b}{2a}$时，$h$取得最大值，即礼炮升到最高处。
代入数值计算：
$t=-\frac{20}{2×(-\frac{5}{2})}=-\frac{20}{-5}=4(\mathrm{s})$
因此引爆需要的时间为4s。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数对称轴公式；二次函数实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的最值应用，解题的核心是将实际问题中的“最高处”转化为二次函数的顶点，掌握二次函数对称轴公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6.(教材P39例4变式)汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离。现通过模拟某款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，小组收集、整理数据，绘制的函数图象如图所示。发现：开始刹车后行驶的距离y(m)与刹车后行驶的时间t(s)之间成二次函数关系。则司机踩下刹车后，汽车
4.5
s后完全停下。答案
6.4.5
解析
【分析】
首先已知刹车后行驶距离y与时间t满足二次函数关系，且图象过原点，同时给出两组对应点坐标。解题思路分三步：第一步设出过原点的二次函数解析式；第二步代入已知点坐标，解方程组求出解析式的系数；第三步明确汽车完全停下时行驶距离达到最大值，对应二次函数顶点的横坐标，利用二次函数顶点坐标公式计算即可得到结果。
【解析】
设刹车距离y关于时间t的二次函数解析式为$y=at^2+bt$（$a≠0$，t=0时y=0，故常数项为0）。
将$t=1,y=24$和$t=3,y=54$分别代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}a+b=24\\9a+3b=54\end{cases}$
化简第二个方程得$3a+b=18$，用该式减去第一个方程：
$3a+b-(a+b)=18-24$，解得$2a=-6$，即$a=-3$。
将$a=-3$代入$a+b=24$，得$b=27$。
因此函数解析式为$y=-3t^2+27t$。
汽车完全停下时，行驶距离y取得最大值，对于开口向下的二次函数，最大值对应顶点的横坐标，由顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-3,b=27$得：
$t=-\frac{27}{2×(-3)}=\frac{27}{6}=4.5$
【答案】
4.5
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数顶点性质；二次函数实际应用
【点评】
本题结合汽车刹车的生活场景考查二次函数的应用，解题核心是理解汽车停止时对应二次函数取得最大值，即顶点的横坐标，需要熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数顶点坐标的计算方法。
【难度系数】
0.6
首先已知刹车后行驶距离y与时间t满足二次函数关系，且图象过原点，同时给出两组对应点坐标。解题思路分三步：第一步设出过原点的二次函数解析式；第二步代入已知点坐标，解方程组求出解析式的系数；第三步明确汽车完全停下时行驶距离达到最大值，对应二次函数顶点的横坐标，利用二次函数顶点坐标公式计算即可得到结果。
【解析】
设刹车距离y关于时间t的二次函数解析式为$y=at^2+bt$（$a≠0$，t=0时y=0，故常数项为0）。
将$t=1,y=24$和$t=3,y=54$分别代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}a+b=24\\9a+3b=54\end{cases}$
化简第二个方程得$3a+b=18$，用该式减去第一个方程：
$3a+b-(a+b)=18-24$，解得$2a=-6$，即$a=-3$。
将$a=-3$代入$a+b=24$，得$b=27$。
因此函数解析式为$y=-3t^2+27t$。
汽车完全停下时，行驶距离y取得最大值，对于开口向下的二次函数，最大值对应顶点的横坐标，由顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-3,b=27$得：
$t=-\frac{27}{2×(-3)}=\frac{27}{6}=4.5$
【答案】
4.5
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数顶点性质；二次函数实际应用
【点评】
本题结合汽车刹车的生活场景考查二次函数的应用，解题核心是理解汽车停止时对应二次函数取得最大值，即顶点的横坐标，需要熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数顶点坐标的计算方法。
【难度系数】
0.6
