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7.(教材P37练习T1变式)(合肥蜀山区期末)合肥市某隧道横截面由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成.隧道的最高点C到地面DE的距离为6 m,两侧墙面高AD=BE=3.5 m,地面跨度DE=10 m.车辆进入隧道,应在行驶车道内通行(禁止压线),线的宽度忽略不计.右侧车道线与墙面的距离为1 m.且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3 m.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求抛物线的函数表达式;
(2)求该隧道右侧车道的最大安全限高h的值.(精确到个位)
(1)建立适当的平面直角坐标系,求抛物线的函数表达式;
(2)求该隧道右侧车道的最大安全限高h的值.(精确到个位)
答案
解:(1)如图,以D为原点,DE所在直线为x轴,DA所在直线为y轴建立平面直角坐标系.由题意,得A(0,3.5),B(10,3.5),抛物线的顶点C(5,6).设抛物线的函数表达式为$y=a(x-5)^2+6$.将A(0,3.5)代入,得$3.5=a(0-5)^2+6$,解得$a=-\dfrac{1}{10}$.
∴抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{10}(x-5)^2+6$.
(2)由题意,得$x_h=10-1=9$,此时$y_h=-\dfrac{1}{10}×(9-5)^2+6=4.4$.
∴$h=4.4-0.3=4.1\approx4(\mathrm{m})$.答:该隧道右侧车道的最大安全限高h的值为4 m.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式首先要建立合适的平面直角坐标系，本题以D为原点、DE为x轴、DA为y轴建系最简便。首先确定已知点坐标：A(0,3.5)、B(10,3.5)，抛物线顶点即最高点C的坐标为(5,6)。已知顶点坐标时选用顶点式求解效率最高，代入顶点坐标后再代入A点坐标即可求出未知系数a，得到解析式。
(2) 求右侧车道安全限高，首先确定右侧车道线对应的横坐标：右侧墙面在x=10处，车道线距墙面1m，因此对应x=9。将x=9代入抛物线解析式得到对应位置的隧道顶部高度，再减去要求的0.3m竖直空隙，最后按要求将结果精确到个位即可。
【解析】
(1) 以D为原点，DE所在直线为x轴，DA所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：A(0,3.5)，B(10,3.5)，抛物线顶点C(5,6)。
设抛物线的函数表达式为顶点式$y=a(x-5)^2+6$，将A(0,3.5)代入得：
$3.5=a(0-5)^2+6$
解得$a=-\dfrac{1}{10}$
因此抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{10}(x-5)^2+6$。
(2) 由题意，右侧车道线与墙面BE距离为1m，BE对应x=10，因此车道线对应横坐标为$x=10-1=9$。
将$x=9$代入抛物线解析式，得对应位置隧道顶部高度：
$y=-\dfrac{1}{10}×(9-5)^2+6=4.4\ \mathrm{m}$
要求车辆顶部与隧道顶部竖直空隙不小于0.3m，因此最大安全限高$h=4.4-0.3=4.1\approx4(\mathrm{m})$。
【答案】
解:(1)如图,以D为原点,DE所在直线为x轴,DA所在直线为y轴建立平面直角坐标系.由题意,得A(0,3.5),B(10,3.5),抛物线的顶点C(5,6).设抛物线的函数表达式为$y=a(x-5)^2+6$.将A(0,3.5)代入,得$3.5=a(0-5)^2+6$,解得$a=-\dfrac{1}{10}$.
∴抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{10}(x-5)^2+6$.
(2)由题意,得$x_h=10-1=9$,此时$y_h=-\dfrac{1}{10}×(9-5)^2+6=4.4$.
∴$h=4.4-0.3=4.1\approx4(\mathrm{m})$.答:该隧道右侧车道的最大安全限高h的值为4 m.
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数实际应用，坐标系建立与应用
【点评】
本题是抛物线形建筑问题的典型题型，解题核心是通过建立坐标系将实际问题转化为二次函数代数问题，要注意准确提取题中条件确定点坐标，计算得到结果后还要结合实际要求进行处理，满足题目对精度的要求。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式首先要建立合适的平面直角坐标系，本题以D为原点、DE为x轴、DA为y轴建系最简便。首先确定已知点坐标：A(0,3.5)、B(10,3.5)，抛物线顶点即最高点C的坐标为(5,6)。已知顶点坐标时选用顶点式求解效率最高，代入顶点坐标后再代入A点坐标即可求出未知系数a，得到解析式。
(2) 求右侧车道安全限高，首先确定右侧车道线对应的横坐标：右侧墙面在x=10处，车道线距墙面1m，因此对应x=9。将x=9代入抛物线解析式得到对应位置的隧道顶部高度，再减去要求的0.3m竖直空隙，最后按要求将结果精确到个位即可。
【解析】
(1) 以D为原点，DE所在直线为x轴，DA所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：A(0,3.5)，B(10,3.5)，抛物线顶点C(5,6)。
设抛物线的函数表达式为顶点式$y=a(x-5)^2+6$，将A(0,3.5)代入得：
$3.5=a(0-5)^2+6$
解得$a=-\dfrac{1}{10}$
因此抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{10}(x-5)^2+6$。
(2) 由题意，右侧车道线与墙面BE距离为1m，BE对应x=10，因此车道线对应横坐标为$x=10-1=9$。
将$x=9$代入抛物线解析式，得对应位置隧道顶部高度：
$y=-\dfrac{1}{10}×(9-5)^2+6=4.4\ \mathrm{m}$
要求车辆顶部与隧道顶部竖直空隙不小于0.3m，因此最大安全限高$h=4.4-0.3=4.1\approx4(\mathrm{m})$。
【答案】
解:(1)如图,以D为原点,DE所在直线为x轴,DA所在直线为y轴建立平面直角坐标系.由题意,得A(0,3.5),B(10,3.5),抛物线的顶点C(5,6).设抛物线的函数表达式为$y=a(x-5)^2+6$.将A(0,3.5)代入,得$3.5=a(0-5)^2+6$,解得$a=-\dfrac{1}{10}$.
∴抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{10}(x-5)^2+6$.
(2)由题意,得$x_h=10-1=9$,此时$y_h=-\dfrac{1}{10}×(9-5)^2+6=4.4$.
∴$h=4.4-0.3=4.1\approx4(\mathrm{m})$.答:该隧道右侧车道的最大安全限高h的值为4 m.
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数实际应用，坐标系建立与应用
【点评】
本题是抛物线形建筑问题的典型题型，解题核心是通过建立坐标系将实际问题转化为二次函数代数问题，要注意准确提取题中条件确定点坐标，计算得到结果后还要结合实际要求进行处理，满足题目对精度的要求。
【难度系数】
0.7
8. 项目学习新趋势 根据以下素材，完成探究任务.
素材一
某公园有一个抛物线形观景拱桥ACB，其横截面如图所示，量得该拱桥占地面最宽处AB=20 m，最高处点C距地面5 m（即OC=5 m）
素材二
桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E,F，两灯直射地面分别形成反光点H,G（E,F分别在抛物线上且关于OC对称，H,G在线段AB上），量得矩形EFGH的周长为27.5 m.现公园管理人员对拱桥加固维修，在点G,H处搭建一个高3.5 m的矩形脚手架MNGH.已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35 m可保证安全
问题解决
任务一
确定观景拱桥的形状
分别以AB,OC所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式
任务二
探究方案合理性
请问该“脚手架”的安装是否符合要求？如果符合，请说明理由；如果不符合，求出脚手架至少应调低多少米
素材一
某公园有一个抛物线形观景拱桥ACB，其横截面如图所示，量得该拱桥占地面最宽处AB=20 m，最高处点C距地面5 m（即OC=5 m）
素材二
桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E,F，两灯直射地面分别形成反光点H,G（E,F分别在抛物线上且关于OC对称，H,G在线段AB上），量得矩形EFGH的周长为27.5 m.现公园管理人员对拱桥加固维修，在点G,H处搭建一个高3.5 m的矩形脚手架MNGH.已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35 m可保证安全
问题解决
任务一
确定观景拱桥的形状
分别以AB,OC所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式
任务二
探究方案合理性
请问该“脚手架”的安装是否符合要求？如果符合，请说明理由；如果不符合，求出脚手架至少应调低多少米
答案
解:(任务一)由题意,得B(10,0),C(0,5).设抛物线的函数表达式为$y=ax^2+5$.将B(10,0)代入,得$0=100a+5$,解得$a=-\dfrac{1}{20}$.
∴抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{20}x^2+5$.
(任务二)设$E(m,-\dfrac{1}{20}m^2+5)$,且$0＜m＜10$,则$EF=2m$,$EH=-\dfrac{1}{20}m^2+5$.由题意,得$2(EF+EH)=27.5$,即$2(2m-\dfrac{1}{20}m^2+5)=27.5$,解得$m_1=5$,$m_2=35$(不符合题意,舍去).
∴$EH=-\dfrac{1}{20}×5^2+5=3.75$.
∵$3.75-3.5=0.25＜0.35$,
∴该“脚手架”的安装不符合要求,脚手架至少应调低$0.35-0.25=0.1(\mathrm{m})$.
∴抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{20}x^2+5$.
(任务二)设$E(m,-\dfrac{1}{20}m^2+5)$,且$0＜m＜10$,则$EF=2m$,$EH=-\dfrac{1}{20}m^2+5$.由题意,得$2(EF+EH)=27.5$,即$2(2m-\dfrac{1}{20}m^2+5)=27.5$,解得$m_1=5$,$m_2=35$(不符合题意,舍去).
∴$EH=-\dfrac{1}{20}×5^2+5=3.75$.
∵$3.75-3.5=0.25＜0.35$,
∴该“脚手架”的安装不符合要求,脚手架至少应调低$0.35-0.25=0.1(\mathrm{m})$.
解析
【分析】
首先解决任务一：已知抛物线顶点在y轴上，坐标为C(0,5)，因此可设顶点式的二次函数表达式，再结合抛物线过点B(10,0)，代入即可求出未知系数，得到抛物线解析式。
再解决任务二：利用E、F关于y轴对称的性质，设点E的横坐标为m，即可用含m的代数式表示出矩形EFGH的长EF和宽EH，结合矩形周长为27.5m列方程，求解得到m的正值，再算出E点的纵坐标（即景观灯的高度），计算景观灯与脚手架顶部的高度差，和0.35m比较判断是否符合要求，若不符合则计算需要调低的高度。
【解析】
任务一
由题意可知，抛物线顶点C的坐标为(0,5)，点B的坐标为(10,0)。
设抛物线的函数表达式为$y=ax^2+5$。
将$B(10,0)$代入表达式得：
$0=100a+5$，
解得$a=-\dfrac{1}{20}$。
因此抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{20}x^2+5$。
任务二
设点E的坐标为$(m,-\dfrac{1}{20}m^2+5)$，其中$0＜m＜10$。
因为E、F关于y轴对称，所以$EF=2m$，矩形的宽$EH=-\dfrac{1}{20}m^2+5$。
已知矩形EFGH的周长为27.5m，根据矩形周长公式得：
$2(2m -\dfrac{1}{20}m^2+5)=27.5$，
解得$m_1=5$，$m_2=35$，$m=35$不符合$0＜m＜10$的要求，舍去。
将$m=5$代入E点纵坐标得：
$EH=-\dfrac{1}{20}×5^2+5=3.75\ \mathrm{m}$。
景观灯与脚手架顶部的高度差为$3.75-3.5=0.25\ \mathrm{m}$，
因为$0.25＜0.35$，不符合安全要求，
所以脚手架至少应调低的高度为$0.35-0.25=0.1\ \mathrm{m}$。
【答案】
任务一：$y=-\dfrac{1}{20}x^2+5$
任务二：不符合要求，至少应调低0.1 m
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数实际应用；一元二次方程求解
【点评】
本题以实际建筑场景为载体，结合二次函数与矩形性质考查实际问题的求解，需要学生将实际问题转化为数学模型，通过列方程求解，既考查基础运算能力，也锻炼数学建模思维。
【难度系数】
0.65
首先解决任务一：已知抛物线顶点在y轴上，坐标为C(0,5)，因此可设顶点式的二次函数表达式，再结合抛物线过点B(10,0)，代入即可求出未知系数，得到抛物线解析式。
再解决任务二：利用E、F关于y轴对称的性质，设点E的横坐标为m，即可用含m的代数式表示出矩形EFGH的长EF和宽EH，结合矩形周长为27.5m列方程，求解得到m的正值，再算出E点的纵坐标（即景观灯的高度），计算景观灯与脚手架顶部的高度差，和0.35m比较判断是否符合要求，若不符合则计算需要调低的高度。
【解析】
任务一
由题意可知，抛物线顶点C的坐标为(0,5)，点B的坐标为(10,0)。
设抛物线的函数表达式为$y=ax^2+5$。
将$B(10,0)$代入表达式得：
$0=100a+5$，
解得$a=-\dfrac{1}{20}$。
因此抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{20}x^2+5$。
任务二
设点E的坐标为$(m,-\dfrac{1}{20}m^2+5)$，其中$0＜m＜10$。
因为E、F关于y轴对称，所以$EF=2m$，矩形的宽$EH=-\dfrac{1}{20}m^2+5$。
已知矩形EFGH的周长为27.5m，根据矩形周长公式得：
$2(2m -\dfrac{1}{20}m^2+5)=27.5$，
解得$m_1=5$，$m_2=35$，$m=35$不符合$0＜m＜10$的要求，舍去。
将$m=5$代入E点纵坐标得：
$EH=-\dfrac{1}{20}×5^2+5=3.75\ \mathrm{m}$。
景观灯与脚手架顶部的高度差为$3.75-3.5=0.25\ \mathrm{m}$，
因为$0.25＜0.35$，不符合安全要求，
所以脚手架至少应调低的高度为$0.35-0.25=0.1\ \mathrm{m}$。
【答案】
任务一：$y=-\dfrac{1}{20}x^2+5$
任务二：不符合要求，至少应调低0.1 m
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数实际应用；一元二次方程求解
【点评】
本题以实际建筑场景为载体，结合二次函数与矩形性质考查实际问题的求解，需要学生将实际问题转化为数学模型，通过列方程求解，既考查基础运算能力，也锻炼数学建模思维。
【难度系数】
0.65
