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1.(安庆期中)已知二次函数 $ y=-ax^2+2ax+4a(a＞0) $，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(3,2)。
(1)该函数图象的对称轴为直线
(2)若该函数图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是
思维呈现：
【变式题】抛物线 $ y=ax^2-4x-1 $ 的对称轴为直线 $ x=1 $。
(1)a的值为
(2)若抛物线 $ y=ax^2-4x-1+t $ 在 $ 0＜x＜3 $ 内与x轴只有一个交点，则t的取值范围是
(1)该函数图象的对称轴为直线
$x=1$
；(2)若该函数图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是
$a=\frac{2}{5}$或$\frac{1}{2}＜a≤2$
。思维呈现：
【变式题】抛物线 $ y=ax^2-4x-1 $ 的对称轴为直线 $ x=1 $。
(1)a的值为
2
；(2)若抛物线 $ y=ax^2-4x-1+t $ 在 $ 0＜x＜3 $ 内与x轴只有一个交点，则t的取值范围是
$t=3$或$-5＜t≤1$
。答案
1.(1)$x=1$ (2)$a=\frac{2}{5}$或$\frac{1}{2}＜a≤2$ 【变式题】(1)2 (2)$t=3$或$-5＜t≤1$
解析
【分析】
本题考查二次函数的性质与含参交点问题，解题思路如下：
1. 二次函数对称轴直接用公式$x=-\frac{b}{2a}$代入计算即可。
2. 二次函数与线段（或限定区间）只有一个交点时，分两类讨论：①抛物线顶点恰好落在线段（或区间内的x轴）上，直接代入顶点坐标求解参数；②抛物线穿过线段（或区间），通过端点处函数值的大小关系列不等式，注意排除两交点都落在目标范围内的情况，同时要注意区间端点是否包含的边界条件。
【解析】
原题
(1) 对于二次函数$y=-ax^2+2ax+4a(a＞0)$，其中二次项系数为$-a$，一次项系数为$2a$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{2a}{2×(-a)}=1$。
(2) 线段AB的y值恒为2，x的范围为$0≤ x≤3$，分两种情况讨论：
① 顶点在线段AB上：
将$x=1$代入函数，得顶点纵坐标$y=-a+2a+4a=5a$，令$5a=2$，解得$a=\frac{2}{5}$，符合条件。
② 顶点不在线段AB上，仅与线段AB有一个交点：
计算端点处函数值：$x=0$时$y=4a$，$x=3$时$y=a$。
抛物线开口向下，要仅出现一个交点，需满足x=0处函数值大于2，x=3处函数值小于等于2，此时仅在$1＜x≤3$区间有一个交点，列不等式：
$\begin{cases}4a＞2 \\ a≤2\end{cases}$，解得$\frac{1}{2}＜a≤2$。
---
变式题
(1) 抛物线$y=ax^2-4x-1$的对称轴为$x=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}$，已知对称轴为$x=1$，则$\frac{2}{a}=1$，解得$a=2$。
(2) 代入$a=2$得抛物线解析式为$y=2x^2-4x-1+t$，对称轴为$x=1$，在$0＜x＜3$内与x轴只有一个交点，分两种情况：
① 顶点在x轴上：
将$x=1$代入得$y=2-4-1+t=t-3=0$，解得$t=3$，顶点落在$0＜x＜3$区间内，符合条件。
② 顶点不在x轴上，仅一个交点在区间内：
计算端点函数值：$x=0$时$y=t-1$，$x=3$时$y=t+5$。
区间不包含端点，需满足x=0处函数值≤0，x=3处函数值＞0：
$\begin{cases}t-1≤0 \\ t+5＞0\end{cases}$，解得$-5＜t≤1$。
其中$t=1$时，x=0处交点为区间外，另一交点$x=2$在区间内，符合条件；$t=-5$时仅x=3处有交点，为区间外，不符合。
【答案】
1.(1)$x=1$ (2)$a=\frac{2}{5}$或$\frac{1}{2}＜a≤2$
【变式题】(1)$2$ (2)$t=3$或$-5＜t≤1$
【知识点】
二次函数对称轴；二次函数交点问题；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数含参问题的常考题型，核心是结合函数的对称性、开口方向分类讨论，解题时要特别注意边界值的验证，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.65
本题考查二次函数的性质与含参交点问题，解题思路如下：
1. 二次函数对称轴直接用公式$x=-\frac{b}{2a}$代入计算即可。
2. 二次函数与线段（或限定区间）只有一个交点时，分两类讨论：①抛物线顶点恰好落在线段（或区间内的x轴）上，直接代入顶点坐标求解参数；②抛物线穿过线段（或区间），通过端点处函数值的大小关系列不等式，注意排除两交点都落在目标范围内的情况，同时要注意区间端点是否包含的边界条件。
【解析】
原题
(1) 对于二次函数$y=-ax^2+2ax+4a(a＞0)$，其中二次项系数为$-a$，一次项系数为$2a$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{2a}{2×(-a)}=1$。
(2) 线段AB的y值恒为2，x的范围为$0≤ x≤3$，分两种情况讨论：
① 顶点在线段AB上：
将$x=1$代入函数，得顶点纵坐标$y=-a+2a+4a=5a$，令$5a=2$，解得$a=\frac{2}{5}$，符合条件。
② 顶点不在线段AB上，仅与线段AB有一个交点：
计算端点处函数值：$x=0$时$y=4a$，$x=3$时$y=a$。
抛物线开口向下，要仅出现一个交点，需满足x=0处函数值大于2，x=3处函数值小于等于2，此时仅在$1＜x≤3$区间有一个交点，列不等式：
$\begin{cases}4a＞2 \\ a≤2\end{cases}$，解得$\frac{1}{2}＜a≤2$。
---
变式题
(1) 抛物线$y=ax^2-4x-1$的对称轴为$x=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}$，已知对称轴为$x=1$，则$\frac{2}{a}=1$，解得$a=2$。
(2) 代入$a=2$得抛物线解析式为$y=2x^2-4x-1+t$，对称轴为$x=1$，在$0＜x＜3$内与x轴只有一个交点，分两种情况：
① 顶点在x轴上：
将$x=1$代入得$y=2-4-1+t=t-3=0$，解得$t=3$，顶点落在$0＜x＜3$区间内，符合条件。
② 顶点不在x轴上，仅一个交点在区间内：
计算端点函数值：$x=0$时$y=t-1$，$x=3$时$y=t+5$。
区间不包含端点，需满足x=0处函数值≤0，x=3处函数值＞0：
$\begin{cases}t-1≤0 \\ t+5＞0\end{cases}$，解得$-5＜t≤1$。
其中$t=1$时，x=0处交点为区间外，另一交点$x=2$在区间内，符合条件；$t=-5$时仅x=3处有交点，为区间外，不符合。
【答案】
1.(1)$x=1$ (2)$a=\frac{2}{5}$或$\frac{1}{2}＜a≤2$
【变式题】(1)$2$ (2)$t=3$或$-5＜t≤1$
【知识点】
二次函数对称轴；二次函数交点问题；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数含参问题的常考题型，核心是结合函数的对称性、开口方向分类讨论，解题时要特别注意边界值的验证，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.65
2.(芜湖期中)已知抛物线$y=ax^2-4ax+3a-1$的开口向上.
(1)该抛物线的对称轴是直线
(2)若该抛物线与$x$轴交于$A,B$两点，且$AB＜3$，则$a$的取值范围是
(1)该抛物线的对称轴是直线
$x=2$
；(2)若该抛物线与$x$轴交于$A,B$两点，且$AB＜3$，则$a$的取值范围是
$a＞\frac{4}{5}$
.答案
2.(1)$x=2$ (2)$a＞\frac{4}{5}$
解析
【分析】
(1) 求二次函数的对称轴，直接利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入对应系数计算即可。
(2) 已知抛物线开口向上，可得$a＞0$；抛物线与$x$轴有两个交点，先通过判别式验证交点存在的条件，再利用韦达定理求出两点横坐标的和与积，进而表示出AB的长度，根据$AB＜3$列不等式求解，最后综合所有条件得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2-4ax+3a-1$，其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=-4a$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4a}{2a}=2$
故对称轴为直线$x=2$。
(2) ① 由抛物线开口向上，得$a＞0$；
② 抛物线与$x$轴交于A、B两点，故判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=(-4a)^2 - 4a(3a-1)=16a^2-12a^2+4a=4a^2+4a$
当$a＞0$时，$4a^2+4a＞0$恒成立，因此只要$a＞0$即可保证抛物线与$x$轴有两个交点；
③ 设A、B两点横坐标为$x_1,x_2$，由韦达定理得：
$x_1+x_2=\frac{4a}{a}=4$，$x_1x_2=\frac{3a-1}{a}=3-\frac{1}{a}$
则AB的长度为$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$，代入得：
$|x_1-x_2|=\sqrt{4^2 - 4×(3-\frac{1}{a})}=\sqrt{4+\frac{4}{a}}$
根据题意$AB＜3$，即$\sqrt{4+\frac{4}{a}}＜3$，两边均为正数，平方得：
$4+\frac{4}{a}＜9$
移项得$\frac{4}{a}＜5$，因为$a＞0$，两边乘$a$不等号方向不变，得$4＜5a$，解得$a＞\frac{4}{5}$。
【答案】
(1)$x=2$；(2)$a＞\frac{4}{5}$
【知识点】
二次函数对称轴计算，抛物线与x轴交点，根与系数的关系
【点评】
本题考查二次函数的基本性质及含参二次函数的交点问题，解题时需先明确参数的隐含限制（如开口方向对应的$a$的符号），再结合韦达定理表示出交点距离，解不等式时要注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.6
(1) 求二次函数的对称轴，直接利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入对应系数计算即可。
(2) 已知抛物线开口向上，可得$a＞0$；抛物线与$x$轴有两个交点，先通过判别式验证交点存在的条件，再利用韦达定理求出两点横坐标的和与积，进而表示出AB的长度，根据$AB＜3$列不等式求解，最后综合所有条件得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2-4ax+3a-1$，其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=-4a$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4a}{2a}=2$
故对称轴为直线$x=2$。
(2) ① 由抛物线开口向上，得$a＞0$；
② 抛物线与$x$轴交于A、B两点，故判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=(-4a)^2 - 4a(3a-1)=16a^2-12a^2+4a=4a^2+4a$
当$a＞0$时，$4a^2+4a＞0$恒成立，因此只要$a＞0$即可保证抛物线与$x$轴有两个交点；
③ 设A、B两点横坐标为$x_1,x_2$，由韦达定理得：
$x_1+x_2=\frac{4a}{a}=4$，$x_1x_2=\frac{3a-1}{a}=3-\frac{1}{a}$
则AB的长度为$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$，代入得：
$|x_1-x_2|=\sqrt{4^2 - 4×(3-\frac{1}{a})}=\sqrt{4+\frac{4}{a}}$
根据题意$AB＜3$，即$\sqrt{4+\frac{4}{a}}＜3$，两边均为正数，平方得：
$4+\frac{4}{a}＜9$
移项得$\frac{4}{a}＜5$，因为$a＞0$，两边乘$a$不等号方向不变，得$4＜5a$，解得$a＞\frac{4}{5}$。
【答案】
(1)$x=2$；(2)$a＞\frac{4}{5}$
【知识点】
二次函数对称轴计算，抛物线与x轴交点，根与系数的关系
【点评】
本题考查二次函数的基本性质及含参二次函数的交点问题，解题时需先明确参数的隐含限制（如开口方向对应的$a$的符号），再结合韦达定理表示出交点距离，解不等式时要注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.6
3.(阜阳一模)已知二次函数$y=ax^2 -4ax +3a$.
(1)若该二次函数的图象开口向下,当$1≤x≤4$时,$y$的最小值是$-6$,则$a$的值为
(2)若对于该抛物线上的两点$P(x_1,y_1)$,$Q(x_2,y_2)$,当$t≤x_1≤t+1$,$x_2≥5$时,均满足$y_1≥y_2$,则$t$的取值范围是
(1)若该二次函数的图象开口向下,当$1≤x≤4$时,$y$的最小值是$-6$,则$a$的值为
$-2$
;(2)若对于该抛物线上的两点$P(x_1,y_1)$,$Q(x_2,y_2)$,当$t≤x_1≤t+1$,$x_2≥5$时,均满足$y_1≥y_2$,则$t$的取值范围是
$-1≤t≤4$
.答案
3.(1)$-2$ (2)$-1≤t≤4$
解析
【分析】
(1) 先通过二次函数解析式求出对称轴，结合开口向下的条件，判断在给定区间$1≤x≤4$内y取最小值时的x值，代入解析式列方程即可求解a的值。
(2) 先分类讨论a的正负：a＞0时开口向上，x≥5时y可无限增大，不符合题意，故a＜0；再利用二次函数的对称性找到x=5关于对称轴的对称点，结合开口向下时的增减性，确定区间$[t,t+1]$的范围，进而求出t的取值范围。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=ax^2 -4ax +3a$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{4a}{2a}=2$。
已知图象开口向下，故$a＜0$，此时抛物线离对称轴越远的点，函数值越小。
在区间$1≤x≤4$中，$x=4$到对称轴$x=2$的距离为2，大于$x=1$到对称轴的距离1，因此当$x=4$时，y取得最小值$-6$。
将$x=4$，$y=-6$代入解析式得：
$16a - 16a + 3a = -6$，解得$a=-2$，符合$a＜0$的条件。
(2) ①若$a＞0$，抛物线开口向上，当$x≥2$时y随x增大而增大，此时$x_2≥5$时$y_2$无最大值，不可能满足所有$y_1≥y_2$，故$a＜0$。
②$a＜0$时，抛物线开口向下，$x≤2$时y随x增大而增大，$x≥2$时y随x增大而减小。
$x=5$关于对称轴$x=2$的对称点为$x=2×2 -5=-1$，即$x=-1$和$x=5$的函数值相等。
$x_2≥5$时，y随x增大而减小，故$y_2$的最大值为$x=5$时的函数值。
要使$t≤x_1≤t+1$时均满足$y_1≥y_2$，只需区间$[t,t+1]$内的所有x对应的函数值都不小于$x=5$处的函数值，即区间$[t,t+1]$在$[-1,5]$内，因此：
$\begin{cases}t≥-1 \\ t+1≤5\end{cases}$，解得$-1≤t≤4$。
【答案】
(1)$-2$；(2)$-1≤t≤4$
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称性；含参二次函数最值
【点评】
本题考查二次函数性质的综合应用，需要结合开口方向、增减性、对称性分析区间内的最值关系，解题时要注意分类讨论a的正负，结合数形结合思想简化分析过程，是二次函数含参问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
(1) 先通过二次函数解析式求出对称轴，结合开口向下的条件，判断在给定区间$1≤x≤4$内y取最小值时的x值，代入解析式列方程即可求解a的值。
(2) 先分类讨论a的正负：a＞0时开口向上，x≥5时y可无限增大，不符合题意，故a＜0；再利用二次函数的对称性找到x=5关于对称轴的对称点，结合开口向下时的增减性，确定区间$[t,t+1]$的范围，进而求出t的取值范围。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=ax^2 -4ax +3a$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{4a}{2a}=2$。
已知图象开口向下，故$a＜0$，此时抛物线离对称轴越远的点，函数值越小。
在区间$1≤x≤4$中，$x=4$到对称轴$x=2$的距离为2，大于$x=1$到对称轴的距离1，因此当$x=4$时，y取得最小值$-6$。
将$x=4$，$y=-6$代入解析式得：
$16a - 16a + 3a = -6$，解得$a=-2$，符合$a＜0$的条件。
(2) ①若$a＞0$，抛物线开口向上，当$x≥2$时y随x增大而增大，此时$x_2≥5$时$y_2$无最大值，不可能满足所有$y_1≥y_2$，故$a＜0$。
②$a＜0$时，抛物线开口向下，$x≤2$时y随x增大而增大，$x≥2$时y随x增大而减小。
$x=5$关于对称轴$x=2$的对称点为$x=2×2 -5=-1$，即$x=-1$和$x=5$的函数值相等。
$x_2≥5$时，y随x增大而减小，故$y_2$的最大值为$x=5$时的函数值。
要使$t≤x_1≤t+1$时均满足$y_1≥y_2$，只需区间$[t,t+1]$内的所有x对应的函数值都不小于$x=5$处的函数值，即区间$[t,t+1]$在$[-1,5]$内，因此：
$\begin{cases}t≥-1 \\ t+1≤5\end{cases}$，解得$-1≤t≤4$。
【答案】
(1)$-2$；(2)$-1≤t≤4$
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称性；含参二次函数最值
【点评】
本题考查二次函数性质的综合应用，需要结合开口方向、增减性、对称性分析区间内的最值关系，解题时要注意分类讨论a的正负，结合数形结合思想简化分析过程，是二次函数含参问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
4. 新定义 新趋势 对于一个函数，当自变量$ x $取$ a $时，函数值$ y $也等于$ a $，则称点$ (a,a) $是这个函数的“同值点”.已知二次函数$ y=x^2+3x+m $.
(1)若点$ (2,2) $是此函数的“同值点”，则$ m $的值为
(2)若此函数有两个相异的“同值点”$ (a,a) $，$ (b,b) $，且$ a＜1＜b $，则$ m $的取值范围是
(1)若点$ (2,2) $是此函数的“同值点”，则$ m $的值为
$-8$
；(2)若此函数有两个相异的“同值点”$ (a,a) $，$ (b,b) $，且$ a＜1＜b $，则$ m $的取值范围是
$m＜-3$
.答案
4.(1)$-8$ (2)$m＜-3$
解析
【分析】
(1) 根据“同值点”的定义，同值点的横、纵坐标相等且在函数图象上，因此直接将点(2,2)代入二次函数解析式，即可计算得到m的值；
(2) 先根据“同值点”定义将问题转化为方程问题：两个相异的同值点对应方程$x=x^2+3x+m$有两个不相等的实根a、b，且满足$a＜1＜b$。结合开口向上的二次函数图象性质，当x=1时的函数值小于0，即可求出m的取值范围。
【解析】
(1)
∵点$(2,2)$是函数$y=x^2+3x+m$的“同值点”
∴将$x=2$，$y=2$代入函数解析式得：
$2=2^2+3×2+m$
$2=10+m$
解得$m=-8$
(2) 由“同值点”的定义可知，同值点的横坐标满足$x=x^2+3x+m$
整理得一元二次方程：$x^2+2x+m=0$
由题可知$a$、$b$是该方程的两个相异实根，且$a＜1＜b$
设二次函数$y=x^2+2x+m$，其图象开口向上
若1位于两根之间，则当$x=1$时，函数值小于0，代入得：
$1^2+2×1+m＜0$
$3+m＜0$
解得$m＜-3$
【答案】
(1)$-8$；(2)$m＜-3$
【知识点】
新定义问题、二次函数与一元二次方程、根的分布
【点评】
本题以新定义为背景考查二次函数含参问题，解题的关键是将新定义问题转化为已学的方程与二次函数图象问题，是二次函数参数类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
(1) 根据“同值点”的定义，同值点的横、纵坐标相等且在函数图象上，因此直接将点(2,2)代入二次函数解析式，即可计算得到m的值；
(2) 先根据“同值点”定义将问题转化为方程问题：两个相异的同值点对应方程$x=x^2+3x+m$有两个不相等的实根a、b，且满足$a＜1＜b$。结合开口向上的二次函数图象性质，当x=1时的函数值小于0，即可求出m的取值范围。
【解析】
(1)
∵点$(2,2)$是函数$y=x^2+3x+m$的“同值点”
∴将$x=2$，$y=2$代入函数解析式得：
$2=2^2+3×2+m$
$2=10+m$
解得$m=-8$
(2) 由“同值点”的定义可知，同值点的横坐标满足$x=x^2+3x+m$
整理得一元二次方程：$x^2+2x+m=0$
由题可知$a$、$b$是该方程的两个相异实根，且$a＜1＜b$
设二次函数$y=x^2+2x+m$，其图象开口向上
若1位于两根之间，则当$x=1$时，函数值小于0，代入得：
$1^2+2×1+m＜0$
$3+m＜0$
解得$m＜-3$
【答案】
(1)$-8$；(2)$m＜-3$
【知识点】
新定义问题、二次函数与一元二次方程、根的分布
【点评】
本题以新定义为背景考查二次函数含参问题，解题的关键是将新定义问题转化为已学的方程与二次函数图象问题，是二次函数参数类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
5.(合肥包河区期中)已知抛物线$y=ax^2 -2ax +3$与$x$轴交于两点，其中一点的坐标为$(-1,0)$。
(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)已知抛物线$y'=ax^2 -2ax +3 +2mx$（$m＞0$），当$m-1≤x≤m+3$时，$y'$有最大值为8，求$m$的值。
(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)已知抛物线$y'=ax^2 -2ax +3 +2mx$（$m＞0$），当$m-1≤x≤m+3$时，$y'$有最大值为8，求$m$的值。
答案
解:(1)把$(-1,0)$代入$y=ax^2-2ax+3$,得$0=a+2a+3$,解得$a=-1$.
∴抛物线的函数表达式为$y=-x^2+2x+3$.
∵$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,4)$. (2)由(1)知$a=-1$,
∴$y'=-x^2+(2+2m)x+3$.
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{2+2m}{2×(-1)}=m+1$.
∵$m-1＜m+1＜m+3$,
∴当$x=m+1$时,$y'$有最大值,即$-(m+1)^2+(2+2m)(m+1)+3=8$,整理,得$m^2+2m-4=0$,解得$m_1=\sqrt{5}-1$,$m_2=-\sqrt{5}-1$.
∵$m＞0$,
∴$m=\sqrt{5}-1$.
∴抛物线的函数表达式为$y=-x^2+2x+3$.
∵$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,4)$. (2)由(1)知$a=-1$,
∴$y'=-x^2+(2+2m)x+3$.
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{2+2m}{2×(-1)}=m+1$.
∵$m-1＜m+1＜m+3$,
∴当$x=m+1$时,$y'$有最大值,即$-(m+1)^2+(2+2m)(m+1)+3=8$,整理,得$m^2+2m-4=0$,解得$m_1=\sqrt{5}-1$,$m_2=-\sqrt{5}-1$.
∵$m＞0$,
∴$m=\sqrt{5}-1$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线经过点$(-1,0)$，将点坐标代入抛物线解析式即可求出参数$a$，得到完整的函数表达式；再通过配方法计算顶点坐标即可。
(2) 先将(1)中求得的$a$代入$y'$的解析式，整理为一般形式后求出对称轴。由于二次项系数为负，抛物线开口向下，先判断对称轴与给定区间$[m-1, m+3]$的位置关系：经判断对称轴在区间内部，因此最大值在对称轴处取得，将对称轴横坐标代入$y'=8$列方程求解，最后结合$m＞0$的条件舍去不符合的根即可。
【解析】
(1) 将点$(-1,0)$代入$y=ax^2-2ax+3$，得：
$0=a×(-1)^2 -2a×(-1) +3$，即$0=a+2a+3$，解得$a=-1$。
∴抛物线的函数表达式为$y=-x^2+2x+3$。
对解析式配方得：$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x+1)+1+3=-(x-1)^2+4$，
∴抛物线的顶点坐标为$(1,4)$。
(2) 由(1)知$a=-1$，代入$y'$的解析式得：
$y'=-x^2+(2+2m)x+3$，
该抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2+2m}{2×(-1)}=m+1$。
∵$m＞0$，可得$m-1 ＜ m+1 ＜ m+3$，即对称轴在区间$[m-1, m+3]$内部，
∴当$x=m+1$时，$y'$取得最大值8，代入得：
$-(m+1)^2+(2+2m)(m+1)+3=8$，
整理得$m^2+2m-4=0$，
解得$m_1=\sqrt{5}-1$，$m_2=-\sqrt{5}-1$。
∵$m＞0$，$m_2=-\sqrt{5}-1＜0$不符合题意，舍去，
∴$m=\sqrt{5}-1$。
【答案】
(1) 抛物线的函数表达式为$y=-x^2+2x+3$，顶点坐标为$(1,4)$；
(2) $m$的值为$\sqrt{5}-1$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数含参最值求解
【点评】
本题考查二次函数的基础应用，第一问属于基础题型，熟练掌握代入法求参数、配方法化简解析式是解题的前提；第二问是二次函数含参最值的常考题型，核心是先判断对称轴和给定区间的位置关系，再确定最值的取值点，解题时要注意题目给出的参数取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线经过点$(-1,0)$，将点坐标代入抛物线解析式即可求出参数$a$，得到完整的函数表达式；再通过配方法计算顶点坐标即可。
(2) 先将(1)中求得的$a$代入$y'$的解析式，整理为一般形式后求出对称轴。由于二次项系数为负，抛物线开口向下，先判断对称轴与给定区间$[m-1, m+3]$的位置关系：经判断对称轴在区间内部，因此最大值在对称轴处取得，将对称轴横坐标代入$y'=8$列方程求解，最后结合$m＞0$的条件舍去不符合的根即可。
【解析】
(1) 将点$(-1,0)$代入$y=ax^2-2ax+3$，得：
$0=a×(-1)^2 -2a×(-1) +3$，即$0=a+2a+3$，解得$a=-1$。
∴抛物线的函数表达式为$y=-x^2+2x+3$。
对解析式配方得：$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x+1)+1+3=-(x-1)^2+4$，
∴抛物线的顶点坐标为$(1,4)$。
(2) 由(1)知$a=-1$，代入$y'$的解析式得：
$y'=-x^2+(2+2m)x+3$，
该抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2+2m}{2×(-1)}=m+1$。
∵$m＞0$，可得$m-1 ＜ m+1 ＜ m+3$，即对称轴在区间$[m-1, m+3]$内部，
∴当$x=m+1$时，$y'$取得最大值8，代入得：
$-(m+1)^2+(2+2m)(m+1)+3=8$，
整理得$m^2+2m-4=0$，
解得$m_1=\sqrt{5}-1$，$m_2=-\sqrt{5}-1$。
∵$m＞0$，$m_2=-\sqrt{5}-1＜0$不符合题意，舍去，
∴$m=\sqrt{5}-1$。
【答案】
(1) 抛物线的函数表达式为$y=-x^2+2x+3$，顶点坐标为$(1,4)$；
(2) $m$的值为$\sqrt{5}-1$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数含参最值求解
【点评】
本题考查二次函数的基础应用，第一问属于基础题型，熟练掌握代入法求参数、配方法化简解析式是解题的前提；第二问是二次函数含参最值的常考题型，核心是先判断对称轴和给定区间的位置关系，再确定最值的取值点，解题时要注意题目给出的参数取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
