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1.如图,抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+mx$过点$E(6,0)$,点$M(-2,b)$在抛物线上.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若$P$是抛物线对称轴上的一点,当$PM+OM$的值最小时,求点$P$的坐标.
(3)矩形$ABCD$的边$AB$在线段$OE$上(点$B$在点$A$的左侧),点$C,D$在抛物线上,$B(t,0)$.当$t$为何值时,矩形$ABCD$的周长有最大值?最大值是多少?
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若$P$是抛物线对称轴上的一点,当$PM+OM$的值最小时,求点$P$的坐标.
(3)矩形$ABCD$的边$AB$在线段$OE$上(点$B$在点$A$的左侧),点$C,D$在抛物线上,$B(t,0)$.当$t$为何值时,矩形$ABCD$的周长有最大值?最大值是多少?
答案
解:(1)把$E(6,0)$代入$y=\frac{1}{2}x^2+mx$,得$\frac{1}{2}×36+6m=0$,解得$m=-3$.
∴抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2-3x$.
(2)由(1)知$y=\frac{1}{2}x^2-3x$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=3$.当$x=-2$时,$b=\frac{1}{2}×(-2)^2-3×(-2)=8$.
∴$M(-2,8)$.连接$ME$交对称轴于点$P$,连接$OP$,此时$PM+OM$的值最小.易得直线$EM$的函数表达式为$y=-x+6$.当$x=3$时,$y=-3+6=3$.
∴$P(3,3)$.
∴当$PM+OM$的值最小时,点$P$的坐标为$(3,3)$.
(3)$\because B(t,0),\therefore C(t,\frac{1}{2}t^2-3t).\therefore BC=-\frac{1}{2}t^2+3t$.易得点$C,D$关于抛物线的对称轴直线$x=3$对称,$\therefore CD=2(3-t)=6-2t$.
∴矩形$ABCD$的周长$=2(BC+CD)=2(-\frac{1}{2}t^2+3t+6-2t)=-t^2+2t+12=-(t-1)^2+13$.$\because -1＜0$,$\therefore$当$t=1$时,矩形$ABCD$的周长有最大值,最大值是13.
∴抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2-3x$.
(2)由(1)知$y=\frac{1}{2}x^2-3x$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=3$.当$x=-2$时,$b=\frac{1}{2}×(-2)^2-3×(-2)=8$.
∴$M(-2,8)$.连接$ME$交对称轴于点$P$,连接$OP$,此时$PM+OM$的值最小.易得直线$EM$的函数表达式为$y=-x+6$.当$x=3$时,$y=-3+6=3$.
∴$P(3,3)$.
∴当$PM+OM$的值最小时,点$P$的坐标为$(3,3)$.
(3)$\because B(t,0),\therefore C(t,\frac{1}{2}t^2-3t).\therefore BC=-\frac{1}{2}t^2+3t$.易得点$C,D$关于抛物线的对称轴直线$x=3$对称,$\therefore CD=2(3-t)=6-2t$.
∴矩形$ABCD$的周长$=2(BC+CD)=2(-\frac{1}{2}t^2+3t+6-2t)=-t^2+2t+12=-(t-1)^2+13$.$\because -1＜0$,$\therefore$当$t=1$时,矩形$ABCD$的周长有最大值,最大值是13.
解析
【分析】
(1) 第一问求抛物线解析式，已知抛物线过点E(6,0)，用待定系数法将E点坐标代入函数表达式，解关于m的方程即可得到解析式。
(2) 第二问为最短路径问题，先求出抛物线对称轴和点M的坐标；由于点O和点E关于抛物线对称轴对称，对称轴上任意点P到O、E的距离相等，因此可将PM+OM转化为PM+PE，当M、P、E三点共线时和最小，求出直线ME的解析式后，代入对称轴x的值即可得到P点坐标。
(3) 第三问求矩形周长最大值，先用t表示出点C坐标，进而得到BC的长度；再根据抛物线对称性得到CD的长度，结合矩形周长公式列出关于t的二次函数，配方后根据二次函数性质即可求出最值。
【解析】
(1) 把$E(6,0)$代入$y=\frac{1}{2}x^2+mx$，得$\frac{1}{2}×36+6m=0$，解得$m=-3$。
∴抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2-3x$。
(2) 由(1)知$y=\frac{1}{2}x^2-3x$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=3$。当$x=-2$时，$b=\frac{1}{2}×(-2)^2-3×(-2)=8$，
∴$M(-2,8)$。
∵O、E关于对称轴直线$x=3$对称，
∴对称轴上点P满足$PO=PE$，则$PM+PO=PM+PE$，当M、P、E三点共线时，$PM+PE$的值最小。
设直线EM的解析式为$y=kx+n$，代入E(6,0)、M(-2,8)得$\begin{cases}6k+n=0\\-2k+n=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\n=6\end{cases}$，即直线EM的解析式为$y=-x+6$。
把$x=3$代入$y=-x+6$，得$y=-3+6=3$，
∴$P(3,3)$。
(3)
∵$B(t,0)$，点C在抛物线上，
∴$C(t,\frac{1}{2}t^2-3t)$，
∵点C在x轴下方，
∴$BC=0-(\frac{1}{2}t^2-3t)=-\frac{1}{2}t^2+3t$。
∵C、D关于抛物线对称轴直线$x=3$对称，
∴$CD=2(3-t)=6-2t$。
∴矩形ABCD的周长$=2(BC+CD)=2(-\frac{1}{2}t^2+3t+6-2t)=-t^2+2t+12=-(t-1)^2+13$。
∵$-1＜0$，二次函数开口向下，
∴当$t=1$时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是13。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x^2-3x$；
(2) $P(3,3)$；
(3) 当$t=1$时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为13。
【知识点】
待定系数法求解析式；轴对称最短路径；二次函数最值
【点评】
本题综合考查二次函数的相关应用，解题时要灵活运用函数性质，会用转化思想处理最短路径问题，用函数思想求解最值，注意坐标转线段长度时的符号问题。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问求抛物线解析式，已知抛物线过点E(6,0)，用待定系数法将E点坐标代入函数表达式，解关于m的方程即可得到解析式。
(2) 第二问为最短路径问题，先求出抛物线对称轴和点M的坐标；由于点O和点E关于抛物线对称轴对称，对称轴上任意点P到O、E的距离相等，因此可将PM+OM转化为PM+PE，当M、P、E三点共线时和最小，求出直线ME的解析式后，代入对称轴x的值即可得到P点坐标。
(3) 第三问求矩形周长最大值，先用t表示出点C坐标，进而得到BC的长度；再根据抛物线对称性得到CD的长度，结合矩形周长公式列出关于t的二次函数，配方后根据二次函数性质即可求出最值。
【解析】
(1) 把$E(6,0)$代入$y=\frac{1}{2}x^2+mx$，得$\frac{1}{2}×36+6m=0$，解得$m=-3$。
∴抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2-3x$。
(2) 由(1)知$y=\frac{1}{2}x^2-3x$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=3$。当$x=-2$时，$b=\frac{1}{2}×(-2)^2-3×(-2)=8$，
∴$M(-2,8)$。
∵O、E关于对称轴直线$x=3$对称，
∴对称轴上点P满足$PO=PE$，则$PM+PO=PM+PE$，当M、P、E三点共线时，$PM+PE$的值最小。
设直线EM的解析式为$y=kx+n$，代入E(6,0)、M(-2,8)得$\begin{cases}6k+n=0\\-2k+n=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\n=6\end{cases}$，即直线EM的解析式为$y=-x+6$。
把$x=3$代入$y=-x+6$，得$y=-3+6=3$，
∴$P(3,3)$。
(3)
∵$B(t,0)$，点C在抛物线上，
∴$C(t,\frac{1}{2}t^2-3t)$，
∵点C在x轴下方，
∴$BC=0-(\frac{1}{2}t^2-3t)=-\frac{1}{2}t^2+3t$。
∵C、D关于抛物线对称轴直线$x=3$对称，
∴$CD=2(3-t)=6-2t$。
∴矩形ABCD的周长$=2(BC+CD)=2(-\frac{1}{2}t^2+3t+6-2t)=-t^2+2t+12=-(t-1)^2+13$。
∵$-1＜0$，二次函数开口向下，
∴当$t=1$时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是13。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x^2-3x$；
(2) $P(3,3)$；
(3) 当$t=1$时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为13。
【知识点】
待定系数法求解析式；轴对称最短路径；二次函数最值
【点评】
本题综合考查二次函数的相关应用，解题时要灵活运用函数性质，会用转化思想处理最短路径问题，用函数思想求解最值，注意坐标转线段长度时的符号问题。
【难度系数】
0.6
2.（芜湖鸠江区模拟节选）如图，抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交于$A(1,0),B(-5,0)$两点，与$y$轴交于点$C$.$P$是抛物线上的任意一点（不与点$C$重合），点$P$的横坐标为$m$.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点$P$位于线段$BC$的上方，求$△ PBC$面积的最大值.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点$P$位于线段$BC$的上方，求$△ PBC$面积的最大值.
答案
解:(1)将$A(1,0),B(-5,0)$代入$y=-x^2+bx+c$,得$\begin{cases}-1+b+c=0,\\-25-5b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-4,\\c=5.\end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为$y=-x^2-4x+5$.
(2)过点$P$作$PD// y$轴,交$BC$于点$D$.令$x=0$,则$y=5$,$\therefore C(0,5)$.设直线$BC$的函数表达式为$y=kx+5$,将$B(-5,0)$代入,得$-5k+5=0$,解得$k=1$.
∴直线$BC$的函数表达式为$y=x+5$.设$P(m,-m^2-4m+5)$,则$D(m,m+5)$.$\therefore S_{△ PBC}=S_{△ BDP}+S_{△ CDP}=\frac{1}{2}DP·(x_C-x_B)=\frac{1}{2}(-m^2-4m+5-m-5)×(0+5)=-\frac{5}{2}(m+\frac{5}{2})^2+\frac{125}{8}$.$\because -\frac{5}{2}＜0,-5＜m＜0$,$\therefore$当$m=-\frac{5}{2}$时,$△ PBC$的面积有最大值,最大值为$\frac{125}{8}$.
∴抛物线的函数表达式为$y=-x^2-4x+5$.
(2)过点$P$作$PD// y$轴,交$BC$于点$D$.令$x=0$,则$y=5$,$\therefore C(0,5)$.设直线$BC$的函数表达式为$y=kx+5$,将$B(-5,0)$代入,得$-5k+5=0$,解得$k=1$.
∴直线$BC$的函数表达式为$y=x+5$.设$P(m,-m^2-4m+5)$,则$D(m,m+5)$.$\therefore S_{△ PBC}=S_{△ BDP}+S_{△ CDP}=\frac{1}{2}DP·(x_C-x_B)=\frac{1}{2}(-m^2-4m+5-m-5)×(0+5)=-\frac{5}{2}(m+\frac{5}{2})^2+\frac{125}{8}$.$\because -\frac{5}{2}＜0,-5＜m＜0$,$\therefore$当$m=-\frac{5}{2}$时,$△ PBC$的面积有最大值,最大值为$\frac{125}{8}$.
解析
【分析】
（1）已知抛物线经过A(1,0)、B(-5,0)两点，将两点坐标代入二次函数表达式，可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出系数后即可得到抛物线解析式。
（2）求△PBC的面积最大值时，首先求出C点坐标和直线BC的解析式，采用铅垂法分割三角形：过P作平行于y轴的线段PD交BC于D，将△PBC拆分为两个共底PD的三角形，两个三角形的高之和为B、C的水平距离，由此可将面积表示为关于m的二次函数，再结合二次函数的最值性质和m的取值范围，即可求出面积最大值。
【解析】
（1）将$A(1,0),B(-5,0)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-1+b+c=0\\-25-5b+c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-4\\c=5\end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为$y=-x^2-4x+5$。
（2）过点$P$作$PD// y$轴，交$BC$于点$D$。
令抛物线解析式中$x=0$，则$y=5$，$\therefore C(0,5)$。
设直线$BC$的函数表达式为$y=kx+5$，将$B(-5,0)$代入得：
$-5k+5=0$，解得$k=1$
∴直线$BC$的函数表达式为$y=x+5$。
设$P(m,-m^2-4m+5)$，则$D$点横坐标为$m$，代入直线BC解析式得$D(m,m+5)$。
$\because$点$P$在$BC$上方，$\therefore PD=(-m^2-4m+5)-(m+5)=-m^2-5m$
$S_{△ PBC}=S_{△ BDP}+S_{△ CDP}=\frac{1}{2}PD· |x_C - x_B|=\frac{1}{2}× (-m^2-5m)× 5$
整理得$S_{△ PBC}=-\frac{5}{2}(m+\frac{5}{2})^2+\frac{125}{8}$
$\because -\frac{5}{2}＜0$，且$P$在线段$BC$上方时$m$的取值范围是$-5＜m＜0$，
$\therefore$当$m=-\frac{5}{2}$时，$△ PBC$的面积取得最大值，最大值为$\frac{125}{8}$。
【答案】
（1）$y=-x^2-4x+5$；（2）$\frac{125}{8}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值，割补法求面积
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础题型，既考察了待定系数法求函数解析式的基本技能，也考察了坐标系中三角形面积的常用处理技巧，将面积问题转化为二次函数最值问题是这类题的常规考法，需熟练掌握铅垂法求面积的思路。
【难度系数】
0.7
（1）已知抛物线经过A(1,0)、B(-5,0)两点，将两点坐标代入二次函数表达式，可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出系数后即可得到抛物线解析式。
（2）求△PBC的面积最大值时，首先求出C点坐标和直线BC的解析式，采用铅垂法分割三角形：过P作平行于y轴的线段PD交BC于D，将△PBC拆分为两个共底PD的三角形，两个三角形的高之和为B、C的水平距离，由此可将面积表示为关于m的二次函数，再结合二次函数的最值性质和m的取值范围，即可求出面积最大值。
【解析】
（1）将$A(1,0),B(-5,0)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-1+b+c=0\\-25-5b+c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-4\\c=5\end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为$y=-x^2-4x+5$。
（2）过点$P$作$PD// y$轴，交$BC$于点$D$。
令抛物线解析式中$x=0$，则$y=5$，$\therefore C(0,5)$。
设直线$BC$的函数表达式为$y=kx+5$，将$B(-5,0)$代入得：
$-5k+5=0$，解得$k=1$
∴直线$BC$的函数表达式为$y=x+5$。
设$P(m,-m^2-4m+5)$，则$D$点横坐标为$m$，代入直线BC解析式得$D(m,m+5)$。
$\because$点$P$在$BC$上方，$\therefore PD=(-m^2-4m+5)-(m+5)=-m^2-5m$
$S_{△ PBC}=S_{△ BDP}+S_{△ CDP}=\frac{1}{2}PD· |x_C - x_B|=\frac{1}{2}× (-m^2-5m)× 5$
整理得$S_{△ PBC}=-\frac{5}{2}(m+\frac{5}{2})^2+\frac{125}{8}$
$\because -\frac{5}{2}＜0$，且$P$在线段$BC$上方时$m$的取值范围是$-5＜m＜0$，
$\therefore$当$m=-\frac{5}{2}$时，$△ PBC$的面积取得最大值，最大值为$\frac{125}{8}$。
【答案】
（1）$y=-x^2-4x+5$；（2）$\frac{125}{8}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值，割补法求面积
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础题型，既考察了待定系数法求函数解析式的基本技能，也考察了坐标系中三角形面积的常用处理技巧，将面积问题转化为二次函数最值问题是这类题的常规考法，需熟练掌握铅垂法求面积的思路。
【难度系数】
0.7
